從牛頓時代以后例获，計算圓周率就不是必要的工作了，而是一種消遣曹仗。牛頓計算的時候榨汤，用的是面積法，或者反正弦函數的多項式展開怎茫。
歐拉也用一種展開式件余，反正切的展開式。但是遭居，很獨特，與現在常用的反正切大為不同⊙現在常用的反正切展開式是：
這個公式在歐拉出生前就存在了俱萍，為什么呢？據我考證告丢，歐拉出生于1707年枪蘑，馬青發(fā)現馬青公式的年份是1706年。馬青早就把圓周率計算超過了100位岖免。馬青用的是這種展開岳颇。這種展開，是1671年2月15日颅湘，詹姆斯-格雷戈里發(fā)現的话侧。公式的限制條件是x大于-1,小于等于1。因此闯参，歐拉計算圓周率純屬消遣瞻鹏。
歐拉使用的獨特的反正切展開：
盡管直接用arctan(1)可以得到一個簡潔優(yōu)美的表達式悲立，但傳說中歐拉使用的是PI/4= arctan(1/7)+arctan(3/4) 來計算的。
這樣兩個復數的乘積表明新博，可以這樣選擇薪夕。歐拉喜歡用復數赫悄，不太用正切的和角公式埂淮。
關鍵是粤策，1/7并沒有帶來我們通常以為的麻煩叮盘，在歐拉的公式中柔吼，變成了0.02的冪愈魏。歐拉用這個公式想际，在1個小時之內完成了20位圓周率的計算『荆現代的人侧甫，必須用計算機才能完成披粟。
前幾項的結果如下：
2.48 0.46826667 0.13282986 0.040952686 0.01310424
0.004288649 0.0014251509 4.788507e-4 1.6224588e-4
5.5334385e-5 1.897179e-5 6.5328945e-6 2.2577683e-6
7.82693e-7 2.720533e-7 9.477986e-8 3.308679e-8
1.1570922e-8 4.05295e-9
1.4216501e-9 4.9931126e-10
1.7557178e-10 6.1801265e-11 2.1775085e-11
