方差分析(ANOVA)與f值鲫售,p值


在傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)中f值是用于方差分析的共螺。

  • 舉個(gè)例子:

我們開(kāi)發(fā)出了一種降血壓的藥该肴,需要檢驗(yàn)這個(gè)降血壓藥品的藥效如何情竹。我們就做了如下實(shí)驗(yàn),給定不同劑量匀哄,分別是0秦效,1,2涎嚼,3阱州,4這四個(gè)級(jí)別的劑量(0劑量表示病人服用了安慰劑),給4組病人服用法梯,在一定時(shí)間后測(cè)量病人的血壓差,在得到數(shù)據(jù)以后。我們要問(wèn)脾拆,這種新藥是不是有顯著藥效苦银,也就是說(shuō)病人的血壓差是不是顯著的不等于0。

劑量 血壓差
0 x_{01} x_{02} … x_{0n}
1 x_{11}x_{12} … x_{1n}
... ...
4 x_{41} x_{42} … x_{4n}

我們得到了五個(gè)總體 X_i(i=0,1,2,3,4)铛绰,這五個(gè)總體的均值為μ_i诈茧,我們假設(shè)是:
H_0: μ_0=μ1=μ_2=μ_3=μ_4=0
H_1: μ_i中至少有一個(gè)不為0

  • 組間離差:S_A=\sum_{i=1}^{r}n_i(\overline{X_i}-\overline{X})^2
  • 組內(nèi)離差:S_E=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-X_i)^2

繼而構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量f=\frac{S_A/(r?1)}{S_E/(n?r)}S_A,S_E分別是組間和組內(nèi)離差捂掰,這個(gè)統(tǒng)計(jì)量服從F(r?1,n?r)敢会,式中n=\sum_in_i曾沈,也就是總樣本數(shù),r是總體個(gè)數(shù)鸥昏。

在我們這個(gè)例子中塞俱,r=5n=n_0+n_1+n_2+n_3+n_4互广,那么這個(gè)統(tǒng)計(jì)量f服從分布F(4,n?5)敛腌。當(dāng)這個(gè)統(tǒng)計(jì)量比較大的時(shí)候,也就是超過(guò)F_{1?α}(4,n?5)時(shí)惫皱,我們拒絕零假設(shè)像樊,即認(rèn)為幾個(gè)μ_i中至少有一個(gè)不為0,即認(rèn)為新藥有顯著的改變血壓旅敷。

在這個(gè)例子中生棍,是為了檢驗(yàn)在不同的藥劑量下,血壓差是不是有顯著的差異媳谁。實(shí)際上涂滴,方差分析的真正目的是:在隨機(jī)變量Y的不同水平下,檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)變量X是不是有顯著的變化晴音。其實(shí)就是在說(shuō)變量X和Y之間的相關(guān)性柔纵。


f\_classif

前面做了那么多鋪墊,終于進(jìn)入正題了锤躁。前面提到利用f值這個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量搁料,可以判斷假設(shè)H0是否成立:f值越大,大到一定程度時(shí)系羞,就有理由拒絕零假設(shè)郭计,認(rèn)為不同總體下的均值存在顯著差異。

f值越大椒振,我們拒絕H_0的把握也越大昭伸,我們?cè)接欣碛上嘈?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%CE%BC_%7BS_%2B%7D%E2%89%A0%CE%BC_%7BS_%E2%88%92%7D" alt="μ_{S_+}≠μ_{S_?}" mathimg="1">,越有把握認(rèn)為集合S_+S_?呈現(xiàn)出巨大差異澎迎,也就說(shuō)xi這個(gè)特征對(duì)預(yù)測(cè)類別的幫助也越大庐杨。


f\_regression

r_i = \frac{(X - mean(X)(y - mean(y))}{\sigma(X_i) \sigma(y)}=p_{x,y}

我們計(jì)算的f=\frac{r_i^2}{1?ri^2}*(n?2) ,才是f\_{regression}中的f值夹供,服從F(1,n?2)分布灵份,先計(jì)算f值然后轉(zhuǎn)為pvalue


p-value

看到這個(gè)方法返回兩個(gè)變量,f\_{classif}f值罩引,f\_{regression}pvalue各吨,這個(gè)pvalue就是用于檢驗(yàn)特征與變量之間相關(guān)性的,假設(shè)你給出α值(常常取0.05,0.01)揭蜒,如果你的pvalue小于α横浑,那就有把握認(rèn)為,這個(gè)特征和預(yù)測(cè)變量y之間屉更,具有相關(guān)性徙融。比方說(shuō)你取α=0.05,這就意味著你有95%(也就是1-α)的把握認(rèn)為瑰谜,這個(gè)特征和預(yù)測(cè)變量y之間存在相關(guān)性欺冀。

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