計算機圖形學一:線代基礎

概念:
計算機圖形:
1.光柵化 Rasterization
2.曲線和曲面 Curves and Meshes
3.光線追蹤 Ray Tracing
4.動畫/模擬 Animation / Simulation

圖形學需要的線性代數并不多,主要是向量和矩陣的一些知識
(先圖后文)

一:向量

向量

長度和方向

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1.向量的長度
2.單位向量的表示

加法

向量加法的平行四邊形法則(平移)和三角形法則(首尾相連)

向量表示

向量在坐標系中的表示:
1.(4,3)就表示多少個x和多少個y
2.第一個是列向量表示,第二個是行向量表示,第三個是長度表示

向量點乘

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向量點乘:
1.輸入向量,輸出數值
2.向量相乘等于長度相乘再乘夾角余弦
3.得出夾角等于ab相乘出去長度乘積,也就是單位向量相乘
4.交換律結合律分配律
5.由于cos90=0,因此垂直的向量點乘為0

點乘在坐標系的運算

投影

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求b在a上的投影:
1.方向肯定是和a一樣的,所以等于k倍的a的單位向量,k是長度,也就是b的長度乘夾角余弦,夾角余弦等于a單位向量乘b單位向量,
2.于是可以把一個向量分解成兩個向量

前與后

點乘的一個用法:
1.a向量的方向為標準,以上半區(qū)為前,下半區(qū)為后,一個向量與a的點乘如果是正數,則方向為前,如果是負數,則方向為后
2.一個向量與a的點乘,越接近1,則接近a,0為垂直,-1為最遠

向量X乘

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向量的x乘與點乘完全不同:
1.結果是一個新的向量,這個向量同時垂直于原來的兩個向量
2.長度是長度相乘和夾角sin值的乘積
3.新的向量的方向可以由右手定則確定,舉例:圖中a x b,四指的方向擺成與以a的方向為準,從a的頂端到b的頂端的方向相同,大拇指即是是新向量c的方向,也就是向上的,
4.因此,如果是b x a,那么c應該是向下的.和點乘不同,不滿足交換律
5.a x a = 0,因為sin0 = 0,但是結果仍然是一個向量,也就是零向量,并非數值

向量x乘在坐標系的表示

1.結果是一個向量
2.上面是二維坐標系,下面是三維坐標系

左和右(內與外)

向量x乘的用法:正左負右,注意左右不一定是視覺上的,參考右邊的例子
1.左邊的圖,假設a和b都是在x,y平面上的,a x b根據右手定則,跟隨x的方向,從x頂點到y頂點,或者說從a頂點到b頂點,得到的新向量是和z一樣的,也就是正的(+Z),則b在a的左邊
2.如果是b x a,得到的向量方向與z相反(-Z),則a在b的右邊
3.右邊的圖,判斷p點是不是在三角形內,首先ab x ap,結果是正的,得到ap在ap的左邊,然后bc x bp,得到bp在bc左邊,最后ca x cp,得到cp在ca左邊,三次都是正的,證明p在三角形內部
4.如果是反過來畫,三次得到的都是負的,也能證明在內部,如果有一個結果不同,則就在外部,根據是哪個結果,能判斷在三角形外部什么方向