通透數(shù)量關(guān)系建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
——例談以“雞兔同籠”問題解法多樣性培養(yǎng)數(shù)感及建構(gòu)模型
樂平市第九小學(xué)蔣銘國
摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》發(fā)布涛癌，全面重新界定了義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程性質(zhì)及基本理念。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)贾费。數(shù)學(xué)教學(xué)上升為數(shù)學(xué)教育。數(shù)學(xué)教育指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)傅瞻。本文旨在以“雞兔同籠”問題教學(xué)實(shí)踐為例亲澡，借助解法多樣性，通透問題情境中蘊(yùn)含的“千絲萬縷”的數(shù)量關(guān)系耗啦，透過現(xiàn)象凿菩，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)模型帜讲。力求在豐富的思維過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)感能力衅谷，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考，體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷胨平鰪?qiáng)分析和解決問題的能力获黔。
關(guān)鍵詞：數(shù)量關(guān)系? 數(shù)感? 數(shù)學(xué)思考? 數(shù)學(xué)模型
“雞兔同籠”問題中的彼此間的數(shù)量關(guān)系甚為密切蚀苛，具有“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的牽扯，是培養(yǎng)數(shù)感的極好范例玷氏。在解法多樣性中堵未，數(shù)學(xué)思考顯得尤為重要。正如鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》中所說盏触，“走向數(shù)學(xué)思維”渗蟹，并力求實(shí)現(xiàn)從“數(shù)學(xué)地思維”到“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”的跨越。在思維力的推動(dòng)下赞辩，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)雌芽，觸摸數(shù)學(xué)模型便水到渠成，順理成章辨嗽，也實(shí)現(xiàn)了發(fā)展“人”的教育膘怕。
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。厘清數(shù)量關(guān)系召庞，培養(yǎng)數(shù)感能力岛心，是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型篮灼，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)思考的具體體現(xiàn)⊥牛現(xiàn)就“雞兔同籠”問題教學(xué)實(shí)踐中遇到的問題及思考，做交流如下诅诱。
“雞兔同籠”問題是北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”中的內(nèi)容髓堪，課題是“嘗試與猜測(cè)”。教材上內(nèi)容是通過列表法解決問題的娘荡，旨在體驗(yàn)嘗試與猜測(cè)的過程干旁，并通過驗(yàn)證獲得正確結(jié)果。
為了進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)炮沐，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)本質(zhì)争群，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考力的提升，特意在教材列表法解決“雞兔同籠”問題的基礎(chǔ)上大年，進(jìn)行了后續(xù)拓展課程换薄，致力于在通透數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，觸摸問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)翔试，建構(gòu)數(shù)學(xué)問題模型轻要，進(jìn)一步有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力。
一冲泥、通透數(shù)量關(guān)系，訓(xùn)練數(shù)感能力
為了讓學(xué)生多角度弄通弄透“雞兔同籠”問題中的數(shù)量關(guān)系凡恍，并在感知、理解數(shù)量關(guān)系中提升數(shù)感能力咳焚，特借助解法多樣性進(jìn)行了教學(xué)探索與實(shí)踐。
例：雞和兔一共有35只革半，腿有94條，求雞和免各有多少只?
方法一：金雞獨(dú)立法
解法思維：所有的雞與兔全部抬起一半的腿又官，即雞抬起一條腿，兔抬起兩條腿漫试，列式為總腿數(shù)除以2。然后再減去雞兔的總頭數(shù)驾荣，也就相當(dāng)于雞兔再一次抬起來一條腿。此時(shí)剩下的數(shù)就是所有的兔剩下的腿數(shù)猜煮，也是兔的只數(shù)。
算式過程為：
94÷2=47（條）? ? ? 47-35=12（只）? ? ? 35-12=23（只）
綜合算式：
94÷2-35
= 47-35
= 12（只）? ? ? ? ? 35-12=23（只）
方法二：砍腿法
解法思維：將所有的雞和兔砍去兩條腿歧匈，然后用所有的腿數(shù)減去已經(jīng)砍去的腿數(shù)，剩下來的就是兔的腿數(shù)件炉，并且每只兔只有兩條腿。然后用剩下的腿數(shù)除以2斟冕，便可求出兔的只數(shù)口糕，從而進(jìn)一步求出雞的只數(shù)。
算式過程為：
35×2=70（條）? ? 94-70=24（條）? ? 24÷2=12（只）? ? 35-12=23（只）
綜合算式：
（94-35×2）÷2
= （94-70）÷2
= 24÷2
= 12（只）? ? ? ? ? ? ? 35-12=23（只）
方法三：假設(shè)法
解法思維：假設(shè)全部是兔磕蛇，或者說所有的雞和兔一樣走净，都長有四條腿。這樣一來腿的條數(shù)就會(huì)多出來孤里。多出來的腿的條數(shù)就是因?yàn)殡u原本是兩條腿伏伯，現(xiàn)在我們假設(shè)成了四條腿，也就是說每只雞多出來了兩條腿捌袜。所以用多出來的腿數(shù)除以2就是雞的只數(shù)说搅。
算式過程為：
35×4=140（條）? 140-94=46（條）? 46÷2=23（只）? 35-23=12（只）
綜合算式：
（35×4-94）÷2
= （140-94）÷2
= 46÷2
= 23（只）? ? ? ? ? 35-23=12（只）
方法四：全雞糾偏法【1】
解法思維及過程：假如所有的腿都是雞的，那么有雞47只虏等，即94÷2=47（只）弄唧。這意味著有47只雞适肠，事實(shí)上是35個(gè)頭。如此一來候引，多出12只雞侯养，即47-35=12（只）。于是把24只雞置換成12只兔澄干，確保減少12個(gè)頭逛揩，但總腿數(shù)沒有變化。所以兔有12只麸俘，雞有23只辩稽，即35-12=23（只）或47-12×2=23（只）。
方法五：全兔糾偏法【2】
解法思維及過程：假如所有的腿都是兔的从媚，那么有兔23只逞泄，雞1只，即94÷4=23（只）……2（條）拜效。這意味著有23只兔喷众，1只雞，事實(shí)上是35個(gè)頭紧憾。如此一來侮腹，少了11個(gè)頭，即35－23-1=11（只）稻励。于是把11只兔置換成22只雞父阻，確保增加11個(gè)頭，但總腿數(shù)沒有變化望抽。所以兔有12只加矛，即23－11=12（只），雞有23只煤篙，即35-12=23（只）或11×2+1=23（只）斟览。
方法六：解方程法
解：設(shè)雞有x只，則兔有（35-x）只辑奈，
2x+4×（35-x）= 94
2x+140-4x = 94
46= 2x
2x= 46
x = 23
35-23=12（只）
答：雞有23只苛茂，兔有12只。
通過嘗試多種方法解決問題的過程中妓羊，孩子們充分感悟了其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系稍计，數(shù)感能力得到了切實(shí)的訓(xùn)練與提升。事實(shí)上净刮，孩子們?cè)诮鉀Q問題的嘗試中，對(duì)其中的數(shù)量關(guān)系及其“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的牽扯捋得更清了株婴，理解得更通透了暑认，也為后續(xù)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型奠定了感性基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)理解。
二、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型饥努，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)
當(dāng)孩子們理解了“雞兔同籠”問題之后，可以拋出其它類似問題驾诈。按照教材要求可以采用列表法溶浴，通過“嘗試與猜測(cè)”，解決問題士败，獲取問題結(jié)果谅将。由于我們有了后續(xù)拓展學(xué)習(xí)，尤其是“砍腿法”與假設(shè)法的學(xué)習(xí)逊躁，讓孩子們對(duì)“雞兔同籠”問題有了更深刻的理解隅熙，于是我們可以引領(lǐng)孩子們進(jìn)行更加深入數(shù)學(xué)思考，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)囚戚，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。
如何關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)绿店，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型呢假勿？于是拋出以下例題。
例1：有面值5元和10元的人民幣共14張转培，總值100元，5元和10元的人民幣各有多少張惨寿？
例2：35人去劃船删窒，租大小船共9條，已知大船每條坐5人蕉拢，小船每條坐3人诚亚，租了幾條大船？幾條小船站宗？
為了讓學(xué)生充分體驗(yàn)思考的過程，感悟例題與“雞兔同籠”問題之間的聯(lián)系夷家，于是讓學(xué)生們分小組自由討論瘾英。當(dāng)學(xué)生們經(jīng)過討論后進(jìn)行交流颂暇，彼此補(bǔ)充、互相啟發(fā)耳鸯，孩子們達(dá)成以下初步認(rèn)識(shí)。在例題1中阳啥，“雞”是5元的人民幣财喳，“兔”是10元的人民幣斩狱；“雞兔的總只數(shù)”是14張扎瓶；“每只雞的腿數(shù)”是5元，“每只兔的腿數(shù)是”10元秕岛，“總腿數(shù)”是100元继薛。
在例2中，“雞”是小船遏考，“兔”是大船蓝谨；“雞兔的總只數(shù)”是9條；“每只雞的腿數(shù)”是3人稽亏，“每只兔的腿數(shù)是”5人缕题，“總腿數(shù)”是35人胖腾。
通過關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的訓(xùn)練，建立問題間的鏈接锨阿，初步讓孩子們體驗(yàn)到墅诡，用數(shù)學(xué)的思維來思考表面看似不同的問題桐智，實(shí)際上它反映的數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系模型是一致的∷低ィ“雞兔同籠”數(shù)學(xué)問題模型所反映的數(shù)量關(guān)系是：甲刊驴、乙事物一共有M個(gè)寡润；甲具有某種屬性x梭纹，乙具有某種屬性y业踢，甲乙具有這種屬性一共有N。則甲瞬沦、乙事物分別有多少個(gè)雇锡？
起初有些孩子可能不太理解這種模型意識(shí)，也不太理解這里面所關(guān)注的數(shù)學(xué)本質(zhì)曙痘。但是經(jīng)過幾次體驗(yàn)下來之后立肘，孩子們都能夠較好地理解其中的含義谅年。也能夠在不同的問題表象中尋找出其數(shù)學(xué)模型所對(duì)應(yīng)的事物屬性。
三旺订、磨煉數(shù)學(xué)眼力超燃，提升數(shù)學(xué)思考
孩子們具有了初步的模型意識(shí)之后，就可以鼓勵(lì)他們到生活中去應(yīng)用了樱调。在這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)中届良，孩子們可以真切地磨煉數(shù)學(xué)眼力，提升數(shù)學(xué)思考菩颖。在完成老師布置的自編題目活動(dòng)中为障，孩子們帶來了如下題目。
例1：停車場有電瓶車和汽車一共16輛呻右，已知一共有50個(gè)輪子，請(qǐng)問電瓶車多少輛声滥？汽車多少輛？
例2：一天纽疟，小明捉來七星瓢蟲和蜘蛛做觀察研究憾赁。一共有9只，66條腿蟆肆。你知道七星瓢蟲和蜘蛛分別有多少只嗎炎功？（七星瓢蟲6條腿缓溅，蜘蛛8條腿。）
當(dāng)孩子們嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察各種各樣的生活現(xiàn)象州藕，便生成了許多精彩的數(shù)學(xué)問題酝陈。將這些問題聚集在一起進(jìn)行交流沉帮，在交流的過程中不但加深了孩子們對(duì)問題模型的感性認(rèn)識(shí)，也深化了對(duì)這一數(shù)學(xué)模型的理解及其運(yùn)用穆壕。這一切喇勋，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考訓(xùn)練扎實(shí)有素川背，成長擲地有聲。
經(jīng)過系列課程之后熄云，孩子們學(xué)會(huì)了利用數(shù)學(xué)的眼光，在生活中提煉出“雞兔同籠”問題荚守，并能夠輕易地進(jìn)行解決矗漾。同時(shí)對(duì)這一數(shù)學(xué)模型已經(jīng)有了較為深刻的認(rèn)識(shí)與理解缩功，數(shù)感能力也得到了有效的訓(xùn)練與提升。著實(shí)收到了在通透數(shù)量關(guān)系的同時(shí)嫡锌，建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型的預(yù)期效果势木。
注釋：
【1】全雞糾偏法：事先假定全部為雞歌懒，用所有的腿數(shù)除以2，得出雞的頭數(shù)甫男，與事實(shí)不符验烧，于是進(jìn)行糾偏。為了能夠?qū)⒍喑龅念^數(shù)消除掉若治，又要確保腿數(shù)不變感混，所以用多出頭數(shù)的雙倍數(shù)雞置換單倍數(shù)兔弧满。
【2】全兔糾偏法：事先假定全部為兔，用所有的腿數(shù)除以4滑进，得出兔的頭數(shù)郊供，與事實(shí)不符，于是進(jìn)行糾偏驮审。為了能夠?qū)⑷鄙俚念^數(shù)增補(bǔ)上，又要確保腿數(shù)不變地来，所以用缺少頭數(shù)的單倍數(shù)兔置換雙倍數(shù)雞熙掺。
參考文獻(xiàn)：
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