有心力問題（11）：有心力場散射問題

在歷史上，有心力問題通常被作為天文問題來研究莉给。但就好像是波爾推出的氫原子模型一樣，有心力問題的研究范圍不單單局限于天體的運動。經(jīng)典力學中另一類涉及到有心力問題的則是粒子在有心力場中的散射問題织堂。

$\bullet$ 當涉及到原子尺度的問題時，由于存在量子效應奶陈，通過經(jīng)典分析得到的結(jié)果通常都是不準確的易阳。但在一些情況下，經(jīng)典分析也不失為一種有效的近似吃粒。再加上經(jīng)典理論和量子理論對粒子散射過程的描述大相徑庭潦俺，所以我們即便使用經(jīng)典語言來研究這一問題也是可行的。

$\bullet$ 對于只考慮一體的體系徐勃，散射問題主要研究力心對粒子束的散射事示。我們考慮的粒子束通常含有相同的質(zhì)量與能量，不同粒子束間的特征主要由強度 $I$ （通量密度）來區(qū)別僻肖，它被定義為單位時間內(nèi)通過了單位法面積的粒子個數(shù)肖爵。

$\bullet$ 當一個粒子靠近力心時，它將受到吸引力或排斥力檐涝，并在力的作用下偏離原來的速度方向遏匆。當它再次遠離力心時，作用力會隨距離減弱谁榜，于是粒子又慢慢恢復為直線運動幅聘。由于最終粒子射出后的方向相對于初始的入射方向存在偏斜，我們稱這時的粒子受到了散射(scattered)窃植。

$\bullet$ 一個給定方向的散射截面 $\sigma(\mathbf{\Omega})$ 被定義為：

$\sigma(\mathbf{\Omega})\;d\Omega \equiv \frac{dN}{I}$

其中 $dN$ 是單位時間內(nèi)散射進入立體角的粒子個數(shù)帝蒿， $I$ 是通量密度， $d\Omega$ 是 $\mathbf{\Omega}$ 方向的立體角元巷怜。

我們有時也將 $\sigma(\mathbf{\Omega})$ 稱為微分散射截面(differential scattering cross-section)葛超。

根據(jù)立體角的定義情组，立體角微分元與球坐標微分元的關系為：

$d\Omega = r^2 \sin\theta d\phi d\theta$

由于是單位球體披蕉， $r = 1$ 炫惩，所以

$d\Omega = \sin\theta d\phi d\theta$

因為有心力場關于入射方向?qū)ΨQ勉痴，方位角始終為 $2\pi$ ：

$d\Omega = 2\pi\sin\Theta d\Theta$

其中 $\Theta$ 是球坐標中的天頂角拨扶，也被稱為散射角(scattering angle)葵硕。

斥力場散射

$\bullet$ 對于任意粒子卖陵，軌道是恒定的儡嘶，所以粒子散射的將完全取決于能量 $E$ 以及角動量 $l$ 。但由于我們不常使用角動量芜飘，而能量常常被作為實驗已知量务豺，所以我們習慣將能量與撞擊參數(shù)(impact parameter) $s$ 一起用來表示角動量。撞擊參數(shù)被定義為入射粒子的速度矢量與力心的垂直距離嗦明。

若入射粒子的速度為 $v_0$ 笼沥，角動量

$l = mv_0 s$

由于粒子位于無限遠處， $E = T + V = \frac{1}{2}mv_0^2$

$\implies mv_0 = \sqrt{2mE}$

$\implies \boxed{l = s\sqrt{2mE}}$

一旦能量與撞擊參數(shù)確定娶牌，粒子的散射角度就可以被唯一地確定奔浅。

考慮粒子從從 $s$ 到 $s + ds$ 的環(huán)狀區(qū)域散射到從 $\Theta$ 到 $\Theta + d\Theta$ 的立體角內(nèi)。

環(huán)狀區(qū)域的面積為： $2\pi s|ds|$

入射粒子數(shù)為： $2\pi s|ds| I$

微分散射截面為： $\sigma(\mathbf{\Omega})d\Omega$

散射粒子數(shù)： $\sigma(\mathbf{\Omega})d\Omega I = 2\pi \sigma(\Theta)I\sin\Theta |d\Theta|$

使用絕對值符號主要考慮到微粒個數(shù)是非負的裙戏，而撞擊參數(shù)和散射角的變化均可以為負乘凸。

由于在單位時間內(nèi)入射和散射的粒子數(shù)目相等，

$2\pi s I|ds| = 2\pi \sigma(\Theta)I\sin\Theta|d\Theta|$

如果撞擊參數(shù)是一個關于能量與散射角度的函數(shù)：

$s = s(\Theta,E)$ 累榜，根據(jù)上面等式我們可以得到：

$\boxed{\sigma(\Theta) = \frac{s}{\sin\Theta}\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|}$

我們得到了在 $\Theta$ 方向上的微分截面的表達式营勤。

$\bullet$ 散射角 $\Theta$ 關于撞擊參數(shù) $s$ 的函數(shù)則可由有心力問題（5）中極角關于半徑的積分得到：

$\theta = \int_{r_0}^r\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{2mE}{l^2}} - \frac{2mV}{l^2} - \frac{1}{r^2}} + \theta_0$

考慮排斥力場，粒子的軌道關于近心點對稱壹罚。如圖所示葛作，設近心點的距離為 $r_m$ ，

則有關系： $\Theta = \pi - 2\Psi$

若以力心的右端為零度極角猖凛，逆時針測量赂蠢，那么當 $r = r_0 = \infty$ 時， $\theta_0 = \pi$ 辨泳；當 $r = r_m$ 虱岂， $\theta = \pi - \Psi$ 。于是積分變?yōu)?/p>
$\theta = \int_{\infty}^{r_m}\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{2mE}{l^2}} - \frac{2mV}{l^2} - \frac{1}{r^2}} + \pi$

又因為 $l = s\sqrt{2mE}$ 菠红，進一步改寫為

$\Psi = \int_{r_m}^{\infty}\frac{sdr}{r\sqrt{r^2\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2}}$

最后可以得到

$\boxed{\Theta(s) = \pi - 2\int_{r_m}^{\infty}\frac{sdr}{r\sqrt{r^2\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2}}}$

或者使用 $u \equiv \frac{1}{r}$ 第岖，可將積分寫為：

$\boxed{\Theta(s) = \pi -2\int_0^{u_m}\frac{sdu}{\sqrt{\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2u^2}}}$

由于這兩個積分不存在解析解，在散射問題中试溯，除非是直接利用數(shù)值分析的電腦程序蔑滓，它們其實被用得很少。

$\bullet$ 歷史上遇绞，散射角關于 $\Theta$ 撞擊參數(shù) $s$ 的解析表達式是在庫倫場中的粒子排斥散射下推導的键袱。

力場由一個具有電荷量 $Ze$ 的粒子產(chǎn)生，粒子束的粒子均具有電荷量 $Z^{\prime}e$ 摹闽。庫侖力 $f = \frac{ZZ^{\prime}e^2}{r^2}$ 蹄咖，它是一個平方反比排斥力，比例系數(shù) $k = -ZZ^{\prime}e^2$

如果 $E \gt 0$ 付鹿，粒子的運動軌道是未封閉的雙曲線澜汤，偏心率 $\begin{align*}\varepsilon &= \sqrt{1 + \left[\frac{2El^2}{m(ZZ^{\prime}e^2)^2}\right]}\\&= \sqrt{1 + \left(\frac{2sE}{ZZ^{\prime}e^2}\right)^2}\end{align*}$

將 $\theta^{\prime}$ 選為 $\pi$ 铝量，近心點對應 $\theta = 0$ ，軌道方程

$\begin{align*}\frac{1}{r} &=\frac{mk}{l^2}\left(1 + \varepsilon\cos(\theta - \pi)\right)\\&= \frac{mZZ^{\prime}e}{l^2}(\varepsilon\cos\theta - 1)\end{align*}$

當粒子被散射至無窮遠處银亲， $r \rightarrow \infty$ ， $\theta \rightarrow \Psi$

$\lim_{r\rightarrow \infty} \cos\theta = \lim_{r\rightarrow \infty}\frac{l^2}{r\varepsilon m ZZ^{\prime}e^2} + \frac{1}{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon}$

由之前散射角與 $\mathbf{\Psi}$ 的關系可以得到：

$\Psi = \frac{1}{2}(\pi - \Theta)$

所以纽匙，當 $r\rightarrow \infty$

$\cos\Psi = \cos \frac{1}{2}(\pi - \Theta) = \sin\frac{\Theta}{2} = \frac{1}{\varepsilon}$

相應地务蝠，由于 $\Theta$ 是銳角，

$\cos\frac{\Theta}{2} = \sqrt{1 - \frac{1}{\varepsilon^2}}$

$\cot^2\frac{\Theta}{2} = \left(\sqrt{\frac{\varepsilon^2 - 1}{\varepsilon^2}} \cdot \varepsilon\right)^2 = \varepsilon^2 - 1$

將之前得到的偏心率表達式代入：

$\cot\frac{\Theta}{2} = \frac{2sE}{ZZ^{\prime}e^2}$

整理后有

$\boxed{s(\Theta,E) = \frac{ZZ^{\prime}e^2}{2E}\cot\frac{\Theta}{2}}$

我們得到了撞擊參數(shù)關于散射角的解析表達式烛缔，這也是所謂的庫倫散射公式(Coulomb scattering formula)馏段。

$\bullet$ 從而可以得到在庫倫平方反比斥力場下的微分散射截面：

$\begin{align*}\sigma(\Theta) &= \frac{s(\Theta,E)}{\sin\Theta}\left|\frac{ds(\Theta,E)}{d\Theta}\right|\\&= \frac{ZZ^{\prime}e^2}{2E}\frac{\cot\frac{\Theta}{2}}{\sin\Theta}\frac{ZZ^{\prime}e^2}{4E}\csc^2\frac{\Theta}{2}\end{align*}$

使用二倍角關系： $\frac{1}{\sin\Theta} = \frac{1}{2\sin\frac{\Theta}{2}\cos\frac{\Theta}{2}} = \frac{1}{2}\frac{\csc\frac{\Theta}{2}}{\cos\frac{\Theta}{2}}$

最后經(jīng)整理：

$\boxed{\sigma(\Theta) = \frac{1}{4}\left(\frac{ZZ^{\prime}e^2}{2E}\right)^2\csc^4\frac{\Theta}{2}}$

這是著名的盧瑟福散射截面(Rutherford scattering cross-section)。最早由歐內(nèi)斯特·盧瑟福(Ernest Rutherford)在研究原子核對 $\alpha$ 粒子的散射問題時推導践瓷。

$\bullet$ 在原子物理中院喜，全散射截面(total scattering cross-section)具有如下定義：

$\sigma_T = \int_{4\pi}\sigma(\mathbf{\Omega})\;d\Omega = 2\pi \int_0^{\pi}\sigma(\Theta)\sin\Theta\;d\Theta$

對于庫倫力場這樣的平方反比力場，我們知道晕翠，它的作用范圍是遠距離的喷舀。場強隨著距離增加而逐漸趨近零，但并不等于零淋肾。因此硫麻，對于那些撞擊參數(shù)非常大的粒子，散射角度將會非常地小樊卓，但根據(jù)全散射截面的定義拿愧，截面必須包含粒子束中所有粒子的散射情況，所以只要撞擊參數(shù) $s$ 可以取無窮碌尔， $\sigma_T$ 自身也必須為無窮浇辜。其實，這并非庫倫力場才具有的性質(zhì)唾戚。在經(jīng)典力學中柳洋，對于任何散射場，只要在所有距離強度皆不為零颈走，散射截面都會是無限的膳灶。但如果散射場有斷層，如果在某一距離以外為零立由，比如在原子內(nèi)部電子層會存在屏蔽效應(shielding effect)轧钓，對應的散射截面則是有限的。

$\bullet$ 對于盧瑟福散射锐膜，撞擊參數(shù)與散射角之間的關系與之前的分析很接近毕箍。我們有：

$s(\Theta,E) = \frac{ZZ^{\prime}e^2}{2E}\cot\frac{\Theta}{2}$

當撞擊參數(shù)非常大時，粒子受場的影響很小道盏，因此散射角度接近零而柑。隨著撞擊參數(shù)慢慢地從無窮減小到零文捶，散射角單調(diào)遞增，并在 $s = 0$ 時取得最大 $\Theta = \pi$ 媒咳，粒子沿原來的入射角度被原封不動地散射了回去粹排。

然而，對于其他非庫倫力場的散射涩澡，微分截面的表達式

$\sigma(\Theta) = \frac{s}{\sin\Theta}\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|$

則需要被效應地修改顽耳。

比如，如果散射場與距離存在下圖所示的關系：

散射角與撞擊參數(shù)的變化關系則為：

可見妙同，與之前的庫倫散射場相同射富，對于 $s = 0$ 或 $s = \infty$ 的極限情況，散射角均為零粥帚。但由于散射角存在局部最大值胰耗，任何 $\Theta \lt \Theta_{m}$ 的情況，都將會存在兩個不同的撞擊參數(shù) $s_i$ （ $i = 1,2$ ）芒涡，每一個都將會對微分散射截面有貢獻柴灯，所以我們需要將其修改為：

$\boxed{\sigma(\Theta) = \sum_i \frac{s_i}{\sin\Theta}\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|_{i}}$

$\bullet$ 在最大值 $\Theta = \Theta_m$ 處， $\left.\frac{d\Theta(s)}{ds}\right|_{\Theta = \Theta_m} = 0$ 费尽，散射截面將變?yōu)闊o窮大弛槐，但對于任何大于 $\Theta_m$ 的角度，散射截面則是零依啰。由于這種從無窮大突變?yōu)榱愕奶卣髋c幾何光學中雨滴對陽光的散射非常相似乎串，人們將發(fā)生在散射角最值處的散射稱為彩虹散射(rainbow scattering)。

$\bullet$ 上面討論的都僅僅只是純排斥力下的散射速警，而如果散射還包含有吸引力叹誉，問題將會變得更加復雜。如圖闷旧，

吸引力的作用將會對粒子朝力心拉长豁，所以 $\Psi$ 將大于 $2\pi$ ，這樣一來散射角 $\Theta = \pi - 2\Psi$ 將是一個負數(shù)忙灼。如果使用條件 $r_0 = \infty$ 匠襟， $\theta_0 = \pi$ ； $\theta = \pi - \Psi$ 该园， $r = r_m$ 酸舍，積分

$\Theta(s) = \pi - 2\int_{r_m}^{\infty}\frac{sdr}{r\sqrt{r^2\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2}}$

將大于 $2\pi$ ：入射的粒子將繞轉(zhuǎn)力心數(shù)圈，最終才被散射出去里初。

$\bullet$ 下圖是若干具有不同撞擊參數(shù)的吸引排斥結(jié)合散射場啃勉，

對于撞擊參數(shù)為 $s_1$ ，能量為 $E_1$ 的粒子双妨，經(jīng)過散射后繞著力心形成半徑為 $r_1$ 的圓形軌道淮阐。根據(jù)伯特蘭定理叮阅，該圓軌道是不穩(wěn)定的。若不存在任何半徑的微擾泣特，當 $r = r_1$ 時浩姥，粒子將繞著力心一直旋轉(zhuǎn)下去。如果能量 $E \gt E_1$ 状您，則不會出現(xiàn)任何形式的圓軌道及刻。如果半徑位于 $r_1$ 的附近，粒子將會在最值附近逗留很長一段時間竞阐。這時的角速度：

$\dot{\theta} = \frac{l}{mr_1^2} = \frac{s_1}{r_1^2}\sqrt{\frac{2E}{m}}$

由于不受最值的影響，粒子將會在這段逗留時間內(nèi)繞著力心旋轉(zhuǎn)若干倍 $2\pi$ 弧度暑劝，我們稱這樣的散射具有繞轉(zhuǎn)(orbiting)或螺旋(spiraling)特性骆莹。

$\bullet$ 當撞擊參數(shù)增加（角動量增加），有效勢的峰值會逐漸變平担猛。對于具有 $s_2$ 撞擊參數(shù)的粒子幕垦，如果此時能量大于 $E_2$ ，粒子的軌道將不再封閉傅联。對于高能量低撞擊參數(shù)的情況先改，粒子受到則都是與盧瑟福散射類似的近距離的排斥散射。在實驗室坐標系下蒸走，觀測的粒子散射角度通常介于 $0$ 和 $\pi$ 之間仇奶。為了區(qū)分，我們定義偏斜角度(deflection angle) $\Phi$ 比驻，為等式

$\Theta(s) = \pi - 2\int_{r_m}^{\infty}\frac{sdr}{r\sqrt{r^2\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2}}$

右側(cè)積分的結(jié)果该溯，于是 $\Phi$ 與 $\Theta$ 的關系為：

$\Theta = \pm \Phi - 2m\pi$

其中 $m$ 是正整數(shù)。

正負號則是為了使得散射角 $\Theta$ 能夠處于 $0$ 到 $\pi$ 之間而確定的别惦。

$\bullet$ 下圖著重分析了當粒子具有能量 $E_1$ 以及大于 $E_2$ （ $E_3$ ）時散射角與撞擊參數(shù)的關系：

可見狈茉，當 $E = E_1$ 時， $s_1$ 處存在奇點掸掸，在不受微擾的情況下氯庆，粒子將在此處以圓軌道按順時針方向永久繞轉(zhuǎn)力心。當 $E \gt E_2$ 時扰付，軌道不封閉堤撵，在 $\Theta = -\Phi^{\prime}$ 出現(xiàn)了局部最小值，任何更小的角度將導致散射截面完全消失羽莺，是所謂的彩虹散射粒督。散射角在 $s_3$ 處時， $\Theta = 0$ 禽翼，根據(jù)

$\sigma(\Theta) = \frac{s}{\sin\Theta}\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|$

由于 $\sin\Theta = 0$ 屠橄，散射截面從前方向變成無窮族跛。同理，只要

$s\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|$

始終是有限的锐墙，當 $\Theta = \pi$ 時礁哄，散射截面也可從后方向變成無窮。

這種前方或后方的散射效應與氣象光學中航行飛機投影在下方云層上的影子會被一層光圈包圍的現(xiàn)象相似溪北，所以人們稱其為輝光散射(glory scattering)桐绒。