學(xué)號：22021110314? ?姓名：李詩瑤
【嵌牛導(dǎo)讀】：粒子群優(yōu)化(PSO)算法是一種新興的優(yōu)化技術(shù),其思想來源于人工生命和進(jìn)化計算理論账千。粒子群優(yōu)化通過粒子追隨自己找到的最好解和整個群的最好解來完成優(yōu)化。該算法簡單易實(shí)現(xiàn)崔兴，可調(diào)參數(shù)少，已得到廣泛研究和應(yīng)用蛔翅。本文簡單介紹粒子群優(yōu)化算法的基本原理及應(yīng)用敲茄，并對其未來發(fā)展提出了見解。
【嵌牛鼻子】：粒子群優(yōu)化 演化計算 群體智能
【嵌牛提問】：什么是群體智能優(yōu)化算法山析？粒子群是什么堰燎？
【嵌牛正文】：
粒子群算法笋轨，也稱粒子群優(yōu)化算法或鳥群覓食算法（Particle Swarm Optimization）秆剪，縮寫為PSO赊淑，是由J. Kennedy和R. C. Eberhart等開發(fā)的一種新的進(jìn)化算法(Evolutionary
Algorithm -EA)。PSO算法屬于進(jìn)化算法的一種仅讽，和模擬退火算法相似陶缺，它也是從隨機(jī)解出發(fā)，通過迭代尋找最優(yōu)解洁灵，它也是通過適應(yīng)度來評價解的品質(zhì)饱岸，但它比遺傳算法規(guī)則更為簡單，它沒有遺傳算法的“交叉”(Crossover)和“變異”(Mutation)操作处渣，它通過追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值來尋找全局最優(yōu)伶贰。這種算法以其實(shí)現(xiàn)容易、精度高罐栈、收斂快等優(yōu)點(diǎn)引起了學(xué)術(shù)界的重視黍衙，并且在解決實(shí)際問題中展示了其優(yōu)越性。
粒子群優(yōu)化算法是基于群體的演化算法荠诬，其思想來源于人工生命和演化計算理論琅翻。Reynolds對鳥群飛行的研究發(fā)現(xiàn)，鳥僅僅是追蹤它有限數(shù)量的鄰居柑贞，但最終的整體結(jié)果是整個鳥群好像在一個中心的控制之下方椎，即復(fù)雜的全局行為是由簡單規(guī)則的相互作用引起的。
PSO即源于對鳥群捕食行為的研究钧嘶，一群鳥在隨機(jī)搜尋食物棠众，如果這個區(qū)域里只有一塊食物，那么找到食物的最簡單有效的策略就是搜尋目前離食物最近的鳥的周圍區(qū)域有决。PSO算法就是從這種模型中得到啟示而產(chǎn)生的闸拿，并用于解決優(yōu)化問題。另外书幕，人們通常是以他們自己及他人的經(jīng)驗(yàn)來作為決策的依據(jù)新荤，這就構(gòu)成了PSO的一個基本概念[2]。
PSO中台汇，每個優(yōu)化問題的解看作搜索空間中的一只鳥(即粒子)苛骨，所有的粒子都有一個被優(yōu)化的函數(shù)決定的當(dāng)前位置的適應(yīng)值x，并且有一個速度v決定它們飛翔的方向和速率苟呐，粒子們追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索痒芝。
算法首先初始化一群隨機(jī)粒子，然后通過迭代找到最優(yōu)解牵素。在每一次迭代中严衬，粒子通過跟蹤兩個“極值”即個體極值和全局極值來更新自己的速度與位置。在D維目標(biāo)搜索空間中两波，由種群數(shù)為m的粒子組成粒子群瞳步，其中，第i個粒子在第d維的位置為xid腰奋，其飛行速度為vid单起，該粒子當(dāng)前搜索到的最優(yōu)位置為pid(pBest) ，整個粒子群當(dāng)前的最優(yōu)位置為pgd(gBest)劣坊。速度與位置更新公式如下:
式中：rand（）為[0嘀倒，1]范圍內(nèi)變化的隨機(jī)數(shù)，c1和c2為加速系數(shù)局冰，是可以自定義的參數(shù)测蘑。PSO的算法框架如下所述，圖1給出了PSO的算法流程康二。
圖1 PSO算法流程
(1)初始化所有的個體(粒子)碳胳，初始化它們的速度和位置，并且將個體的歷史最優(yōu)設(shè)為當(dāng)前位置沫勿，而群體中最優(yōu)的個體作為當(dāng)前的挨约。
(2)在當(dāng)代的進(jìn)化中，計算各個粒子的適應(yīng)度函數(shù)值产雹。
(3) 如果該粒子當(dāng)前的適應(yīng)度函數(shù)值比其歷史最優(yōu)值要好诫惭，那么歷史最優(yōu)將??????? 會被當(dāng)前位置所替代。
(4)如果該粒子的歷史最優(yōu)比全局最優(yōu)要好蔓挖，那么全局最優(yōu)將會被該粒子的歷史最優(yōu)所替代夕土。
(5)對每個粒子按照公式(1)和公式(2)對速度和位置進(jìn)行更新。
(6)進(jìn)化代數(shù)增加 1瘟判，如果還沒有到達(dá)結(jié)束條件怨绣，轉(zhuǎn)到(2)，否則輸出并結(jié)束荒适。[3]
2.1 粒子群算法的起源
從20世紀(jì)90年代初，就產(chǎn)生了模擬自然生物群體(swarm)行為的優(yōu)化技術(shù)刀诬。先是蟻群算法被提出咽扇，1995年基于對鳥群魚群的模擬，Ebarhart和Kennedy提出了粒子群優(yōu)化算法陕壹。這類研究都被稱為群體智能(Swarm Intelligence)质欲。通常單個自然生物并不是智能的，但是整個生物群體卻表現(xiàn)出處理復(fù)雜問題的能力糠馆，群體智能就是這些團(tuán)體行為在人工智能問題中的應(yīng)用嘶伟。群體智能優(yōu)化算法主要模擬了昆蟲、獸群又碌、鳥群和魚群的群集行為九昧，這些群體按照一種合作的方式尋找食物绊袋，群體中的每個成員通過學(xué)習(xí)它自身的經(jīng)驗(yàn)和其他成員的經(jīng)驗(yàn)來不斷地改變搜索的方向。群體智能優(yōu)化算法的突出特點(diǎn)就是利用了種群的群體智慧進(jìn)行協(xié)同搜索铸鹰，從而在解空間內(nèi)找到最優(yōu)解癌别。粒子群優(yōu)化最初是處理連續(xù)優(yōu)化問題的，由于其簡單蹋笼、有效的特點(diǎn)展姐，目前其應(yīng)用已擴(kuò)展到組合優(yōu)化問題，得到了眾多學(xué)者的重視和研究[1]剖毯。
2.2 粒子群優(yōu)化算法的發(fā)展
粒子群算法一經(jīng)提出就吸引了各國學(xué)者的注意圾笨，經(jīng)歷了許多變形和改進(jìn)，為實(shí)際的工業(yè)應(yīng)用指引了新的方向逊谋。從2003年IEEE第一屆國際群智能研討會在美國召開后擂达，關(guān)于PSO算法的研究和應(yīng)用成果的論文逐年增加，ISI數(shù)據(jù)庫收錄有關(guān)PSO論文數(shù)量在一段時間內(nèi)成指數(shù)增長趨勢涣狗，這體現(xiàn)了對PSO的研究成了智能算法領(lǐng)域的一大熱點(diǎn)谍婉。
PSO算法的研究主要集中在理論研究和應(yīng)用研究兩個方面。在應(yīng)用研究方面镀钓，則有很多根據(jù)具體情況穗熬，對算法進(jìn)行改進(jìn)，以滿足應(yīng)用要求丁溅。在理論研究方面唤蔗，目前PSO算法還沒有成熟的理論分析，部分研究者對算法的收斂性進(jìn)行了分析窟赏，而部分研究者在算法的結(jié)構(gòu)和性能改善方面進(jìn)行研究妓柜，包括參數(shù)分析，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)涯穷，粒子多樣性保持棍掐，算法融合和性能比較等。
PSO算法收斂性分析一直是研究的難點(diǎn)拷况，由于算法引入了隨機(jī)變量作煌，使得很多常規(guī)數(shù)學(xué)方法對其無效。2001年Van通過采用集合論的方法研究得出：只有改進(jìn)的PSO算法才可以保證算法的局部或全局收斂性赚瘦。在此理論前提下粟誓，提出一種在時間無限下保證收斂到局部最優(yōu)的改進(jìn)算法，算法雖然保證了收斂性起意，但其優(yōu)化效果并不理想鹰服。2002年Clerc等對PSO進(jìn)化方程進(jìn)行了分析，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的策略研究單個粒子在進(jìn)化中的運(yùn)動軌跡，進(jìn)而得到使單個粒子收斂的條件悲酷，但該分析方法忽略了粒子間作用和隨機(jī)變量的作用套菜。
2003年Trelea運(yùn)用動態(tài)系統(tǒng)理論對粒子群算法進(jìn)行了分析，并給出了參數(shù)選取的指導(dǎo)規(guī)則设易。2004年Cui通過在基本粒子群算法基礎(chǔ)上笼踩，引入一種隨機(jī)算法保證算法收斂到全局最優(yōu)解。2004 年曾建潮等提出了一種能保證以概率 1 收斂于全局最優(yōu)解的 PSO 算法(隨機(jī) PSO 算法)亡嫌，該算法對其全局收斂性進(jìn)行了理論分析，并提出了兩種停止進(jìn)化粒子的重新產(chǎn)生方法掘而。
2007年Jiang等對PSO算法的收斂性進(jìn)行了分析挟冠，給出了算法的收斂條件。2008 年 Chen通過引入可控制的隨機(jī)探索向量袍睡，來控制算法的收斂知染。2009 年 Latif通過引入分布因子，分析了算法的收斂性條件斑胜。2009 年高雷阜等通過分析算法的收斂性控淡，提出了基于混沌改進(jìn)的粒子群算法。Rapaic 等對算法的參數(shù)選取和收斂性進(jìn)行分析止潘，給出算法收斂條件下參數(shù)選取的準(zhǔn)則掺炭。眾多研究者對算法收斂性的分析，并在一定程度上給出了算法的收斂條件凭戴，但都是在簡化條件下的結(jié)論涧狮，這使得對收斂性的分析缺乏一般性。
三么夫、粒子群優(yōu)化算法相關(guān)技術(shù)
3.1 粒子群優(yōu)化算法的改進(jìn)
粒子群算法本身也存在如下缺點(diǎn)者冤。
(1)尋找到的最優(yōu)解可能是局部最優(yōu)解而不是全局最優(yōu)解。
(2)算法搜索初期收斂速度快而搜索后期收斂速度變慢档痪。
(3)參數(shù)選擇的隨機(jī)性涉枫。
為此，研究者們針對這些缺點(diǎn)對粒子群算法做了不同方面的改進(jìn)腐螟。
Clerc M 等[4]將壓縮因子引入粒子群算法中愿汰，改進(jìn)了算法的速度更新方式，具體如下：
其中遭垛，
一般情況下尼桶，取4.1。
壓縮因子的引入可以控制粒子群算法的收斂锯仪，使得粒子有機(jī)會搜索空間中不同的區(qū)域泵督，并獲得高質(zhì)量的粒子。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明庶喜，它大大提高了粒子群算法的收斂速度和收斂精度小腊。
Vanden B F 等人[5]提出了一種協(xié)同粒子群算法救鲤。該方法的具體步驟為：假設(shè)粒子的維數(shù)為 n ，將整個粒子分為 n 個小部分秩冈，然后算法分別對粒子的每個小部分(1 維)分別進(jìn)行優(yōu)化本缠，評價適應(yīng)度值后合并成一個完整的粒子。結(jié)果表明了算法在很多問題上有更快的收斂速度入问，取得了很好的結(jié)果丹锹。
粒子群混合算法是在粒子群算法中引入其它算法的一些比較好的思想，以提高粒子群算法的性能芬失。這些算法包括：磷蝦群算法楣黍、遺傳算法、蝙蝠算法棱烂、螢火蟲算法租漂、差分進(jìn)化算法等。由于這些算法有自身的優(yōu)點(diǎn)颊糜，因此研究者們已經(jīng)將它們的思想與粒子群算法結(jié)合來提高粒子群算法的性能哩治。
Angeline P J[6]將自然界中的自然選擇機(jī)制引入粒子群算法中，形成基于自然選擇的粒子群算法衬鱼。其核心思想為业筏，當(dāng)算法更新完所有的粒子后，計算粒子的適應(yīng)度值并對粒子進(jìn)行適應(yīng)度值排序鸟赫。然后根據(jù)排序結(jié)果驾孔，用粒子群體中最好的一半粒子替換粒子群體中最差的一半粒子，但是保留原來粒子的個體最優(yōu)位置信息惯疙。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明翠勉，自然選擇機(jī)制的引入增強(qiáng)了粒子的全局尋優(yōu)能力，提高了解的精度霉颠。[7]
四对碌、粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用的發(fā)展現(xiàn)狀
PSO算法由于具有簡單、易于實(shí)現(xiàn)蒿偎、設(shè)置參數(shù)少朽们、無需梯度信息等特點(diǎn)，其在連續(xù)非線性優(yōu)化問題和組合優(yōu)化問題中都表現(xiàn)出良好的效果诉位，因此被應(yīng)用到很多的領(lǐng)域骑脱。PSO 最早應(yīng)用于神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，Kennedy 和 Eberhart 成功地將其應(yīng)用于分類XOR 問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練苍糠；1999 年 Eberhart用 PSO 來分析人類的帕金森綜合癥等顫抖類疾踩ァ；1999 年 Yoshida 等用 PSO 優(yōu)化各種離散個連續(xù)變量，控制核電機(jī)組輸出穩(wěn)定電壓拥娄；2002 年 Abido 等用 PSO 解決最優(yōu)功率通量問題∥们拢現(xiàn)在，PSO 算法已經(jīng)應(yīng)用于非線性規(guī)劃稚瘾，同步發(fā)電機(jī)辯識牡昆，車輛路徑，約束布局優(yōu)化摊欠，新產(chǎn)品組合投入丢烘，廣告優(yōu)化，多目標(biāo)優(yōu)化等眾多問題中些椒，也表現(xiàn)出了良好的效果铅协。
2007 年 Poli對 PSO 算法的應(yīng)用做了一個相對比較全面綜述，他把 PSO 算法的應(yīng)用領(lǐng)域分為 26 個不同類別摊沉，根據(jù) Xplore 中搜索到的 1100 篇有關(guān) PSO 算法的文獻(xiàn)作數(shù)據(jù)統(tǒng)計，其中有 700 篇是有關(guān) PSO 算法應(yīng)用的痒给。他把這些應(yīng)用文獻(xiàn)歸納出以下應(yīng)用領(lǐng)域：圖像與視頻分析说墨；電子網(wǎng)絡(luò)分布；控制工程應(yīng)用苍柏；電子應(yīng)用尼斧；天線設(shè)計；電力系統(tǒng):調(diào)度试吁；設(shè)計棺棵；通訊設(shè)計與優(yōu)化；生物醫(yī)藥熄捍；數(shù)據(jù)挖掘烛恤；模糊系統(tǒng)與控制；信號處理余耽；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):組合優(yōu)化缚柏；機(jī)器人；預(yù)測與預(yù)報碟贾；模型币喧；故障診斷與恢復(fù)；傳感器網(wǎng)絡(luò)袱耽；計算機(jī)圖形與可視化杀餐；發(fā)機(jī)動設(shè)計或優(yōu)化；治金朱巨；音樂制作與游戲史翘；安全與軍事應(yīng)用；財經(jīng)與金融。
總之恶座，由于簡潔易操作的特點(diǎn)搀暑，PSO 算法一提出就引起了各方面的關(guān)注，關(guān)于 PSO 算法的應(yīng)用不斷出現(xiàn)跨琳，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化自点、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、工業(yè)系統(tǒng)控制脉让、模式識別及其他遺傳算法的應(yīng)用領(lǐng)域桂敛。PSO 最早應(yīng)用時將其應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。文獻(xiàn)[8]將 PSO 算法用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成溅潜，加強(qiáng)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力术唬。文獻(xiàn)[9] 將 PSO 算法用于解決優(yōu)化網(wǎng)頁內(nèi)容描述的問題中。文獻(xiàn)[10]將離散 PSO 算法用于求解 TSP 問題;文獻(xiàn)[11]則將 PSO 算法用于軟件結(jié)構(gòu)測試數(shù)據(jù)自動生成也取得了良好的效果滚澜。在解決復(fù)雜問題時粗仓，PSO 算法被證明是一種有效的方法，已被應(yīng)用于各個研究領(lǐng)域设捐。
PSO 是一種新興的有潛力的基于群智能的演化計算技術(shù)借浊。自從 2002 年 PSO 算法被引進(jìn)國內(nèi)，已經(jīng)有很多學(xué)者對 PSO 進(jìn)行了研究萝招。雖然已經(jīng)取得了一些研究成果蚂斤，但是仍然有許多問題值得關(guān)注。PSO 算法雖然是一種有效的優(yōu)化工具槐沼，但同樣有其不足曙蒸，如迭代后期搜索能力不夠，早熟收斂等岗钩。所以纽窟，如何將其他算法引進(jìn) PSO 算法，以彌補(bǔ)其不足是一個重要方向兼吓∈螅科學(xué)與工程實(shí)踐中的許多問題都可以歸結(jié)為優(yōu)化問題。所以如何將 PSO 算法與實(shí)際問題結(jié)合周蹭，將會有力的推動 PSO 算法的發(fā)展趋艘。[12]
我國對粒子群算法的研究起步較晚凶朗，現(xiàn)在深入的研究和應(yīng)用還相對有限瓷胧，已發(fā)表的論文也不是很多，PSO算法的研究還有大量的工作要做棚愤，國際上前人走過的路我們也需要借鑒搓萧，根據(jù)前人的經(jīng)驗(yàn)快速跟進(jìn)杂数。作為一個研究起步晚的國家，我們的研究也是理論與應(yīng)用同時進(jìn)行瘸洛，主要研究方向有以下幾個方面：
粒子群算法的改進(jìn)：標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法主要適用于連續(xù)空間函數(shù)的優(yōu)化問題揍移，如何將粒子群算法應(yīng)用于離散空間優(yōu)化問題，特別是一類非數(shù)值優(yōu)化問題反肋，將是粒子群算法的主要研究方向那伐。另外，充分吸引其他進(jìn)化類算法的優(yōu)勢石蔗，以改進(jìn) PSO 算法存在的不足也是值得研究的問題罕邀。
粒子群算法的理論分析：到目前為止，PSO算法的分析方法還很不成熟养距，存在許多不完善之處诉探。如何利用有效的數(shù)學(xué)工具對PSO算法的運(yùn)行行為、收斂性以及計算復(fù)雜性進(jìn)行分析也是目前的研究熱點(diǎn)之一棍厌。
粒子群算法與其他進(jìn)化算法的比較研究：目前肾胯，進(jìn)化算法的研究在理論和應(yīng)用兩方面都得到迅速發(fā)展，效果顯著耘纱。其中研究的比較成熟的有遺傳算法敬肚、蟻群算法等，而粒子群算法是一個新興的群體智能算法揣炕，目前己成為進(jìn)化算法的一個重要分支，如何從多方面比較各種算法從而得到各自的特長和不足东跪，如何吸引其他進(jìn)化類算法的優(yōu)勢來彌補(bǔ)PSO算法的不足也是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)之一畸陡。
通過對粒子群優(yōu)化算法的基本概念、改進(jìn)和應(yīng)用的了解虽填，我們應(yīng)該充分領(lǐng)悟其中的奧義丁恭，即群體智能和進(jìn)化計算。人類通過對自然界的觀察可以總結(jié)出更好更多的算法來分析自然界的奧秘斋日。就對于粒子群優(yōu)化算法而言牲览，由于單個算法總有其優(yōu)勢、也有其缺陷恶守，因此第献，人們希望通過多個算法的混合，以發(fā)揮各自的優(yōu)勢兔港，克服單個算法的不足庸毫，從而提出各種混合算法∩婪科學(xué)與工程實(shí)踐中的許多問題都可以歸結(jié)為優(yōu)化問題飒赃。所以如何將PSO算法與實(shí)際問題結(jié)合利花，將會有力的推動PSO算法的發(fā)展。在眾多研究者的不斷努力下载佳，我們相信PSO將會越來越完善炒事，發(fā)展和應(yīng)用前景會更加光明。
粒子群算法是在仿真生物群體社會活動的基礎(chǔ)上蔫慧，通過模擬群體生物的相互協(xié)同尋優(yōu)能力挠乳，從而構(gòu)造出一種基于群體智能的優(yōu)化算法。從提出至今藕漱，雖然只有短短20年的時間欲侮，但引起了世界各國研究人員的注意，從收斂性肋联、權(quán)重因子選擇威蕉、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、多樣性橄仍、算法融合等諸多理論方面和實(shí)際工業(yè)應(yīng)用方面都投入了大量的精力韧涨，也取得了一定的成果。
但是侮繁，由于粒子群算法本身來源于生物群體現(xiàn)象虑粥，目前所得到的理論基礎(chǔ)尚不完備，現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)算法形式也存在性能的缺陷宪哩。因此娩贷，在接下來的研究中，研究人員對粒子群算法的理論應(yīng)該有更深入的研究锁孟，使得粒子群算法具有更普遍的應(yīng)用規(guī)律彬祖，切實(shí)解決生活實(shí)際中遇到的問題。
[1]Fukuyama Y. Fundamentals of particle swarm techniques [A]. Lee K Y , El2Sharkawi
M A. Modern Heuristic Optimization Techniques With Applications to Power
Systems [M]. IEEE Power Engineering Society , 2002. 45～51
[2]楊維,李歧強(qiáng).粒子群優(yōu)化算法綜述[J].中國工程科學(xué),2004,6(5):87-94.
[3]黃少榮.粒子群優(yōu)化算法綜述[J].計算機(jī)工程與設(shè)計,2009,30(8):1977-1980.
[4]Clerc M,Kennedy,Télécom F. The particle swarm-explosion,stability,and convergence in a multidimensional complex space[J].EvolutionaryComput ation,IEEE,2002,6(1):58-73.
[5]Vanden B F,Engelbrecht A P.Using cooperative particle swarmoptimization to train product unit neural Networks[C]. IEEE International JointConference on Neural Networks, Washington D C,USA, 2001.
[6]Angeline P J.Evolutionary optimization versus particle swarmoptimization: Philosophy and performance differences[J]. Lecture Notes inComputer Science,1998:601-610.
[7]趙乃剛,鄧景順.粒子群優(yōu)化算法綜述[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報,2015,12(26):216-217.
[8]劉宇品抽，覃征储笑，盧江，等 .多模態(tài)粒子群集成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［J］．計算機(jī)研究與發(fā)展圆恤，2005突倍，42(
9):15191526．
[9]Alfredo Milani，Valentino Santucci. Optimizing Web Content Presentation: a online PSO approach ［ C ］ ． 2009 IEEE/WIC/ACM International
Conference on Web Intelligence and Intelligent Agent Technology盆昙， 2009: 2629．
[10]Niasar N. Salmani羽历，Perdam M. M，Shanbezade淡喜，Mohajeri. Discrete fuzzy particle swarm optimization for solving
traveling salesman problem［C］．International
Conference on Information and Financial Engineering窄陡，ICIFE 2009， 2009:162165．
[11]李愛國拆火，張艷麗.基于PSO的軟件結(jié)構(gòu)測試數(shù)據(jù)自動生成方法［J］．計算機(jī)工程跳夭，2008涂圆，34(6):93-94
[12]楊偉新,張曉森.粒子群優(yōu)化算法綜述[J].甘肅科技,2012,28(5):88-92.
注：文章轉(zhuǎn)自本人博客園博客，博客園賬號小艾shea
