庫倫定律by阮道杰

靜電場庫倫定律 by 阮道杰

知識點

電場和電勢分別描述的什么？
答:電場描述力渠抹，電勢描述能量蝙昙。
電量為Q的點電荷(場源電荷)，在距離它為 $r$ 的場點產(chǎn)生的電場和電勢分別為梧却？
$電場\vec{E}=k\cdot \frac{Q}{r^2}電勢v=k\cdot \frac{Q}{r}$ 電勢v= 電場和電勢遵守何種疊加原理奇颠？答 :電場矢量疊加原理，電勢為代數(shù)疊加原理

表達(dá)題

電量分別為 $Q_{1}=1$ 和 $Q_{2}=2$ 的點電荷(場源電荷)放航，相距為 $d=2r=2?$ 烈拒，則其連線中點處產(chǎn)生的電場和電勢分別為

$電勢大小\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{1}{2} 電場大小 \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{4}$

電量分別為 $Q_{1}=Q_{2}=1$ 和 $Q_{3}=Q_{4}=-1$ 的四個點電荷，分別位于正方形(邊長 $d=\sqrt{2}$ )的四個頂點上三椿。則其中心點處產(chǎn)生的電場和電勢分別為

提示：解答：

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電勢為0 $電場大小\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot 2\sqrt{2}$ 方向豎著向下

電量分別為 $Q_{1}=Q_{3}=1$ 和 $Q_{2}=Q_{4}=-1$ 的四個點電荷缺菌，分別位于正方形(邊長 $d=\sqrt{2}$ )的四個頂點上。則其中心點處產(chǎn)生的電場和電勢分別為

解答：

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一個電量為 $dq$ 的點電荷搜锰，在距離它為 $r$ 的場點產(chǎn)生的電場和電勢為

解答

$電勢為 \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{d_q}{r}電場大小\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{d_q}{r^2}$

均勻帶電的圓細(xì)環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的場強(qiáng)和電勢分別為()

解答：場強(qiáng)為0伴郁， $電勢為 \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{R^2}$

物理強(qiáng)調(diào)建模。如圖蛋叼，求均勻帶電的細(xì)棒在場點P處的電場和電勢焊傅，微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，則微元公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答： $dq=\frac{Q}{x}\cdot dx 與r=\sqrt{x^2+l^2}$

如圖狈涮，求均勻帶電的半圓細(xì)環(huán)在場點O處的電場和電勢狐胎，經(jīng)常把微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段，則公式中的 $dq$ 為

解答： $\frac{Q}{\pi}\cdot d\theta$

積分法求場強(qiáng)歌馍，經(jīng)常需要定性分析合場強(qiáng)的方向握巢。如圖，均勻“帶負(fù)電”的細(xì)棒在場點 $M$ 點和 $N$ 點的電場方向分別為

解答：x軸正方向與負(fù)方向

如圖松却，均勻帶異號電的半圓細(xì)環(huán)在圓心O點的電場方向為

解答：沿軸正向

細(xì)棒或細(xì)環(huán)帶電體求電場 $\vec{E}$ 的思路是：

(a)考慮帶電體的對稱性暴浦，分析出合場的方向溅话，記為 $\vec{e}$ ；
(b)取合適的電荷微元 $dq$ 歌焦，找到該微元到場點的距離 $r$ 飞几，
(c) 借助點電荷公式，寫出微元在場點產(chǎn)生的電場大小 $dE$ 独撇，進(jìn)而寫出 $dE$ 在合場方向 $\vec{e}$ 上的投影 $dE_{x}=dE\cdot\cos\theta$ 屑墨。
(d)計算定積分。
現(xiàn)在求均勻帶電的細(xì)棒( $Q,L$ )在場點P處的電場纷铣，讓我們按照以上四個步驟研究該問題卵史。
第一步，定性分析出該場點合場強(qiáng)的方向搜立，可能的結(jié)果為
(1) $\vec{e}_{x}$
(2) $\vec{e}_{y}$
第二步以中點為原點建立坐標(biāo)軸程腹。微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為
(3) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ 儒拂， $r=\sqrt{h^{2}+x^{2}}$
(4) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ ， $r=\sqrt{h^{2}+4x^{2}}$
第三步分析該微元的場強(qiáng) $dE$ 色鸳，以及 $dE$ 在合場方向 $\vec{e}$ 上的投影社痛，可能的結(jié)果為
(5) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(6) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$
第四步，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中命雀，計算定積分蒜哀，有如下列法
(7) $\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(8) $\int_{0}^{L}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$
則正確的方程組是( )

解答：(1)(3)(6)(8)

現(xiàn)在求均勻帶電的半圓細(xì)環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的電場，讓我們按照以上四個步驟研究該問題吏砂。
第一步撵儿，定性分析出該場點合場強(qiáng)的方向，可能的結(jié)果為

解答：方向沿x負(fù)半軸

第二步狐血，微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圓弧淀歇，則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答： $\frac{Q}{\pi}\cdot d\theta和r=R$

第三步分析該微元的場強(qiáng) $dE$ ，以及 $dE$ 在合場方向 $\vec{e}$ 上的投影匈织，可能的結(jié)果為

解答： $\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot sin\theta$

第四步浪默，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中，計算定積分缀匕，有如下列法

解答： $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot sin\theta$

細(xì)棒或細(xì)環(huán)帶電體求電勢 $V$ 的思路更簡單纳决，因為電勢是標(biāo)量疊加原理。其基本思路是乡小，
(a)取合適的電荷微元 $dq$ 阔加，找到該微元到場點的距離 $r$ ，
(b)借助點電荷公式满钟，寫出微元在場點產(chǎn)生的電勢 $dV$ 胜榔，
(c)計算定積分胳喷。
現(xiàn)在求均勻帶電的半圓細(xì)環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的電勢
第一步，微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圓弧苗分。則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為
(1) $dq=\frac{Q}{\pi}\cdot d\theta$ 厌蔽， $r=R$
(2) $dq=\frac{Q}{R\pi}\cdot d\theta$ ， $r=R$
第二步寫出該微元在該點的電勢 $dV$ 摔癣，可能的結(jié)果為
(3) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(4) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}\cdot\sin\theta$
第三步奴饮，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中，計算定積分择浊，有如下列法
(5) $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(6) $\int_{0}^{\pi R}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\sin\theta$
則正確的方程組是( )

解答：(1)(4)(5)

細(xì)棒或細(xì)環(huán)帶電體求電勢 $V$ 的思路更簡單戴卜，因為電勢是標(biāo)量疊加原理。現(xiàn)在求均勻帶電的細(xì)棒( $Q,L$ )在中心 $O$ 處的電勢琢岩。
第一步投剥，微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，則 $dq$ 和 $r$ 分別為

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解答： $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ , $r=\sqrt{h^{2}+x^{2}}$

第二步寫出該微元在該點的電勢 $dV$ 担孔，

解答： $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$

第三步江锨，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中，計算定積分

解答： $\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$

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