2.6.2 連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布（Distribution of Functions of Random Variables）

參考：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第二版） 茆詩(shī)松

個(gè)人覺得“連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布”這個(gè)表述有點(diǎn)繞裸弦，遠(yuǎn)不如英語(yǔ)的“Distribution of Functions of Random Variables”，所以加了個(gè)英文的標(biāo)題

幾個(gè)定理的證明的練習(xí)和筆記
先總結(jié)下思路脈絡(luò)：

當(dāng)g(x)為嚴(yán)格單調(diào)時(shí)

定理2.6.1是重點(diǎn)狰住，后面的定理2.6.2~定理2.6.4都是基于定理2.6.1推導(dǎo)

定理2.6.1給出了 $y=g(x)$ 嚴(yán)格單調(diào)時(shí)，隨機(jī)變量 $Y=g(X)$ 的通用PDF公式
定理2.6.2給出了初始隨機(jī)變量為正態(tài)分布辅斟，F(xiàn)unctions of (正態(tài)分布隨機(jī)變量)的Function為一次線性函數(shù)時(shí)的分布
定理2.6.3給出了初始隨機(jī)變量為正態(tài)分布转晰，F(xiàn)unctions of (正態(tài)分布隨機(jī)變量)的Function為對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)的分布，并引出了對(duì)數(shù)正態(tài)分布
定理2.6.4給出了初始隨機(jī)變量為伽馬分布士飒，F(xiàn)unctions of (正態(tài)分布隨機(jī)變量)的Function為kX時(shí)的分布查邢，并引出了其應(yīng)用——任一伽馬分布轉(zhuǎn)化為卡方分布

定理2.6.5給出了特定條件下 $F_{X}(X)$ 服從 $(0,1)$ 上的均勻分布 $U(0,1)$ 這么一個(gè)結(jié)論，并推演出了各種分布隨機(jī)數(shù)的獲取方法——隨機(jī)模擬法（蒙特卡羅法）

當(dāng)g(x)為其他形式時(shí)

給出了 $g(X)$ 的通用求法思路酵幕，結(jié)合例題思考

下面進(jìn)入正題

當(dāng)g(x)為嚴(yán)格單調(diào)時(shí)

定理2.6.1

設(shè) $X$ 是連續(xù)隨機(jī)變量扰藕，其密度函數(shù)為 $p_{X}(x)$ ， $Y=g(X)$ 是另一個(gè)隨機(jī)變量芳撒。
若 $y=g(x)$ 嚴(yán)格單調(diào)邓深，其反函數(shù) $h(y)$ 有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則 $Y=g(X)$ 的密度函數(shù)為
$p_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|,a<y<b \\ 0,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad others \end{matrix}\right.$
其中 $a=min\left\{g(-\infty,g(\infty))\right \},b=max\left\{g(-\infty,g(\infty))\right \}$

證明：

設(shè) $g(x)$ 是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)笔刹，這時(shí)它的反函數(shù) $h(y)$ 也嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)芥备。
且 ${h}'(y)>0$ 。記 $a=g(-\infty),b=g(\infty)$ 舌菜，這意味著 $y=g(x)$ 僅在區(qū)間 $(a,b)$ 取值萌壳，于是y的CDF $F_{Y}(y)$ 有

當(dāng) $y<a$ 時(shí)
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=0$
當(dāng) $y>b$ 時(shí)
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=1$
當(dāng) $a\leqslant y\leqslant b$ 時(shí)
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(g(X)\leqslant y)$
$\qquad \qquad \qquad \quad \quad =P(X\leqslant h(y))=\int_{-\infty}^{h(y)}p_{X}(x)dx$
由此得Y的PDF為
$p_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|,a<y<b \\ 0,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad others \end{matrix}\right.$
同理可證當(dāng) $g(x)$ 是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)時(shí)，結(jié)論也成立。但要注意 ${h}'(y)<0$ 袱瓮，故要加絕對(duì)值符號(hào)缤骨，這時(shí) $a=g(\infty),b=g(-\infty)$ ，綜上所述尺借，定理得證绊起。

定理2.6.2

設(shè)隨機(jī)變量 $X$ 服從正態(tài)分布 $N(\mu,\sigma ^2)$ ，則當(dāng) $a\neq 0$ 時(shí)燎斩，有 $Y=aX+b \sim N(a\mu+b,a^2\sigma ^2)$

證明：

當(dāng) $a>0$ 時(shí)虱歪， $Y=aX+b$ 是嚴(yán)格增函數(shù)，仍在 $(-\infty,\infty)$ 上取值瘫里，其反函數(shù) $h(y)$ 為 $X=(Y-b)/a$ 实蔽， ${h}'(y)=\frac{1}{a}$ 由定理2.6.1可得y的PDF
$\quad p_{Y}(y)$
$=p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|$
$=p_{X}(\frac{y-b}{a})\frac{1}{a}$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left \{ -\frac{1}{2\sigma^ 2}(\frac{y-b}{a}-\mu)^2\right \}\frac{1}{a}$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(a\sigma)}exp\left\{ -\frac{(y-a\mu-b)^2}{2a^2\sigma ^2}\right\}$
這就是正態(tài)分布 $N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ 的PDF。

當(dāng) $a<0$ 時(shí)谨读， $Y=aX+b$ 是嚴(yán)格減函數(shù)，仍在 $(-\infty,\infty)$ 上取值坛吁，其反函數(shù) $h(y)$ 為 $X=(Y-b)/a$ 劳殖，由定理2.6.1可得y的PDF
$\quad p_{Y}(y)$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}|a|\sigma}exp\left\{ -\frac{(y-a\mu-b)^2}{2 a^{2}\sigma^{2}} \right\}$
這是正態(tài)分布 $N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ 的PDF。
$Q.E.D.$

定理2.6.3（對(duì)數(shù)正態(tài)分布）

設(shè)隨機(jī)變量 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 拨脉，則 $Y=e^{X}$ 的概率密度函數(shù)為
$p_{Y}(y)=\left \{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2\pi}y\sigma}exp \left \{-\frac{(lny-\mu)^2}{2\sigma^2}\right \}, y>0 \\ 0 \qquad \qquad\qquad \qquad \quad, y\leqslant 0 \end{matrix} \right.$

證明：

$y=e^{x}$ 是嚴(yán)格增函數(shù)哆姻，它僅在 $(0,\infty)$ 上取值，其反函數(shù) $h(y)$ 為 $x=\ln y$ 玫膀，由定理2.6.1可得

當(dāng) $y \leqslant 0$ 時(shí)矛缨， $F_{Y}(y)=0$ ，從而 $p_{Y}(y)=0.$
當(dāng) $y>0$ 時(shí)帖旨， $Y$ 的PDF為
$\quad p_{Y}(y)$
$=p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|$
$=p_{X}(\ln y)|{\ln}'y|$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left \{ -\frac{(\ln y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right \}\frac{1}{y}$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}y\sigma }exp\left \{ -\frac{(\ln y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right \}$

對(duì)數(shù)正態(tài)分布

這個(gè)分布被稱為“對(duì)數(shù)正態(tài)分布”箕昭，記為 $LN(\mu,\sigma^2)$ ，其中 $\mu$ 稱為對(duì)數(shù)均值解阅， $\sigma^2$ 稱為對(duì)數(shù)方差落竹。對(duì)數(shù)正態(tài)分布 $LN(\mu,\sigma^2)$ 是一個(gè)偏態(tài)分布，也是一個(gè)常用分布货抄，實(shí)際中有不少隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布述召，譬如

絕緣材料的壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布
設(shè)備故障的維修時(shí)間服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布
家中僅有兩個(gè)小孩的年齡差服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布

對(duì)數(shù)正態(tài)分布

定理2.6.4

設(shè)隨機(jī)變量 $X \sim Ga(\alpha,\lambda)$ ，則當(dāng) $k>0$ 時(shí)蟹地，有 $Y=kX\sim Ga(\alpha,\lambda/k)$

證明：

$x>0$ 時(shí)积暖， $Ga(\alpha,\lambda)$ 的 $PDF$ :
$p(x)=\frac{(\lambda)^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha-1}exp\left \{-\lambda x \right \}$

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=k%3E0" alt="k>0" mathimg="1">，所以 $y=kx$ 是嚴(yán)格增函數(shù)怪与，它仍在 $(0,\infty)$ 上取值夺刑，其反函數(shù)為 $x=y/k$ ，由定理2.6.1可得

當(dāng) $y<0$ 時(shí)， $p_{Y}(y)=0$
當(dāng) $y\geqslant 0$ 時(shí)性誉，
$\quad p_{Y}(y)=$
$=p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|$
$=p_{X}(\frac{y}{k})\frac{1}{k}$
$=\frac{\lambda^{\alpha}}{k\Gamma (\alpha)}(\frac{y}{k})^{\alpha-1}exp\left \{-\lambda \frac{y}{k} \right \}$
$=\frac{(\lambda/k)^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}y^{\alpha-1}exp\left \{-\lambda \frac{y}{k} \right \}$
此即 $Ga(\alpha,\lambda/k)$ 的PDF
$Q.E.D.$

用途：

將任一伽馬分布轉(zhuǎn)化為 $\chi ^2$ 分布窿吩，如
當(dāng) $X \sim Ga(\alpha,\lambda)$ ，則 $2\lambda X\sim Ga(\alpha,\lambda/2\lambda)=Ga(\alpha,1/2)=\chi^2(2\alpha)$

定理2.6.5

若隨機(jī)變量的分布函數(shù) $F_{X}(x)$ 為嚴(yán)格單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)，其反函數(shù) $F_{X}^{-1}(y)$ 存在狞洋，則 $Y=F_{X}(X)$ 服從 $(0,1)$ 上的均勻分布 $U(0,1)$

證明：

下求 $Y=F_{X}(X)$ 的分布函數(shù)锅论。由于分布函數(shù) $F_{X}(X)$ 僅在[0,1]區(qū)間上取值，故

當(dāng) $y<0$ 時(shí)轧邪，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%7BF_%7BX%7D(X)%5Cleqslant%20y%5C%7D" alt="\{F_{X}(X)\leqslant y\}" mathimg="1">是不可能事件，所以
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(F_{X}(X)\leqslant y)=0$
當(dāng) $0\leqslant y \leqslant 1$ 時(shí)羞海，有
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(F_{X}(X)\leqslant y)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad =P(X\leqslant F_{X}^{-1}(y))=F_{X}(F_{X}^{-1}(y))=y$
當(dāng) $y\geqslant 1$ 時(shí)忌愚，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%7BF_%7BX%7D(X)%5Cleqslant%20y%5C%7D" alt="\{F_{X}(X)\leqslant y\}" mathimg="1">是必然事件，所以
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(F_{X}(X)\leqslant y)=1$

綜上所述却邓， $Y=F_{X}(X)$ 的分布函數(shù)為
$F_{Y}(y)=\left\{ \begin{matrix} 0,y<0 \qquad\\ y,0\leqslant y <1\\ 1,y\geqslant 1 \qquad\\ \end{matrix} \right.$
這正是 $(0,1)$ 上均勻分布的CDF硕糊，所以 $Y\sim U(0,1)$

意義：

任一個(gè)隨機(jī)變量 $X$ 都可以通過(guò)其分布函數(shù) $F(X)$ 與均勻分布隨機(jī)變量 $U$ 發(fā)生關(guān)系。譬如

$X$ 服從指數(shù)分布 $Exp(\lambda)$ 腊徙，
其分布函數(shù)為 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ 简十，
當(dāng) $x$ 換為 $X$ 后，有
$U=1-e^{-\lambda X} \quad$ 或 $X=\frac{1}{\lambda}\ln \frac{1}{1-U}$
后一式表明：由均勻分布 $U(0,1)$ 的隨機(jī)數(shù)（偽觀察值） $u_{i}$ 可得指數(shù)分布 $Exp(\lambda)$ 的隨機(jī)數(shù) $x_{i}=\frac{1}{\lambda}\ln \frac{1}{1-u_{i}},i=1,2,…,n,…$ 撬腾。
而均勻分布隨機(jī)數(shù)在任一個(gè)統(tǒng)計(jì)軟件都可產(chǎn)生螟蝙，從而指數(shù)分布（繼而其他分布）隨機(jī)數(shù)也可以獲得。而各種分布隨機(jī)數(shù)的獲得是進(jìn)行隨機(jī)模擬法（又稱蒙特卡羅法）的基礎(chǔ)

當(dāng)g(x)為其他形式時(shí)

可直接由 $Y$ 的分布函數(shù) $F_{Y}(y)=P(g(X)\leqslant y)$ 出發(fā)民傻，按函數(shù) $g(x)$ 的特點(diǎn)做個(gè)案處理

最后編輯于：2019.05.22 14:34:39

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