**排隊論在食堂系統(tǒng)中的應(yīng)用

每次下課的時候淮韭，同學(xué)們都爭相跑向食堂去買飯，賣飯窗口前沒一會兒便排成了長長的隊伍，食堂也立即變得擁擠不堪。

學(xué)生食堂的賣飯窗口個數(shù)和同學(xué)們吃飯的方便程度有關(guān)渣叛。窗口太少，吃飯高峰期同學(xué)排隊等待時間很長,經(jīng)常引發(fā)學(xué)生的不滿情緒橡娄。而窗口太多诗箍，又會造成資源浪費(fèi)，增加食堂成本挽唉。為此，我選擇了學(xué)生食堂二樓作為研究對象來分析這個問題筷狼，看能否為食堂合理設(shè)置服務(wù)窗口提出建議瓶籽，在這兩者之間進(jìn)行權(quán)衡，找到最佳的窗口數(shù)量埂材。

預(yù)備知識

1.1 排隊過程的一般模型：

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一般的排隊系統(tǒng)都有三個基本組成部分：輸入過程竖独；排隊規(guī)則裤唠；服務(wù)機(jī)構(gòu)。

一 輸入過程

輸入過程考察的是顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律莹痢≈终海可以用一定時間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)或前后兩個顧客相繼到達(dá)的間隔時間來描述，一般分為確定型和隨機(jī)型兩種竞膳。對于隨機(jī)型的情形航瞭，要知道單位時間內(nèi)的顧客到達(dá)數(shù)或到達(dá)的間隔時間的概率分布。

1. 排隊規(guī)則

排隊規(guī)則分為等待制坦辟、損失制和混合制三種刊侯。當(dāng)顧客到達(dá)時，所有服務(wù)機(jī)構(gòu)都被占用锉走，則顧客排隊等候滨彻，即為等待制。在等待制中挠日，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序可以是先到先服務(wù)疮绷，或后到先服務(wù)，或是隨機(jī)服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)嚣潜。如果顧客來到后看到服務(wù)機(jī)構(gòu)沒有空閑立即離去冬骚，則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊等待的空間有限，因此超過所能容納人數(shù)的顧客必須離開系統(tǒng)只冻，這種排隊規(guī)則就是混合制庇麦。

1. 服務(wù)機(jī)構(gòu)

可以是一個或多個服務(wù)臺。服務(wù)時間一般也分成確定型和隨機(jī)型兩種喜德。但大多數(shù)情形服務(wù)時間是隨機(jī)型的山橄。對于隨機(jī)型的服務(wù)時間，需要知道它的概率分布舍悯。

二模型理論分析

1.2.1模型分類

排隊模型的表示：

X/Y/Z/A/B/C

X—顧客相繼到達(dá)的間隔時間的分布航棱；

Y—服務(wù)時間的分布；

M—負(fù)指數(shù)分布萌衬、D—確定型饮醇、Ek —k階愛爾朗分布。

Z—服務(wù)臺個數(shù)秕豫；

A—系統(tǒng)容量限制（默認(rèn)為∞）朴艰；

B—顧客源數(shù)目（默認(rèn)為∞）；

C—服務(wù)規(guī)則 （默認(rèn)為先到先服務(wù)FCFS)混移。

1.2.2 模型求解

一個實際問題作為排隊問題求解時祠墅，只有顧客到達(dá)的間隔時間分布和服務(wù)時間的分布須要實測的數(shù)據(jù)來確定，其他的因素都是在問題提出時給定的歌径。并且必須確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)毁嗦，解排隊問題就是首先求出這些數(shù)量指標(biāo)的概率分布或特征值。這些指標(biāo)通常是：

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[系統(tǒng)中顧客數(shù)]=[在隊列中等待服務(wù)的顧客數(shù)]+[正被服務(wù)的顧客數(shù)]

（2）逗留時間：一個顧客在系統(tǒng)中停留時間，包括等待時間和服務(wù)時間勺届，其

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[逗留時間]=[等待時間]+[服務(wù)時間]

（3）忙期：從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時間長度驶俊；

系統(tǒng)狀態(tài)：即指系統(tǒng)中的顧客數(shù)；

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表示,即在t時刻系統(tǒng)中有n個顧客的概率免姿；

要解決排隊問題饼酿，首先要確定排隊系統(tǒng)的到達(dá)間隔時間分布與服務(wù)時間分布。要研究到達(dá)間隔時間分布與服務(wù)時間分布需要首先根據(jù)現(xiàn)有系統(tǒng)原始資料統(tǒng)計出它們的經(jīng)驗分布胚膊，然后與理論分布擬合故俐，若能對應(yīng)，我們就可以得出上述的分布情況紊婉。

1药版、經(jīng)驗分布

經(jīng)驗分布是對排隊系統(tǒng)的某些時間參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)進(jìn)行的統(tǒng)計分析，并依據(jù)統(tǒng)計分析結(jié)果假設(shè)其統(tǒng)計樣本的總體分布喻犁，選擇合適的檢驗方法進(jìn)行檢驗槽片，當(dāng)通過檢驗時何缓，我們認(rèn)為時間參數(shù)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)服從該假設(shè)分布。

2还栓、泊松分布

下面我們在一定的假設(shè)條件下碌廓，推出顧客的到達(dá)過程就是一個泊松過程。

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（t2>t1，n≥0）

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符合于下述三個條件時辽聊，我們說顧客到達(dá)過程就是泊松過程纪挎。

(1)再不相重疊的的時間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立的。

(2)對于足夠小的Δt身隐，在時間區(qū)間[t廷区，t+Dt)內(nèi)有1個顧客到達(dá)的概率為

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（λ>0 是常數(shù)，稱為概率強(qiáng)度）贾铝。

(3)對充分小的Δt,在時間區(qū)間[t,t+Δt）內(nèi)有2個或2個以上顧客到達(dá)的概率是Δt一高階無窮小，即

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t>0敛瓷，n=0,1,2,…

負(fù)指數(shù)分布

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由前知续扔，λ表示單位時間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)气破，這里1/λ表示顧客到達(dá)的平均間隔時間铸抑，兩者是吻合的。

下面我們再談一下服務(wù)時間的分布：

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其中：m表示單位時間內(nèi)能被服務(wù)完成的顧客數(shù)并淋，即平均服務(wù)率。1/m表示一個顧客的平均服務(wù)時間珍昨。令[圖片上傳失敗...(image-66c5ad-1602761504886)] 則ρ稱為服務(wù)強(qiáng)度县耽。

食堂窗口與就餐人員之間是服務(wù)機(jī)構(gòu)與顧客的關(guān)系句喷，可以用服務(wù)系統(tǒng)模型來表示，就餐人員打飯的過程酬诀，即為顧客接受服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)的過程脏嚷。

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故可以用排隊論模型中有關(guān)服務(wù)系統(tǒng)的理論來分析和解決該問題。

學(xué)生到食堂就餐的時刻可以認(rèn)為是隨機(jī)的瞒御，若用N(t)表示[0,t)時間內(nèi)到達(dá)該服務(wù)系統(tǒng)的顧客數(shù)父叙，則對于任意一個給定的時刻t,N(t)的值都是隨機(jī)的，即隨機(jī)變量族{N(t)|t∈[0,A)}是一個隨機(jī)過程.同樣,打飯需要的時間長短因人而異肴裙，也認(rèn)為是隨機(jī)的趾唱，若用V(n)表示第n位顧客所需的服務(wù)時間,則有隨機(jī)變量族{Vn,n=1,2,…}。

我們將學(xué)生就餐的過程看作是泊松過程進(jìn)行討論蜻懦。

為了使模型便于求解甜癞，假定每個工作人員的打飯效率相同，每個窗口的飯菜相同宛乃，即不會出現(xiàn)某個窗口“扎堆”排長隊或無人問津的現(xiàn)象悠咱。由于每個窗口獨(dú)立排隊、服務(wù),這里把m個窗口服務(wù)X位顧客的情況等同為1個窗口服務(wù)情況來討論.又假定食堂服務(wù)系統(tǒng)的容量無限,來到食堂就餐的學(xué)生不會在未打好飯之前離去.這樣,得到一個輸入過程為最簡單流,服務(wù)時間為負(fù)指數(shù)分布,1個服務(wù)臺,系統(tǒng)容量無限,顧客源數(shù)無限的等待制排隊模型.

這里,對有關(guān)符號的數(shù)量指標(biāo)加以說明:

λ ——單位時間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù),即平均到達(dá)率;

μ ——單位時間內(nèi)受到服務(wù)的顧客數(shù),即平均服務(wù)率;

t ——每位顧客的平均服務(wù)時間;

Lq ——等待隊長的期望值;

Wq ——等待時間的期望值.

現(xiàn)對食堂二樓的4個服務(wù)窗口進(jìn)行討論:

在11:40至12:20之間的40分鐘為大家用餐的高峰,每4分鐘為1個時段,統(tǒng)計到達(dá)人數(shù),如下表.

<colgroup><col width="80"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"></colgroup>

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求得平均到達(dá)率為:

λ= 5.94 (人/分鐘)

相應(yīng)地,對其中50名顧客接受服務(wù)的時間進(jìn)行統(tǒng)計,得到下表.

<colgroup><col width="84"><col width="61"><col width="61"><col width="73"><col width="73"><col width="73"><col width="73"></colgroup>

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求得平均服務(wù)時間為:

t = 0.157(分鐘)

平均服務(wù)率為:

μ =1/t= 6.37 (顧客/分鐘)

等待隊長的期望值為:

Lq = 12.88(顧客)

等待時間的期望值為:

Wq =Lq /λ= 2.17(分鐘)

由上述模型求出的平均服務(wù)時間為9.4秒,這與實際情況大體吻合;等待隊長的期望值為12.88人,明顯偏長,但實際上,高峰期往往排隊會更長些,這主要是因為在高峰期,用餐人數(shù)比閑時明顯增多,且持續(xù)時間較長;相應(yīng)地,現(xiàn)實中高峰期的等待時間也比求得的平均等待時間(2.17分鐘)要久.另外,實際上并不是每個窗口的飯菜都一樣的,存在個別窗口很受歡迎或不受歡迎的情況,造成該窗口前的排隊明顯過長.就餐人員排隊時間過長,自然會產(chǎn)生不滿情緒征炼。[圖片上傳失敗...(image-44f3e3-1602761504888)]

相應(yīng)地,在就餐人數(shù)較少時,單位時間到達(dá)的顧客數(shù)明顯少于單位時間工作人員所能服務(wù)的人數(shù),造成資源浪費(fèi),增加了食堂的成本.[圖片上傳失敗...(image-6b2218-1602761504888)]

因此,該食堂的窗口設(shè)置尚不夠合理.現(xiàn)從就餐人員排隊時間過長引起不滿和食堂資源浪費(fèi)增加成本兩個方面來考慮改進(jìn)窗口設(shè)置.

11:40前, 3個窗口即可; 11:45應(yīng)開放4個窗口;11:55應(yīng)開放5個窗口,以防止出現(xiàn)排隊過長的現(xiàn)象;直到12:15再減少為4個窗口,至此時,5析既、6、7時段排隊的就餐人員已經(jīng)服務(wù)完畢;12:20后只需2個窗口即可.調(diào)整后,各時段能夠服務(wù)人數(shù)和需要排隊等待人數(shù)如下表.（該表顯示了不同時段的窗口數(shù)以及服務(wù)情況）

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這里做出說明,大約到11:58,到就餐人數(shù)的才達(dá)到5個窗口能夠服務(wù)的人數(shù),按平均服務(wù)時間來算,11:45至11:48之間的3分鐘時間內(nèi),5個窗口的服務(wù)能力有剩余,完全能夠完成之前排隊人員的服務(wù).

窗口調(diào)整后的等待時間(和部分取最大值)僅為調(diào)整前(2.17分鐘)的一半:(6.6+19.6+8.6)/5×0.157=1.09(分鐘),改進(jìn)的效果十分明顯.

對于食堂的運(yùn)營成本, 其它因素不變的情況下,這里只討論人力部分.該食堂11:30至12:20之間營業(yè),每個窗口有1名工作人員,總的人力成本為:50×4=200(人·分鐘).調(diào)整窗口設(shè)置后,11:30至11:40只需最多2個窗口,12:20至12:30也只需最多2個窗口,總的人力成本最多為:2×10+3×5+4×10+5×20+4×5+2×10=190(人·分鐘).

可以看出谆奥，窗口設(shè)置按照該方案調(diào)整后眼坏，食堂的運(yùn)營成本也會相應(yīng)減少。食堂可以根據(jù)這個結(jié)論進(jìn)行參考并相應(yīng)調(diào)整窗口數(shù)量酸些，得到最優(yōu)方案宰译。

心得體會：

以上就是我在學(xué)習(xí)了排隊論這門課程后對食堂窗口問題的分析，過程中結(jié)合了網(wǎng)上查找的相關(guān)文獻(xiàn)以及資料來幫助自己完成魄懂。通過這次作業(yè)沿侈，我盡量認(rèn)真分析了網(wǎng)上相關(guān)文獻(xiàn)內(nèi)容并將課上學(xué)習(xí)的內(nèi)容相結(jié)合，對排隊論的理解更加深刻逢渔。

在此也十分感謝魏老師在課上的認(rèn)真講解肋坚，并能將理論與實際生活相結(jié)合，讓我學(xué)到很多知識并激發(fā)了我對這門學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣肃廓。

【參考文獻(xiàn)】

1. 排隊論再學(xué)校食堂窗口服務(wù)中的應(yīng)用智厌，劉亞國，河源職業(yè)技術(shù)學(xué)院

2. 北京師范大學(xué)學(xué)一食堂排隊分析盲赊，艾博铣鹏，北京師范大學(xué)

3. 排隊論，陸傳賚哀蘑，北京郵電大學(xué)出版社