最近饶火，我在學習多元微積分時，遇到了不少困難致扯，對于許多概念有點混淆肤寝，對于不少公式老是記不住，今天我們就對高數(shù)中的這部分內容進行一點點講解抖僵，以下的內容均為我自己的理解鲤看，對于數(shù)學上可能缺少嚴謹性，其中可能也存在錯誤耍群，僅供大家參考理解义桂。

第二型線積分：

首先，我們研究一個實際問題蹈垢，當一個力作用在物塊上時慷吊，當這個力的大小和方向不變，且物塊沿著直線運動時曹抬，力所做的功為

現(xiàn)在當我們的力和直線不在一條直線上溉瓶，力所作的功如何來表示呢？根據中學學過的知識

谤民，我們可以知道堰酿，用向量的形式表達就是

，也就是向量F和AB做點積赖临。再把難度提高一點胞锰，假如這個物塊的運動軌跡是曲線，力的大小也在不斷變化兢榨，我們如何能夠得到力所作的功呢嗅榕？要解決這個問題，我們就要拿起微積分這有力的武器了吵聪。

微積分就像是一把西瓜刀凌那，可以把曲線砍成一段一段的。當我們“刀工足夠好”吟逝，把曲線砍的足夠細密時帽蝶，切開的每一小段曲線就可以近似的認為是直線了。就像我們每個人雖然生活在地球這個球上面块攒，但是我們卻感覺不到地球是彎的±龋現(xiàn)在對于每一段微小的曲線佃乘，我們可以認為作用在曲線上的力大小不變，運動方向確定驹尼，這時力F做的功就變成了第二種情況

趣避，

把所有小弧段上力做的功加起來，便得到了整條曲線上力F做的功W新翎，這樣我們就可以定義第二類線積分

程帕。

知道了第二類線積分

，但對于

我們如何進行計算呢地啰？在中學的時候我們就學過愁拭，定義了沿x，y軸方向的單位向量亏吝，我們就可以把任意一個向量用坐標的形式來進行表示岭埠。顯然變力A(M)，很小的一段位移ds是兩個向量顺呕，自然這兩個向量可以用坐標表示出來枫攀。假設

，根據向量內積的公式株茶，我們就能夠把這個第二類線積分表示為

這樣来涨，沿著曲線做的功就可以算出來了：

格林公式

我們已經知道如何求出F沿著曲線運動做功的大小，如果我們把曲線變得特殊一點启盛，讓這個曲線不再是隨便的一條曲線蹦掐，而是一條封閉的曲線，如何求這個力在封閉曲線上所做的功呢僵闯？答案是顯然的卧抗，封閉曲線也還是一條曲線，力所做的功仍然可以用第二類線積分來進行表示鳖粟。當然社裆，力所作的功是有正負之分的，首先向图，我們把逆時針方向規(guī)定為正方向泳秀。這樣子我們就可以把這個力作的功表達出來了

，和之前相同榄攀，我們把F和ds都用坐標進行表示嗜傅，這一次，我們把它在xoy平面進行表示

檩赢，這樣我們得到

吕嘀。

現(xiàn)在，我們來考慮另一種方法來求力F在封閉曲線上是如何做功的，如圖

我們知道偶房，力F可以用一個變量為x,y的函數(shù)表示趁曼，所以每確定一個位置，我們就可以確定這個位置的力的方向和大小棕洋，也就可以求出不同路徑上F所做的功到底是多少彰阴。

我們把整個曲線分為S1，S2兩個部分拍冠，顯然在S1曲線上力所作做的功等于力在AB,弧BCA上做的功的和。在S2曲線上簇抵，力所作做的功等于力在BA,弧ADB上做的功的和庆杜，那么力在S1和S2曲線上做的功等于在在AB,弧BCA在BA,弧ADB上做的功的和，因為向量AB和向量BA方向相反碟摆，所以力做的功的大小也相反晃财，則力做的功的和就是弧BCA，弧ADB上做的功典蜕，也就是在整個曲線S上做的功《鲜ⅲ現(xiàn)在，我們再次拿起微積分這把西瓜刀愉舔，把S區(qū)域這張大餅砍成無數(shù)多個小塊钢猛。

類似于之前的思想，我們可以先把每一個小塊（D1）上的功算出來轩缤，再把它們全部都加起來命迈，這樣我們便得到整個區(qū)域上的功。而就像把曲線S分成兩個小塊火的，中間的曲線上力做的功就抵消一樣壶愤，無數(shù)個小塊之間公用的曲線上力做的功也抵消了。這樣我們算出的仍然是整個封閉曲線上力所做的功×蠛祝現(xiàn)在我們開始計算區(qū)域D1上力做的功：

顯然征椒，這兩種方法都是對同一個封閉曲線求力做的功，我們只是采取了兩種不同的方法來進行計算湃累，力做的功是相同的勃救。這樣我們就得到了最后的結論：

把這個公式叫做格林公式，通過這個式子我們可以看出脱茉，格林公式建立了平面區(qū)域上的二重積分與沿著邊界曲線的第二型線積分之間的關系剪芥。

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參考書目：

工科數(shù)學分析基礎 下冊-馬知恩等主編-高等教育出版社-1998

馬同學高等數(shù)學：格林公式的幾何意義是什么