高等代數(shù) | 向量組萌狂、方程組與線性空間 方程組 | 方程組理論問題 | 線性空間的交與和

向量組雾消、方程組與線性空間

方程組理論問題

(山東大學(xué),2022)已知兩個(gè)向量組的秩相同,且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線性表出,試證明這兩個(gè)向量組等價(jià).

proof
設(shè){\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}}與{\beta_{1},\cdots,\beta_{t}}是秩均為{r}的向量組,且 {\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}}可被{\beta_{1},\cdots,\beta_{t}}線性表出.考慮{\beta_{1},\cdots,\beta_{t}}與{\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s},\beta_{1},\cdots,\beta_{t}}這兩個(gè)向量組,顯然它們等價(jià),所以{\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s},\beta_{1},\cdots,\beta_{t}}的秩也為{r},現(xiàn)設(shè){\alpha_{k_{1}},\cdots,\alpha_{k_{r}}} 是 {\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}} 的一個(gè)極大線性無關(guān)組,則 {\alpha_{k_{1}},\cdots,\alpha_{k_{r}}} 也是 {\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s},\beta_{1},\cdots,\beta_{t}} 中的 {r} 個(gè)線性無關(guān)的向量,又由{\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s},\beta_{1},\cdots,\beta_{t}}的秩為{r},所以 {\alpha_{k_{1}},\cdots,\alpha_{k_{r}}}是{\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s},\beta_{1},\cdots,\beta_{t}}的極大線性無關(guān)組,從而 {\alpha_{k_{1}},\cdots,\alpha_{k_{r}}}與{\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s},\beta_{1},\cdots,\beta_{t}}等價(jià),由傳遞性知{\alpha_{k_{1}},\cdots,\alpha_{k_{r}}}與{\beta_{1},\cdots,\beta_{t}}等價(jià),即 {\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}} 與 {\beta_{1},\cdots,\beta_{t}} 等價(jià).

(西南大學(xué),2022)設(shè) {A,B} 均為 {n} 列矩陣,證明: {n} 元齊次線性方程組 {A X=0} 與 {B X=0} 同解當(dāng)且僅當(dāng) {A,B} 的行向量組等價(jià).

proof
必要性.為了方便,記 {C=\left(\begin{array}{c}A \\ B\end{array}\right)},由于 {A X=0} 與 {B X=0} 同解,所以 {A X=0,B X=0} 均與 {C X=0} 同解,進(jìn)而系數(shù)矩陣 {A,B,C} 的秩相同,而明顯 {A,B} 的行向量組均可由 {C} 的行向量組線性表出,所以結(jié)合例題 22 可知 {A,B} 的行向量組均與 {C} 的行向量組等價(jià),由傳遞性,{A,B} 的行向量組也等價(jià).

充分性.已知 {A,B} 的行向量組等價(jià),所以存在矩陣 {P,Q},使得 {P A=B,Q B=A},那么若 {X} 滿足 {A X=0},則有 {B X=P A X=0},若 {X} 滿足 {B X=0},則 {A X=Q B X=0},這說明方程組 {A X=0} 與 {B X=0} 同解.

(電子科技大學(xué),2022)若非齊次線性方程組 {A X=\beta(\beta \neq 0)} 有解,齊次線性方程組 {A X=0} 有 {k(k < n)} 個(gè)線性無關(guān)解,證明: {A X =\beta} 有 {k+1} 個(gè)線性無關(guān)解,不存在 {k+2} 個(gè)線性無關(guān)解.

proof
首先設(shè) {\eta_{0}} 為方程組 {A X=\beta} 的一個(gè)特解,{\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{k}} 為 {A X=0} 的 {k} 個(gè)線性無關(guān)解,則

\eta_{0},\eta_{0}+\eta_{1},\eta_{0}+\eta_{2},\cdots,\eta_{0}+\eta_{k} \quad (1)

為 {A X=\beta} 的 {k+1} 個(gè)解,若 {l_{0} \eta_{0}+l_{1}\left(\eta_{0}+\eta_{1}\right)+l_{2}\left(\eta_{0}+\eta_{2}\right)+\cdots+l_{k}\left(\eta_{0}+\eta_{k}\right)=0},即
\left(l_{0}+l_{1}+\cdots+l_{k}\right) \eta_{0}+l_{1} \eta_{1}+l_{2} \eta_{2}+\cdots+l_{k} \eta_{k}=0 .\quad (2)
上述等式兩邊同時(shí)被 {A} 作用可得
{ 0=\left(l_{0}+l_{1}+\cdots+l_{k}\right) A \eta_{0}+l_{1} A \eta_{1}+l_{2} A \eta_{2}+\cdots+l_{k} A \eta_{k}=\left(l_{0}+l_{1}+\cdots+l_{k}\right) \beta . }
由于 {\beta \neq 0},所以
{ l_{0}+l_{1}+\cdots+l_{k}=0 . }
將其代入到(2)式,結(jié)合 {\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{k}} 線性無關(guān)可得 {l_{1}=l_{2}=\cdots=l_{k}=0},進(jìn)而也有 {l_{0}=0},這說明向量組(1)是方 程組 {A X=\beta} 的 {k+1} 個(gè)線性無關(guān)的解向量.另外,若 {A X=\beta} 存在 {k+2} 個(gè)線性無關(guān)解 {\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k+2}},那么
\alpha_{1}-\alpha_{k+2},\alpha_{2}-\alpha_{k+2},\cdots,\alpha_{k+1}-\alpha_{k+2} \quad (3)
均是導(dǎo)出組 {A X=0} 的解,同時(shí)若 {t_{1}\left(\alpha_{1}-\alpha_{k+2}\right)+t_{2}\left(\alpha_{2}-\alpha_{k+2}\right)+\cdots+t_{k+1}\left(\alpha_{k+1}-\alpha_{k+2}\right)=0},即
{ t_{1} \alpha_{1}+t_{2} \alpha_{2}+\cdots+t_{k+1} \alpha_{k+1}-\left(t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{k+1}\right) \alpha_{k+2}=0 . }
根據(jù) {\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k+2}} 線性無關(guān)可得 {t_{1}=t_{2}=\cdots=t_{k+1}=0},即向量組(3)是 {A X=0} 的 {k+1} 個(gè)線性無關(guān)解,這與 已知矛盾.即 {A X=\beta} 不存在 {k+2} 個(gè)線性無關(guān)解.

(重慶大學(xué),2022)設(shè) {A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}} 是實(shí)矩陣,證明: 線性方程組 {A X=B} 有解的充要條件是 向量 {B} 與齊次線性方程組 {A^{T} X=0} 的解空間正交.

proof
必要性.由于方程組 {A X=B} 有解,設(shè)解為 {X_{0}},即 {B=A X_{0}},那么對任意滿足 {A^{T} X=0} 的 {X},有 {B^{T} X=\left(A X_{0}\right)^{T} X=X_{0}^{T}\left(A^{T} X\right)=0},即 {B} 與齊次線性方程組 {A^{T} X=0} 的解空間正交.

充分性.由于向量 {B} 與齊次線性方程組 {A^{T} X=0} 的解空間正交,即若 {A^{T} X=0},則有 {B^{T} X=0},這說 明方程組 {A^{T} X=0} 與 {\left(\begin{array}{c}A^{T} \\ B^{T}\end{array}\right) X=0} 同解,進(jìn)而系數(shù)矩陣的秩相同,那么取轉(zhuǎn)置就有 {r(A)=r(A,B)},所以 線性方程組 {A X=B} 有解.

(復(fù)旦大學(xué),2022)設(shè) {\mathbb{K}} 為一數(shù)域,{A_{1},A_{2} \in \mathbb{K}^{n \times n},b_{1},b_{2} \in \mathbb{K}^{n \times 1}},若線性方程組 {A_{1} X=b_{1}} 和 {A_{2} X=b_{2}} 的解集相同,證明: 存在可逆的 {n} 階方陣 {P},使得 {P A_{1}=A_{2}},且 {P b_{1}=b_{2}}.

proof
由于 {A_{1} X=b_{1}} 和 {A_{2} X=b_{2}} 的解集相同,所以 {A_{1} X=b_{1},A_{2} X=b_{2},\left(\begin{array}{l}A_{1} \\ A_{2}\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2}\end{array}\right)} 的 解集也相同,進(jìn)而增廣矩陣的秩相同,即
{ r\left(A_{1},b_{1}\right)=r\left(A_{2},b_{2}\right)=r\left(\begin{array}{cc} A_{1} & b_{1} \\ A_{2} & b_{2} \end{array}\right) . }
而明顯 {\left(A_{1},b_{1}\right),\left(A_{2},b_{2}\right)} 的行向量均為 {\left(\begin{array}{ll}A_{1} & b_{1} \\ A_{2} & b_{2}\end{array}\right)} 的行向量,所以前兩者的行向量組均與后者行向量組 等價(jià),根據(jù)傳遞性便知 {\left(A_{1},b_{1}\right)} 與 {\left(A_{2},b_{2}\right)} 的行向量組等價(jià),現(xiàn)在設(shè) {\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}} 與 {\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{r}} 分別為 {\left(A_{1},b_{1}\right)} 與 {\left(A_{2},b_{2}\right)} 行向量組的極大線性無關(guān),則它們等價(jià),即存在 {r} 階可逆矩陣 {Q_{1}},使得
{ Q_{1}\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{r} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{r} \end{array}\right) }
進(jìn)而
{ \left(\begin{array}{cc} Q_{r} & O \\ O & E_{n-r} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{r} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{r} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) . }
另外,根據(jù)矩陣的初等變換,還存在 {n} 階可逆矩陣 {S} 和 {T},使得
{ S\left(A_{1},b_{1}\right)=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{r} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right),T\left(A_{2},b_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{r} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) . }
所以
{ T\left(A_{2},b_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{r} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} Q_{r} & O \\ O & E_{n-r} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{r} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} Q_{r} & O \\ O & E_{n-r} \end{array}\right) S\left(A_{1},b_{1}\right) . }

線性空間的交與和

(北京科技大學(xué),2022)設(shè) {W_{1}=L\left(f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x)\right.} ),{W_{2}=L\left(f_{4}(x),f_{5}(x)\right.} ),其中
{ \begin{array}{c} f_{1}(x)=1-3 x-x^{2}+2 x^{3},f_{2}(x)=-1+x+2 x^{2}-x^{3},f_{3}(x)=-1+5 x-3 x^{2} ; \\ f_{4}(x)=-1-2 x+4 x^{2},f_{5}(x)=-14 x+9 x^{2}+5 x^{3} . \end{array} }

\item 求 {W_{1} \cap W_{2}} 的基與維數(shù);
\item 將 {W_{1}} 的基擴(kuò)為 {P[x]_{4}} 的基.

solution

\item 首先取 {P[x]_{4}} 的基 {1,x,x^{2},x^{3}},顯然
{ \left(f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),f_{4}(x),f_{5}(x)\right)=\left(1,x,x^{2},x^{3}\right) A . }
其中
A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 5 & -2 & -14 \\ -1 & 2 & -3 & 4 & 9 \\ 2 & -1 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right)
將矩陣 {A} 進(jìn)行初等行變換化為階梯形,有
A \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & -5 & -14 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 5 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & -6 & 1 & 4 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
根據(jù)主元位置可知 {f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x)} 為 {f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),f_{4}(x),f_{5}(x)} 的極大線性無關(guān)組,即 {f_{4}(x),f_{5}(x)} 均可由 {f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x)} 線性表出,所以 {f_{4}(x),f_{5}(x) \in W_{1}},也就是 {W_{2} \subseteq W_{1}},于是 {W_{1} \cap W_{2}=W_{2}=L\left(f_{4}(x),f_{5}(x)\right)} 而明 顯 {f_{4}(x),f_{5}(x)} 線性無關(guān),所以 {f_{4}(x),f_{5}(x)} 就是 {W_{1} \cap W_{2}} 的一組基,{\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=2}.
\item 取 {g(x)=x^{3}},則
{ \left(f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),g(x)\right)=\left(1,x,x^{2},x^{3}\right) B . }
其中
{ B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 5 & 0 \\ -1 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) }
將矩陣 {B} 進(jìn)行初等行變換化為階梯形,有
B \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
由此可知矩陣 {B} 可逆,那么 {f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),g(x)} 便構(gòu)成 {P[x]_{4}} 的基.

(同濟(jì)大學(xué),2022)設(shè)向量
{ \alpha_{1}=(1,-1,1,0){\prime},\alpha_{2}=(1,1,0,2){\prime},\alpha_{3}=(-2,1,1,3){\prime},\alpha_{4}=(2,0,1,2){\prime},\alpha_{5}=(1,2,-2,1){\prime} . } {W_{1}=L\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right),W_{2}=L\left(\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}\right)},求 {W_{1}+W_{2}} 和 {W_{1} \cap W_{2}} 的維數(shù)和一組基.

solution
記矩陣 {A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}\right)},將 {A} 進(jìn)行初等行變換化為階梯形,有
\begin{aligned} A &=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 9 & 0 & -5 \end{array}\right) \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{5} \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}
由此可知 {\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{5}} 是 {\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}} 的極大線性無關(guān)組,所以也是 {W_{1}+W_{2}=L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}\right)} 的 一組基,進(jìn)而 {\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=4}.

另外,對任意的 {\alpha \in W_{1} \cap W_{2}},可設(shè)
{ \alpha=x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}=x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4}+x_{5} \alpha_{5} }
那么 {x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}-x_{3} \alpha_{3}-x_{4} \alpha_{4}-x_{5} \alpha_{5}=0},將此看作關(guān)于 {x_{1},x_{2},-x_{3},-x_{4},-x_{5}} 的齊次線性方程組,根據(jù)上 述階梯形可知方程組的通解為
{ x_{1}=x_{2}=x_{4},x_{3}=x_{5}=0 . }
其中 {x_{4}} 為自由末知量,所以 {\alpha=x_{4} \alpha_{4}},這說明 {W_{1} \cap W_{2}=L\left(\alpha_{4}\right)},進(jìn)而 {\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=1}.

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