介紹
There is hardly any theory which is more elementary than linear algebra, in spite of the fact that generations of professors and textbook writers have obscured its simplicity by preposterous calculations with matrices.
— Jean Dieudonne
線性代數(shù)在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用
- 計(jì)算機(jī)科學(xué)
- 物理
- 電力工程
- 機(jī)械工程
- 統(tǒng)計(jì)
- ……
學(xué)過(guò)線性代數(shù)的學(xué)生可能都會(huì)做以下計(jì)算，但他們卻不知道為什么要這樣計(jì)算祖驱，它們分別代表的含義是什么矢洲？學(xué)生們對(duì)于線性代數(shù)中的幾何意義的理解是非常模糊的
- matrix multiplication - 矩陣乘法
- the Determinant - 行列式
- cross products - 交叉乘積
- eigenvalues - 特征值
實(shí)際上斗搞，理解線性代數(shù)的幾何意義，有助于在你遇到具體問(wèn)題的時(shí)候榕堰，知道用什么工具去解決它們，這些工具為什么有效，并且對(duì)產(chǎn)生的結(jié)果做出解釋剃盾。而理解線性代數(shù)的算術(shù)意義，只能夠幫你在使用這些工具的時(shí)候强法，完成整個(gè)計(jì)算過(guò)程万俗。所以學(xué)習(xí)線性代數(shù)的層次關(guān)系應(yīng)該是，由底向上：
幾何意義 -> 算術(shù)意義 -> 應(yīng)用
于是饮怯，面對(duì)線性代數(shù)問(wèn)題闰歪，人們更應(yīng)該把計(jì)算部分交給計(jì)算機(jī)來(lái)完成，自己則專注于概念和原理部分蓖墅。
向量是什么
The introduction of numbers as coordinates is an act of violence.
— Hermann Weyl
向量是線性代數(shù)基本構(gòu)成要素的根源库倘。不同的職業(yè)對(duì)向量有不同的視角：
物理系學(xué)生對(duì)向量的視角：vectors are arrows pointing in space. What defines a given vector is its length, and the direction it's pointing in.
-
計(jì)算機(jī)專業(yè)同學(xué)的視角: vectors are ordered lists of numbers. 2-dimensional is the fact that the length of that list is 2.
-
數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué): generalise both of these views （線性代數(shù)中所有的課題都是圍繞這兩種操作進(jìn)行的）:
- 兩個(gè)向量相加
- 用一個(gè)常數(shù)和另一個(gè)向量相乘
Vector - 在坐標(biāo)系中的有箭頭的線段，它的末尾總在原點(diǎn)上论矾，在2維空間中教翩，向量 的第 1 個(gè)數(shù)字
是尖端落在
軸的長(zhǎng)度，第 2 個(gè)數(shù)字
是尖端落在
軸的長(zhǎng)度贪壳，如果落在原點(diǎn)的左邊（
軸）和下邊（
軸）饱亿，則
、
的值為負(fù)數(shù)闰靴；在 3 維空間中彪笼，每個(gè)向量有 3 個(gè)數(shù)（
、
蚂且、
）來(lái)表示配猫，分別是尖端落在
、
杏死、
軸上的長(zhǎng)度泵肄，
捆交、
、
同樣是有符號(hào)的腐巢。
vector 相加的幾何意義
向量 （
）和向量
（
）相加的示意圖如下
- 保持
不動(dòng)
- 保持
的方向不變品追，將
- 從原點(diǎn)到
向量和常量乘法的幾何意義
用一個(gè)常量乘上一個(gè)向量，意味著將向量保持在其所在的直線上系忙，對(duì)其長(zhǎng)度進(jìn)行拉伸诵盼、壓縮和反向操作，例如 是將向量
的長(zhǎng)度拉升為原來(lái)的 2 倍银还，
是將
壓縮為原來(lái)的
风宁，
是先對(duì)
進(jìn)行反向，再將其長(zhǎng)度拉伸為原來(lái)的
倍蛹疯，這種操作有一個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)描繪它 ——
Scaling戒财；而其中的系數(shù) 、
捺弦、
饮寞，被稱為
Scalar。
參考：
