KKT condition

Consider the general optimization problem

$\begin{align*} \min_{x} \quad & f(x) \\ & g_i(x)\leq 0 \quad i = 1,...,m \\ & h_j(x) = 0 \quad j = 1,...,n \\ \end{align*}$

Suppose that the object function $f: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ and the constraint functions $g_i: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ and $h_i: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ are continuously differentiable at a point $x^*.$ If $x^*$ is a local optimum and optimization problem satisfies some conditions, then there exist constant $u_i$ and $v_i$ , called KKT multipliers, such that

KKT condition

Stationarity:
$\begin{align*} \nabla L(x^*,u,v) =\nabla f(x^*) +\sum_{i = 1}^m u_i\nabla g_i(x^*)+\sum_{j=1}^n v_j\nabla h_j(x^* ) \end{align*}$
Primal feasibility:
$\begin{align*} g_i(x^*)\leq 0 \quad i = 1,...,m \\ h_j(x^*) = 0 \quad j = 1,...,n \\ \end{align*}$
Dual feasibility:
$u_i \geq 0 \quad i = 1,...,m$
Complementary slackness:
$u_ig_i(x^*) = 0 \quad i = 1,...,m$

Note:

KKT condition is a necessary condition.
KKT condition is necessary and sufficient condition under Slater condition.
Slater condition: For a convex problem(i.e. $f,g_i$ are convex and $h_j$ is affine), there exists a point $x$ such that $h(x)=0$ and $g_i(x)<0.$

KKT.png

Lagrange function

$\begin{align*} L(x,u,v) = f(x) +\sum_{i = 1}^m u_ig_i(x)+\sum_{j=1}^n v_j h_j(x) \end{align*}$

最后編輯于：2019.04.09 08:12:37

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