壓縮映射朱监、不動點的一些學(xué)習(xí)記錄

定義（壓縮映射）：設(shè) $f$ 在區(qū)間 $[a,b]$ 上定義， $f([a,b]) \subset [a,b]$ 赫编，并存在一個常數(shù) $k$ ，滿足 $0<k<1$ 悦荒，使得對一切 $x,y \in [a,b]$ 成立不等式 $|f(x) -f(y)| \leq k|x-y|$ 嘹吨，則稱 $f$ 是 $[a,b]$ 上的一個壓縮映射，稱常數(shù) $k$ 為壓縮常數(shù)身腻。

命題（壓縮映射原理）：設(shè) $f$ 是 $[a,b]$ 上的一個壓縮映射匹厘，則
1. $f$ 在 $[a,b]$ 中存在唯一的不動點 $\xi = f(\xi)$ ;

由任何初值 $a_0 \in [a,b]$ 和遞推公式 $a_{n+1} = f(a_n), n \in N_+$ ，生成的數(shù)列 ${a_n}$ 一定收斂于 $\xi$ .
證：
由于 $f([a,b]) \subset [a,b]$ 她按，因此炕柔， ${a_n}$ 必在 $[a,b]$ 中，根據(jù)Cauchy收斂準(zhǔn)則可以估計
$|a_n - a_{n+p}| \leq k|a_{n-1}-a_{a+p-1}| \leq k^2|a_{n-2}-a_{n+p-2}| \leq ... \leq k^n|a_0-a_p| \leq k^n(b-a)$
可見對于 $\varepsilon > 0$ .只要取 $N= \frac {ln \frac {\varepsilon} {b-a}} {lnk}$ , 當(dāng) $n>N$ 和 $p \in N_+$
具體推到如下:

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