1铣口、進(jìn)制

1.1 進(jìn)制的由來(lái)

進(jìn)制：是一種進(jìn)位的方式滤钱。x進(jìn)制，表示逢x進(jìn)1脑题。?

計(jì)算機(jī)的電子原件的狀態(tài)：開(kāi)，關(guān)。?

那么带射，我們表達(dá)數(shù)據(jù)的時(shí)候，也是按照開(kāi)争剿，關(guān)的狀態(tài)來(lái)表示的。

如果我們表達(dá)數(shù)據(jù)僅僅使用這兩種昨天痊末，那么能夠表達(dá)的數(shù)據(jù)是比較少的蚕苇。?

而我們常見(jiàn)的數(shù)據(jù)，英文字母凿叠，數(shù)字涩笤，標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，這就很多了幔嫂。?

為了能夠表示更多的數(shù)據(jù)辆它，國(guó)際化組織就規(guī)定，用8個(gè)這樣的信號(hào)來(lái)表示一個(gè)數(shù)據(jù)履恩，并且用1锰茉，0表示兩種狀態(tài)，這個(gè)數(shù)據(jù)的單位叫：字節(jié)切心。?

由這樣的1飒筑，0組成的數(shù)據(jù)就是二進(jìn)制數(shù)據(jù)。?

- 單位轉(zhuǎn)換?

1byte=8bit?

1kB=1024byte?

1MB=1024kB?

1GB=1024MB?

1T=1024GB?

- 基礎(chǔ)補(bǔ)充：?

大寫(xiě)B(tài)（byte）绽昏，字節(jié)协屡；小寫(xiě)b（bit）,比特；?

1B=8b全谤，即一個(gè)字節(jié)等于8個(gè)比特位肤晓。?

1KB=8kb,k表示千，即1千字節(jié)等于8千比特认然。一般來(lái)說(shuō)补憾，計(jì)算機(jī)中的進(jìn)位是1024進(jìn)位的，但是在通信中卷员，為了方便計(jì)算盈匾，通常用千進(jìn)位。?

（為什么要用1024進(jìn)位毕骡，因?yàn)橛?jì)算機(jī)碼是以二進(jìn)制為基礎(chǔ)削饵，2的冪數(shù)可以反映二進(jìn)制的位數(shù)，因?yàn)?的10次冪是1024未巫，最接近1000(1K)窿撬，方便十進(jìn)制的估算。）?

1byte=8bits叙凡，兩者換算是1：8的關(guān)系尤仍。

1Byte就是1個(gè)字節(jié)，1個(gè)字節(jié)是由8個(gè)二進(jìn)制位組成狭姨。

1.2 進(jìn)制的表示

定義：?

二進(jìn)制數(shù)?

每一位使用兩個(gè)不同數(shù)字表示（0,1）

低位和高位的關(guān)系是：逢2進(jìn)1

各位的權(quán)值是2的整數(shù)次冪（基數(shù)是2）

標(biāo)志：尾部加B

例：101.01B=1×22+0×22+1×20,+0×2?1+1×2?2=5.25

八進(jìn)制數(shù)?

每一位使用八個(gè)不同數(shù)字表示（0,1,2,3,4,5,6,7）

低位和高位的關(guān)系是：逢8進(jìn)1

各位的權(quán)值是8的整數(shù)次冪（基數(shù)是8）

標(biāo)志：尾部加Q

例：365.2Q=3×82+6×81+5×80+2×8?1=245.25

十六進(jìn)制?

每一位使用十六個(gè)不同數(shù)字表示（0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F）

低位和高位的關(guān)系是：逢16進(jìn)1

各位的權(quán)值是16的整數(shù)次冪（基數(shù)是16）

標(biāo)志：尾部加H

例：F5.4H=15×161+5×160+4×16?1=245.25

第一種表示方式：?

(1100101100)2=(1454)8

(1100101100)2=(32C)16

第二種表示方式（在末尾加字母）：?

例如：二進(jìn)制再末尾加B宰啦，十進(jìn)制加D苏遥，八進(jìn)制加Q，十六進(jìn)制加H

1.3 進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

1.3.1 R進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制使用按權(quán)展開(kāi)法

其具體操作方式為：將R進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)值用RKRK形式表示赡模，即冪的底數(shù)是R,指數(shù)為K,K與該位和小數(shù)點(diǎn)之間的距離有關(guān)田炭。當(dāng)該位位于小數(shù)點(diǎn)左邊，K值是該位和小數(shù)點(diǎn)之間數(shù)碼的個(gè)數(shù)漓柑，而當(dāng)該位位于小數(shù)點(diǎn)右邊教硫，K值是負(fù)值，其絕對(duì)值是該位和小數(shù)點(diǎn)之間數(shù)碼的個(gè)數(shù)加1辆布。

例如 二進(jìn)制:?10100.01=1?24+1?22+1?2?2=20.2510100.01=1·24+1·22+1·2?2=20.25?

例如 七進(jìn)制?604.01=6?72+4?70+1?7?2≈298.02604.01=6·72+4·70+1·7?2≈298.02

1.3.2 十進(jìn)制轉(zhuǎn)R進(jìn)制

如果是整數(shù)瞬矩，直接使用短除法。（例如將94轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制锋玲。）

得到結(jié)果為1011110?

- 如果是浮點(diǎn)數(shù)景用，對(duì)整數(shù)和小數(shù)分開(kāi)轉(zhuǎn)換；整數(shù)部分：除以2取余惭蹂，小數(shù)部分：乘以2取整伞插。（例如29.6875 -> 11101.1011B）

注意十進(jìn)制小數(shù)（如0.63）在轉(zhuǎn)換時(shí)會(huì)出現(xiàn)二進(jìn)制無(wú)窮小數(shù)，這時(shí)只能取近似值盾碗。

1.3.3 二進(jìn)制與八進(jìn)制的互換（用三位二進(jìn)制數(shù)一組表示一位）與十六進(jìn)制數(shù)（用四位二進(jìn)制數(shù)一組表示一位）

- 八進(jìn)制 -> 二進(jìn)制：把每個(gè)八進(jìn)制數(shù)字改寫(xiě)成等值的3位二進(jìn)制數(shù)媚污，且保持高地位的次序不變。?

例：2 4 6 3 2 Q - >?

010 100 110 111 011 010 B?

- 二進(jìn)制 ->八進(jìn)制：整數(shù)部分從低位到高位每3組用一個(gè)等值的八進(jìn)制數(shù)來(lái)替換廷雅，不足3位時(shí)在高位補(bǔ)0湊滿(mǎn)3位耗美；小數(shù)部分從高位向低位每3位用一個(gè)等值八進(jìn)制數(shù)來(lái)替換，不足3位時(shí)在低位補(bǔ)0湊滿(mǎn)三位航缀。?

例：1 101 001 110. 110 01B ->?

001 101 001 110. 110 010B ->?

1 5 1 6 6 2Q

3. 機(jī)器數(shù)采用原碼幽歼，反碼和補(bǔ)碼等編碼方法，稱(chēng)為碼制谬盐。

3.1 機(jī)器數(shù)與真值

3.1 機(jī)器數(shù)?

一個(gè)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制表示形式, 叫做這個(gè)數(shù)的機(jī)器數(shù)。機(jī)器數(shù)是帶符號(hào)的诚些，在計(jì)算機(jī)用一個(gè)數(shù)的最高位存放符號(hào), 正數(shù)為0, 負(fù)數(shù)為1.?

比如飞傀，十進(jìn)制中的數(shù) +3 ，計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)為8位诬烹，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就是00000011砸烦。如果是 -3 ，就是 10000011 绞吁。?

那么幢痘，這里的 00000011 和 10000011 就是機(jī)器數(shù)。

3.2 真值?

因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位家破，所以機(jī)器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值颜说。例如上面的有符號(hào)數(shù) 10000011购岗，其最高位1代表負(fù)，其真正數(shù)值是 -3 而不是形式值131（10000011轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制等于131）门粪。所以喊积，為區(qū)別起見(jiàn)，將帶符號(hào)位的機(jī)器數(shù)對(duì)應(yīng)的真正數(shù)值稱(chēng)為機(jī)器數(shù)的真值玄妈。?

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1乾吻，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

3.2 原碼，反碼和補(bǔ)碼

3.2.1 概念

在探求為何機(jī)器要使用補(bǔ)碼之前, 讓我們先了解原碼, 反碼和補(bǔ)碼的概念.對(duì)于一個(gè)數(shù), 計(jì)算機(jī)要使用一定的編碼方式進(jìn)行存儲(chǔ). 原碼, 反碼, 補(bǔ)碼是機(jī)器存儲(chǔ)一個(gè)具體數(shù)字的編碼方式.?

- 原碼?

原碼就是符號(hào)位加上真值的絕對(duì)值, 即用第一位表示符號(hào), 其余位表示值. 比如如果是8位二進(jìn)制:?

[+1]原 = 0000 0001?

[-1]原 = 1000 0001?

第一位是符號(hào)位. 因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位, 所以8位二進(jìn)制數(shù)的取值范圍就是:?

[1111 1111 , 0111 1111] 即 [-127 , 127]?

原碼是人腦最容易理解和計(jì)算的表示方式.?

- 反碼?

反碼的表示方法是:正數(shù)的反碼是其本身?

負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號(hào)位不變拟蜻，其余各個(gè)位取反.?

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反?

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反?

可見(jiàn)如果一個(gè)反碼表示的是負(fù)數(shù), 人腦無(wú)法直觀的看出來(lái)它的數(shù)值. 通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計(jì)算.?

- 補(bǔ)碼?

補(bǔ)碼的表示方法是:?

正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身?

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號(hào)位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎(chǔ)上+1)?

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補(bǔ)?

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補(bǔ)?

對(duì)于負(fù)數(shù), 補(bǔ)碼表示方式也是人腦無(wú)法直觀看出其數(shù)值的. 通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼在計(jì)算其數(shù)值.

3.2.2. 為何要使用原碼, 反碼和補(bǔ)碼

現(xiàn)在我們知道了計(jì)算機(jī)可以有三種編碼方式表示一個(gè)數(shù). 對(duì)于正數(shù)因?yàn)槿N編碼方式的結(jié)果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補(bǔ)

1

所以不需要過(guò)多解釋. 但是對(duì)于負(fù)數(shù):

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補(bǔ)

1

可見(jiàn)原碼, 反碼和補(bǔ)碼是完全不同的. 既然原碼才是被人腦直接識(shí)別并用于計(jì)算表示方式, 為何還會(huì)有反碼和補(bǔ)碼呢?

首先, 因?yàn)槿四X可以知道第一位是符號(hào)位, 在計(jì)算的時(shí)候我們會(huì)根據(jù)符號(hào)位, 選擇對(duì)真值區(qū)域的加減. (真值的概念在本文最開(kāi)頭). 但是對(duì)于計(jì)算機(jī), 加減乘數(shù)已經(jīng)是最基礎(chǔ)的運(yùn)算, 要設(shè)計(jì)的盡量簡(jiǎn)單. 計(jì)算機(jī)辨別”符號(hào)位”顯然會(huì)讓計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路設(shè)計(jì)變得十分復(fù)雜! 于是人們想出了將符號(hào)位也參與運(yùn)算的方法. 我們知道, 根據(jù)運(yùn)算法則減去一個(gè)正數(shù)等于加上一個(gè)負(fù)數(shù), 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機(jī)器可以只有加法而沒(méi)有減法, 這樣計(jì)算機(jī)運(yùn)算的設(shè)計(jì)就更簡(jiǎn)單了.?

于是人們開(kāi)始探索 將符號(hào)位參與運(yùn)算, 并且只保留加法的方法. 首先來(lái)看原碼:?

計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

1

如果用原碼表示, 讓符號(hào)位也參與計(jì)算, 顯然對(duì)于減法來(lái)說(shuō), 結(jié)果是不正確的.這也就是為何計(jì)算機(jī)內(nèi)部不使用原碼表示一個(gè)數(shù).?

為了解決原碼做減法的問(wèn)題, 出現(xiàn)了反碼:?

計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=0?

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0?

發(fā)現(xiàn)用反碼計(jì)算減法, 結(jié)果的真值部分是正確的. 而唯一的問(wèn)題其實(shí)就出現(xiàn)在”0”這個(gè)特殊的數(shù)值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號(hào)是沒(méi)有任何意義的. 而且會(huì)有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個(gè)編碼表示0.?

于是補(bǔ)碼的出現(xiàn), 解決了0的符號(hào)以及兩個(gè)編碼的問(wèn)題:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補(bǔ) + [1111 1111]補(bǔ) = [0000 0000]補(bǔ)=[0000 0000]原

1

這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現(xiàn)問(wèn)題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:?

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補(bǔ) + [1000 0001]補(bǔ) = [1000 0000]補(bǔ)?

-1-127的結(jié)果應(yīng)該是-128, 在用補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果中, [1000 0000]補(bǔ) 就是-128. 但是注意因?yàn)閷?shí)際上是使用以前的-0的補(bǔ)碼來(lái)表示-128, 所以-128并沒(méi)有原碼和反碼表示.(對(duì)-128的補(bǔ)碼表示[1000 0000]補(bǔ)算出來(lái)的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)

使用補(bǔ)碼, 不僅僅修復(fù)了0的符號(hào)以及存在兩個(gè)編碼的問(wèn)題, 而且還能夠多表示一個(gè)最低數(shù). 這就是為什么8位二進(jìn)制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128, 127].

因?yàn)闄C(jī)器使用補(bǔ)碼, 所以對(duì)于編程中常用到的32位int類(lèi)型, 可以表示范圍是: [-231, 231-1] 因?yàn)榈谝晃槐硎镜氖欠?hào)位.而使用補(bǔ)碼表示時(shí)又可以多保存一個(gè)最小值.

3.2.3 總結(jié)：

原碼是最符合人腦的绎签，用最高位表示符號(hào)位，其余位表示數(shù)值位酝锅。

反碼是為了方便帶符號(hào)的機(jī)器數(shù)之間運(yùn)算诡必，讓符號(hào)位也參與運(yùn)算。（原理是對(duì)原碼操作屈张，符號(hào)位不變擒权，數(shù)值位取反）（注意結(jié)合1-1這個(gè)例子來(lái)理解！）

補(bǔ)碼是為了解決-0以及[00000000]原和[10000000]原兩個(gè)編碼都表示0這個(gè)問(wèn)題阁谆，在反碼的基礎(chǔ)上加1碳抄，就能只用[00000000]來(lái)表示0了，[10000000]則表示-128.（原理是對(duì)反碼基礎(chǔ)上加1）（注意結(jié)合1-1和-1-127這兩個(gè)例子來(lái)理解３÷獭）

轉(zhuǎn)自：

https://blog.csdn.net/sgq_csdn/article/details/79181440#11-進(jìn)制的由來(lái)剖效，個(gè)人感覺(jué)這篇文章寫(xiě)得非常贊，強(qiáng)烈推薦