第十四章 簡單線性回歸

參考書目為安德森的《商務與經濟統(tǒng)計》兔辅,以下為個人的學習總結腊敲,如果有錯誤歡迎指正。有需要本書pdf的幢妄,鏈接在本文末尾兔仰。(僅限個人學習使用,請勿牟利)

第十四章 簡單線性回歸

用統(tǒng)計方法來建立一個表示變量之間的相互關系的方程蕉鸳,這種統(tǒng)計方法稱為回歸分析乎赴。
應變量(dependent variable):被預測的變量(y)
自變量(independent variable):用來預測應變量的一個或多個變量(x)

本章討論簡單線性回歸:一個自變量,一個應變量潮尝。

14.1 簡單線性回歸模型

例子:Armand比薩餅連鎖店想探究學校附近的門店的學生人數(shù)(x)與連鎖店銷售收入(y)之間的關系榕吼。

14.1.1 回歸模型和回歸方程

描述y如何依賴于x和誤差項的方程被稱為回歸模型

簡單線性回歸模型:y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon
其中\beta_0\beta_1稱為模型參數(shù),\epsilon是一個隨機變量勉失,稱為模型的誤差項羹蚣。

回到Armand比薩餅連鎖店的總體可以看作若干子總體組成的集合。如8000名學生的門店構成一個子總體乱凿。那么每一個子總體都有一個y值的分布顽素。每一個自總體都有一個期望值咽弦。描述期望值E(y)如何依賴于x的方程稱為回歸方程。

簡單線性回歸方程:E(y)=\beta_0+\beta_1x
也可以寫成:E(y|x)=\beta_0+\beta_1x

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14.1.2 估計的回歸方程

通常胁出,我們只能把樣本統(tǒng)計量b_0b_1作為總體參數(shù)\beta_0\beta_1的估計量型型。

估計的簡單線性回歸方程:\hat y=b_0+b_1x

14.2 最小二乘法

最小二乘法(least squares method):是利用樣本數(shù)據(jù)建立估計的回歸方程的一種方法。

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為了讓估計的回歸直線能對樣本數(shù)據(jù)有一個好的擬合全蝶,我們希望觀測值y_i和預測值\hat y_i之前的差要小闹蒜。

最小二乘法就是讓y_i和預測值\hat y_i之間的離差平方和達到最小的方法,求得b_0b_1
最小二乘法準則:min\sum(y_i-\hat y_i)^2
估計的回歸方程的斜率和y軸截距
b_1=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}
b_0=\bar y-b_1\bar x

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經過計算得到:
b_1=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}=\frac{2840}{568}=5
b_0=\bar y-b_1\bar x=130-5\times14=60
于是估計的回歸方式:\hat y=60+5x
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14.3 判定系數(shù)

估計的回歸方程是否很好地你和了樣本數(shù)據(jù)抑淫。判定系數(shù)(coefficient of determination)為估計的回歸方程提供了一個擬合優(yōu)度的度量绷落。
y_i-\hat y_i稱為第i個殘差,殘差或誤差的平方和是用最小二乘法最小化的量
誤差平方和始苇,SSE=\sum(y_i-\hat y_i)^2
經過下圖的計算得到SSE=1530

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總的平方和SST=\sum (y_i-\bar y)^2
經過下圖的計算砌烁,得到SST=15730

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回歸平方和SSR=\sum (\hat y_i-\bar y)^2

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SST、SSR和SSE之間的關系SST=SSR+SSE

  • SST:總的平方和
  • SSR:回歸平方和
  • SSE:誤差平方和

我們可以把SSR理解為SST被解釋的部分埂蕊,SSE理解為SST未被解釋的部分往弓。三者知二求一。

判定系數(shù)r^2=\frac{SSR}{SST}
r^2在0~1之間蓄氧,為1時稱作完全擬合函似,如Armand比薩餅連鎖店的例子:r^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{14200}{15730}=0.9027
理解:可以把r^2理解為總平方和中能被估計的回歸方程解釋的百分比。即季度銷售收入變異性的90.27%能被學生人數(shù)和銷售收入之間的線性關系所解釋喉童。

相關系數(shù)(correlation coefficient)的值介于-1~1之間撇寞。為-1、1和0分別代表完全負向的線性關系堂氯、完全正向的線性關系蔑担、沒有線性關系。
樣本相關系數(shù):r_{xy}=(b_1的符號)\sqrt{判定系數(shù)}=(b_1的符號)\sqrt{r^2}
這里的符號指的是正負咽白。如ARmand比薩餅連鎖店r_{xy}=\sqrt{0.9027}=0.9501啤握,可以得出結論人數(shù)和銷售額有強的正向線性關系。

總結:

  • 相關系數(shù)的適用范圍被限制在兩變量之間存在線性關系的情況
  • 判定系數(shù)對非線性關系以及多個變量的相關關系都適用晶框。(適用范圍廣)
  • 實際應用中排抬,在社會科學問題中r^2低于0.25,但是也令人滿意授段;自然科學問題中r^2常常大于0.6蹲蒲,有時大于0.9。具體應用要看場景侵贵。

14.4 模型的假定

回歸分析中的顯著性檢驗是以對誤差項\epsilon的下列假定為依據(jù)進行的届搁。

  1. 誤差項\epsilon是一個平均值或期望為0的隨機變量,E(\epsilon)=0
    E(\beta_0)=\beta_0 E(\beta_1)=\beta_1 E(y)=\beta_0+\beta_1x
  2. 對所有x值,\epsilon的方差都是相同的卡睦,用\sigma^2表示\epsilon的方差宴胧。
    即對所有x值,y的方差都是相等的么翰。
  3. \epsilon的值是相互獨立的牺汤。每個特定的x與對應的\epsilon與別的x值對應的\epsilon不相關。
  4. 對所有x值浩嫌,誤差項\epsilon是一個正態(tài)分布的隨機變量。這也意味著:因為y\epsilon的一個線性函數(shù)补胚,對所有的x值码耐,y也是一個正態(tài)分布的隨機變量。
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14.5 顯著性檢驗

y的期望值是關于x的一個線性函數(shù):E(y)=\beta_0+\beta_1x溶其。

  • \beta_1為0骚腥,則不存在線性關系
  • \beta_1不為0,則存在線性關系

我們需要做一個假設檢驗瓶逃,來判定\beta_1是否為0

14.5.1 \sigma^2的估計

殘差平方和SSE是實際觀測值關于估計的回歸直線變異性的度量束铭。均方誤差MSE=\frac{SSE}{自由度}
因為\hat y_i=b_0+b_1x_i,所以SSE=\sum(y_i-\hat y_i)^2=\sum(y_i-b_0-b_1x_i)^2
由于計算SSe需要估計兩個參數(shù)(\beta_0\beta_1)厢绝,所以SSE的自由度為n-2

均方誤差(\sigma^2的估計量)
s^2=MSE=\frac{SSE}{n-2}

估計的標準誤差
S=\sqrt{MSE}=\sqrt{\frac{SSE}{n-2}}

14.5.2 t檢驗

要存在線性關系契沫,必須\beta_1 \neq 0。假設:H_0:\beta_1=0,H_a:\beta_1 \neq 0

再Armand比薩餅連鎖店的例子中昔汉,我們不斷地抽取10家店作為樣本懈万。可以得到更多估計地回歸方程靶病。
b_1地抽樣分布

  • 期望值:E(b_1)=\beta_1
  • 標準差:\sigma_{b_1}=\frac{\sigma}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2}}
  • 分布形式:正態(tài)分布

由于\sigma未知会通,我們可以用估計值s代入,得到b_1的估計的標準差s_{b_1}=\frac{s}{\sum(x_i-\bar x)^2}

簡單線性回歸顯著性的t檢驗
假設:H_0:\beta_1=0,H_a:\beta_1 \neq 0
檢驗統(tǒng)計量:t=\frac{b_1}{s_{b_1}}
拒絕法則:

  • p-值法:若p-值\leq \alpha娄周,則拒絕H_0
  • 臨界值法:若t\leq -t_{\alpha/2}或者t /geq t_{\alpha/2}涕侈,則拒絕H_0

其中,自由度為n-2煤辨,t_{\alpha/2}這里是上側面積為\alpha/2的t值裳涛。

在Armand比薩餅店的例子中:s_{b_1}=\frac{13.829}{\sqrt{568}}=0.5803t=\frac{b_1}{s_{b_1}}=\frac{5}{0.5803}=8.62掷酗,此時p-值遠遠小于0.01调违,所以拒絕H_0認為銷售收入和學生人數(shù)存在顯著關系。

14.5.3 \beta_1的置信區(qū)間

b_1 \pm t_{\alpha/2}s_{b_1}
這個置信區(qū)間的置信系數(shù)1-\alpha泻轰,t_{\alpha/2}為自由度為n-2時技肩,t分布上側面積為\alpha/2的t值。

例如:Armand比薩餅連鎖的例子,令置信系數(shù)\alpha=0.01虚婿,t_{0.005}=3.355
b_1 \pm t_{\alpha/2}s_{b_1}=5 \pm3.355\times 0.5803=5\pm 1.95

此時旋奢,我們也可以通過置信區(qū)間來對\beta_1的顯著性進行t檢驗,由于\beta_1的假設值時0然痊,而0不在置信區(qū)間(3.05,6.95)里至朗,所以我們也可以拒絕H_0

14.5.4 F檢驗

在檢驗回歸方程顯著性時:

  • 如果只有一個自變量,F(xiàn)檢驗和t檢驗都能有一致的結論剧浸。
  • 如果有兩個及以上的自變量時锹引,F(xiàn)檢驗只能被用來檢驗回歸方程總體的顯著關系。

F檢驗的基本原理:基于簡歷\sigma^2的兩個獨立的估計量唆香。已知MSE時\sigma^2的一個估計量嫌变,如果H_0成立,則回歸平方和SSR除以自由度就給出了\sigma^2的另一個獨立的估計量躬它,被稱為來自于回歸的均方腾啥,簡稱均方回歸(MSR)
MSR=\frac{SSR}{回歸自由度}
其中回歸自由度等于模型中自變量的個數(shù)

本章中回歸模型只有一個自變量,所以MSR=\frac{SSR}{1}=SSR

簡單線性回歸顯著性的F檢驗

  • 假設:H_0:\beta_1=0,H_a:\beta_1 \neq 0
  • 檢驗統(tǒng)計量:F=\frac{MSR}{MSE}
  • 拒絕法則:
    • p-值法:p \leq \alpha冯吓,拒絕H_0
    • 臨界值法:F\geq F_{\alpha}倘待,拒絕H_0

其中,F_{\alpha}是分子自由度為1组贺,分母自由度為n-2時凸舵,F(xiàn)分布上側面積為\alpha的F值。如果H_0不成立锣披,MSE仍然是\sigma^2的一個無偏估計量贞间,而MSR會高估\sigma^2。如果H_0成立雹仿,則MSR和MSE都是無偏估計量增热,比值趨向于1。

可以用ANOVA表來簡練地概括方差分析地運算過程胧辽。


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14.5.5 關于顯著性檢驗解釋的幾點注意

  1. 拒絕H_0峻仇,只能說明x和y存在顯著性關系,但不能說明有因果關系邑商。

  2. 要做出因果關系摄咆,需要別的理論上的充分證據(jù)。

  3. 證實x和y有統(tǒng)計顯著性關系人断,但并不能確定時線性關系吭从;只能說觀測值范圍內相關。


    image
  4. 利用估計的回歸方程可以對觀測值范圍內的x值進行預測恶迈。但是超出范圍的要謹慎考慮涩金。

14.6 應用估計的回歸方程進行估計和預測

  • x^*表示自變量x的一個給定值
  • y^*表示x=x^*時,應變量y的可能值,是一個隨機變量步做。
  • E(y^*)表示當x=x^*時副渴,應變量y的期望值
  • \hat y^*=b_)+B_1x^*表示E(y^*)的點估計值,或者叫預測值全度。

14.6.1 區(qū)間估計

置信區(qū)間是對x的一個給定值煮剧,y的平均值的一個區(qū)間估計。
預測區(qū)間是對x的一個給定值将鸵,對應y的一個新的觀測值勉盅。也即y的一個個別值進行預測的一個區(qū)間估計。
預測區(qū)間的邊際誤差較大咨堤。

14.6.2 y的平均值和置信區(qū)間

要計算\hat y^*是如何接近真實的平均值E(y^*)菇篡,我們需要估計\hat y^*的方差。
方差點估計值:s_{\hat y^*}^2=s^2\left[\frac{1}{n}+\frac{(x^*-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}\right]
標準差點估計值:s_{\hat y^*}=s^2\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x^*-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}}

E(y^*)的置信區(qū)間
\hat y^* \pm t_{\alpha/2}s_{\hat y^*}
其中一喘,1-\alpha為置信系數(shù),t_{\alpha/2}為自由度n-2時嗜暴,使t分布的上側面積\alpha/2的t值凸克。

回到Armand比薩餅連鎖店,已知\alpha/2=0.025闷沥,自由度為n-2=8萎战,在有10000名學生時,\hat y^*=110舆逃,邊際誤差t_{\alpha/2}s_{\hat y^*}=2.306\times 4.95=11.415
因此置信水平為95%的置信區(qū)間估計為:110 \pm 11.415

特殊情況:當x^*=\bar x蚂维,\hat y^*的估計的標準差最小。在這種情形下:s_{\hat y^*}=s^2\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x^*-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}}=s\sqrt{\frac{1}{n}}
這也就意味著路狮,當x^*=\bar x時虫啥,能得到y(tǒng)的平均值最精確的估計量。如下圖奄妨。

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14.6.3 y的一個個別值得預測區(qū)間

當我們想要預測x^*=10時涂籽,季度銷售收入的預測值為\hat y^*=60+5\times 10=110
這個預測值和x=10的所有店鋪的季度銷售收入的平均值得點估計值是相同得。(這句話不太明白)

為了建立預測區(qū)間砸抛,當x=x^*评雌,y得一個預測值\hat y^*得方差由以下兩部分組成。

  1. y^*關于平均值E(y^*)的方差直焙,它的估計量由s^2給出景东。
  2. 利用\hat y^*估計E(y^*)的方差,它的估計量由s_{\hat y^*}^2給出奔誓。

x=x^*時斤吐,應變量y的預測值是\hat y^*,我們用s_{pred}^2表示y^*的預測值\hat y^*的估計的方差,計算方式如下:
s_{pred}^2=s^2+s_{\hat y^*}^2=s^2+s^2\left[\frac{1}{n}+\frac{(x^*-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}\right]=s^2\left[1+\frac{1}{n}+\frac{(x^*-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}\right]
s_{pred}=s\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x^*-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}}

y^*的預測區(qū)間
\hat y^* \pm t_{\alpha/2}s_{pred}
其中曲初,1-\alpha為置信系數(shù)体谒;t_{\alpha/2}為自由度為n-2時,t分布上側面積為\alpha/2的t值臼婆。

回到Armand比薩餅店抒痒,當x=10時,t_{\alpha/2}=t_{0.025}=2.306,s_{pred}=14.69,邊際誤差t_{\alpha/2}s_{pred}=2.306 \times 14.69=33.875

預測區(qū)間比置信區(qū)間更寬颁褂,當x^*越接近\bar x時故响,置信區(qū)間和預測區(qū)間就約精確。形狀如下圖所示:

image

14.7 計算機解法

書上介紹的Minitab

14.8 殘差分析:證實模型假定

第i次觀測的殘差y_i-\hat y_i

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回到本章第四節(jié)颁独,我們對y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon中誤差項\epsilon的假定如下:

  1. E(\epsilon)=0
  2. 對所有的x值彩届,\epsilon的方差(\sigma^2)都是相同的,
  3. \epsilon的值相互獨立
  4. \epsilon服從正態(tài)分布

基于這個假定誓酒,才能使用t檢驗和F檢驗來確定x和y之間的關系是否顯著樟蠕,置信區(qū)間和置信區(qū)間的估計。殘差提供了有關\epsilon的最重要的信息靠柑。
殘差分析就是確定誤差項\epsilon的假定是否成立的重要步驟寨辩。許多殘差分析都是對殘差圖形的仔細考察基礎上完成的,下面介紹這四種殘差圖歼冰。

14.8.1 關于x的殘差圖

自變量x殘差圖

  • 橫軸:x
  • 縱軸:殘差y_i-\hat y_i

如Armand比薩餅連鎖店的關于自變量x的殘差圖如下:


image

image

我們看Armand比薩餅連鎖店的殘差圖靡狞,感覺和a比較像,因此我們通過目測得到結論:殘差圖沒有提供足夠的證據(jù)隔嫡,讓我們對回歸模型所作的假定表示懷疑甸怕。

14.8.2 關于\hat y的殘差圖

  • 橫軸:應變量預測值\hat y
  • 縱軸:殘差值y-\hat y
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這個圖和關于x的殘差圖模式相同,不過這個殘差圖主要針對的時由多個自變量的多元回歸分析腮恩。

14.8.3 標準化殘差

i個殘差的標準差
s_{y_i-\hat y_i}=s\sqrt{1-h_i}
其中梢杭,s_{y_i-\hat y_i}代表第i個殘差的標準差;s代表估計的標準誤差庆揪。h_i=\frac{1}{n}+\frac{(x_i-\bar x)^2}{\sum (x_i-\bar x)^2}

i個觀測的標準化殘差
\frac{y_i-\hat y_i}{s_{y_i-\hat y_i}}

回到Armand比薩餅連鎖店的例子式曲,下表為標準化殘差的計算過程和關于自變量x的標準化殘差圖:


image

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標準化殘差圖能對隨機誤差項\epsilon服從正態(tài)分布的假定提供一種直觀的人事。如果假定滿足缸榛,那么標準化殘差的分布看起來也應該服從一個標準正態(tài)分布吝羞。即95%的標準化殘差介于-2~2之間,所以我們沒理由懷疑\epsilon服從正態(tài)分布的假定内颗。

14.8.4 正態(tài)概率圖 (這一節(jié)看不懂钧排,需要重看)

正態(tài)概率圖是確定誤差項\epsilon服從正態(tài)分布的假定成立的另一個方法。
先介紹正態(tài)分數(shù)的概念均澳,假設在一個標準正態(tài)分布中恨溜,我們隨機抽取10個數(shù)符衔,并且反復進行。然后把每個樣本中的10個數(shù)從小到大排序糟袁,那么每個樣本中最小值是一個隨機變量判族,稱作一階順序統(tǒng)計量

統(tǒng)計學家已經證明项戴,來自樣本容量為10的樣本形帮,一階順序統(tǒng)計量的期望值為-1.55,這個期望值被稱作正態(tài)分數(shù)周叮。如下圖10個順序統(tǒng)計量對應10個正態(tài)分數(shù)辩撑。(一般n個觀測值組成的數(shù)據(jù)集,就有n個順序統(tǒng)計量和n個正態(tài)分數(shù))(這個地方看不懂)

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14.9 殘差分析:異常值和有影響的觀測值

本節(jié)介紹如何利用殘差分析識別異常值或特別有影響的觀測值仿耽。

14.9.1 檢測異常值

如下圖合冀,有一個異常值。通常意味著數(shù)據(jù)錯誤(修正)或違背了模型假定的情形(保留)项贺。


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一般根據(jù)散點圖就能探明異常值君躺。

14.9.2 檢測有影響的觀測值

有時,個別觀測值對我們得到的回歸結果產生一個強影響开缎,稱作有影響的觀測值晰洒,

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有影響的觀測值可能是一個異常值(y值與去十有相當大的偏離),也可能是一個遠離自變量x平均值的觀測值啥箭,也可能兩者共同決定。
遇到的解決方法:

  1. 檢查觀測值的采集過程是否出問題
  2. 如果為有效觀測值治宣,那我們需要進一步認識x和y的關系急侥。

自變量是極端值的觀測值被稱為高杠桿率點,第i次觀測的杠桿率(h_i表示):
h_i=\frac{1}{n}+\frac{(x_i-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}

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我們可以計算上表第7個觀測值的杠桿率:h_7=0.94侮邀,對于簡單線性回歸情形坏怪,在Minitab中如果h_i >[6/n,0.99]則將會被識別稱具有高杠桿率的觀測值,此時h_7滿足绊茧。會在右圖的Unusual Observations標出铝宵。
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有影響的觀測值是由于大的殘差和高杠桿率的交互作用產生的。識別時只要考慮下面兩方面就能判斷华畏。

  • 大的殘差
  • 高杠桿率

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