第十六講三重積分洲拇、曲線和曲面積分

這一講的內(nèi)容主要是解決五大積分(三重積分、第一型曲線積分绅项、第一型曲面積分紊册、第二型曲線積分和第二型曲面積分)的問(wèn)題
本講知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：
$\begin{cases} 三重積分\begin{cases}三重積分的概念與性質(zhì)\\ \color{red}{三重積分的計(jì)算}\end{cases}\\ 第一型曲面積分\begin{cases}概念、性質(zhì)和對(duì)稱性\\\color{red}{計(jì)算}\end{cases}\\ 應(yīng)用\begin{cases}幾何量\begin{cases}平面區(qū)域-面積\\空間區(qū)域-體積\\空間曲線-弧長(zhǎng)\\\color{red}{空間曲面-面積}\end{cases}\\ 重心(質(zhì)心)與形心\begin{cases}平面薄片D\\\color{red}{空間物體\Omega}\\空間曲線\Gamma\\空間曲面\Sigma\end{cases}\\ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量\\ 引力\end{cases}\\ \end{cases}$

$\begin{cases} 第二型曲線積分\begin{cases}概念與性質(zhì)\\平面第二型曲線積分的計(jì)算\begin{cases}基本方法-化為定積分\\\color{red}{格林公式法}\end{cases}\end{cases}\\ 第二型曲面積分\begin{cases}概念與性質(zhì)\\第二型曲面積分的計(jì)算\begin{cases}基本方法-化為二重積分\\\color{red}{高斯公式法}\end{cases}\end{cases}\\ 空間第二型曲線積分的計(jì)算-\color{red}{斯托克公式法} \end{cases}$

三重積分

概念
與前面學(xué)過(guò)的定積分、二重積分相對(duì)比：定積分的幾何意義是“曲邊梯形”的面積囊陡，二重積分的幾何意義是“曲頂柱體”的體積芳绩，到了三重積分后，由于無(wú)法畫出四維的圖形撞反，所以三重積分不具備類似的幾何意義妥色，但是可以把三重積分當(dāng)作計(jì)算一個(gè)密度分布和被積函數(shù)一致的實(shí)心球體的質(zhì)量來(lái)理解。
普通對(duì)稱性和輪換對(duì)稱性
普通對(duì)稱性的分析方法和二重積分的普通對(duì)稱性完全一樣
輪換對(duì)稱性：
若對(duì)換被積區(qū)域中兩個(gè)自變量的順序而被積區(qū)域不變遏片，則在計(jì)算三重積分的時(shí)候也對(duì)換被積函數(shù)中相應(yīng)的兩個(gè)自變量
比如嘹害，假設(shè)把 $x$ 與 $y$ 對(duì)調(diào)之后， $\Omega$ 不變吮便，則 $\iiint_{\Omega} f(x,y,z)dv=\iiint_{\Omega} f(y,x,z)dv$
和二重積分的輪換對(duì)稱性一樣笔呀，將自變量進(jìn)行輪換之后積分的難度也適合輪換之前一樣，但是可以對(duì)積分兩個(gè)積分進(jìn)行相加或者相乘髓需，從而達(dá)到簡(jiǎn)化被積函數(shù)的目的许师。
三重積分的計(jì)算
基礎(chǔ)方法：

直角坐標(biāo)系
(1).先一后二(先z后xy)
適用場(chǎng)景，被積區(qū)域的上曲面和下曲面在平面 $xOy$ 上的投影區(qū)域一致僚匆，此時(shí)的積分順序?yàn)椋?br> $\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dv=\iint_{D_{xy}}d\sigma\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$
其中 $D_{xy}$ 為被積區(qū)域在平面 $xOy$ 上的投影區(qū)域微渠， $z_1(x,y)$ 為被積區(qū)域的下曲面， $z_2(x,y)$ 為被積區(qū)域的上曲面
(2)先二后一(先xy后z)
適用場(chǎng)景白热，積分區(qū)域 $\Omega$ 是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體
假設(shè)的旋轉(zhuǎn)體的曲面方程為 $\Omega:z=z(x,y)$ 敛助，則在這個(gè)曲面空間上的積分計(jì)算公式為
$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dv=\int_a^b dz\iint_{D_z}f(x,y,z)d\sigma$
其中粗卜， $a,b$ 分別為積分區(qū)域在 $z$ 軸上的下限和上限屋确， $D_z$ 為一個(gè)與 $z$ 相關(guān)的平面

例題1(先一后二)
計(jì)算三重積分 $I=\iiint_{\Omega}\frac{dxdydz}{(1+x+y+z)^3}$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $x=0,y=0,z=0$ 以及 $x+y+z=1$ 所圍成的四面體
先畫出積分區(qū)域：

$\iiint_{\Omega}\frac{dxdydz}{(1+x+y+z)^3}$
$=\iint_{D_{xy}}d\sigma\int_{0}^{1-x-y}\frac{dz}{(1+x+y+z)^3}$
$=\iint_{D_{xy}}\frac{1}{2}(\frac{1}{(1+x+y)^2}-\frac{1}{4})d\sigma$
$=\frac{1}{2}\int_0^1dy\int_0^{1-y}(\frac{1}{(1+x+y)^2}-\frac{1}{4})dx$
$=\frac{1}{8}\int_0^1(y-3)dy$
$=\frac{-5}{16}$

例題2(先二后一)
計(jì)算 $\iiint_{\Omega}e^{|z|}dv$ 续扔，其中 $\Omega:x^2+y^2+z^2\le 1$
積分區(qū)域是一個(gè)球面攻臀，而被積函數(shù) $e^{|z|}$ 是關(guān)于平面 $xOy$ 對(duì)稱的，所以可以先算上半球面的積分
對(duì)于積分區(qū)域?yàn)榍蛎娴那闆r纱昧，其實(shí)既可以先二后一也可以先一后二刨啸，但是考慮到這里的被積函數(shù)中只含有 $z$ 這個(gè)變量，所以采用先二后一的積分順序
$\iiint_{\Omega}e^{|z|}dv$
$=2\int_0^1dz\iint_{D_z}e^{z}d\sigma$
$\color{red}{(被積函數(shù)不含被積變量時(shí)识脆，積分等于被積函數(shù)乘以積分區(qū)域的面積)}$
$=2\int_0^1e^{z}\pi(1-z^2) dz$
$=2\pi$

柱面坐標(biāo)系
在直角坐標(biāo)系中的先二后一的積分順序中设联，若 $\iint_{D_{xy}}d\sigma$ 適用于極坐標(biāo)系，則令 $\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$ 灼捂，則有
$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\iiint_{\Omega}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz$

例題：
計(jì)算 $I=\iiint_{\Omega}(x^2+y^2)dv$ 离例，其中 $\Omega$ 為平面曲線 $\begin{cases}y^2=2z\\x=0\end{cases}$ 繞 $z$ 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面與平面 $z=8$ 所圍成的區(qū)域
積分區(qū)域的方程： $2z=x^2+y^2$
$\therefore I=\int_0^8dz\iint_{D:x^2+y^2\le2z}(x^2+y^2)d\sigma$
$=\int_0^8dz\int_0^{\sqrt{2z}}rdr\int_0^{2\pi}r^2d\theta$
$=\frac{1024\pi}{3}$

球面坐標(biāo)系
球面坐標(biāo)系適用的場(chǎng)合：當(dāng)積分區(qū)域是球體或者錐體的時(shí)候，并且被積函數(shù)中含有( $x^2+y^2+z^2$ )或者( $x^2+y^2$ )時(shí)悉稠，計(jì)算方法為宫蛆，令
$\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi\end{cases}$ ，則有的猛，
$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dv$
$=\iiint_{\Omega}f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi drd\theta d\varphi$

例題：
計(jì)算三重積分 $\iiint_{\Omega}(x^2+y^2)dv$ 耀盗，其中 $\Omega$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ (y $\ge$ 0)與xOz平面所圍成的區(qū)域
$I=\int_0^adr\int_0^{\pi}d\theta\int_0^{\pi}r^4\sin^3\varphi d\varphi$
$=\frac{2a^5}{15}\pi$

第一型曲線積分

第一型曲線積分和一元積分的區(qū)別其實(shí)就是將原來(lái)的微分dx替換成弧微分ds

若平面曲線 $L$ 由 $y=y(x)(a\le x\le b)$ 給出想虎，則 $ds=\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$ ，且
$\int_Lf(x,y)ds=\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$
若平面曲線 $L$ 由參數(shù)方程 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}(\alpha\le t \le\beta)$ 給出叛拷，則 $ds=\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$ 舌厨，且
$\int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t)]\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$
若平面曲線 $L$ 由極坐標(biāo)形式 $r=r(\theta)(\alpha\le \theta\le\beta)$ 給出，則 $ds=\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$ 胡诗，且
$\int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$

例題
計(jì)算 $\oint_{\Gamma}|y|ds$ 邓线，其中 $\Gamma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=2$ 與平面 $x=y$ 的交線
曲線方程 $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=2\\x=y\end{cases}$ ， $2x^2+z^2=2$
所以曲線方程的參數(shù)方程為
$\begin{cases}x=\sin t\\y=\sin t\\z=\sqrt{2}\cos t\end{cases}$
$\therefore \oint_{\Gamma}|y|ds = \int_0^{2\pi}\sqrt{2}|\sin t|dt=4\sqrt{2}$

第一型曲面積分

與第一型曲面積分對(duì)應(yīng)的是二重積分煌恢，但是也采用和第一型曲線積分同樣的處理方法
$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy$

例題
設(shè)曲面 $\Sigma:|x|+|y|+|z|=1$ 骇陈，求 $\iint_{\Sigma}(x+|y|)dS$
$\iint_{\Sigma}(x+|y|)dS=\iint_{\Sigma}|y|dS=8\iint_{\Sigma_1}ydS$
$=8 \sqrt{3}\int_0^1dx\int_0^{1-x} ydy=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

例題 $\color{red}{(經(jīng)典題型)}$
求錐面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2x$ 所截部分面積
$S=\iint_{D_{xy}}1\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dS=\sqrt{2}\pi$

第二型曲線積分

第二型曲線積分的幾何意義與向量場(chǎng)相關(guān)，最具體的實(shí)例就是變力沿曲線做功的問(wèn)題
變力沿曲線做功的微分形式： $dw=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=p(x,y)dx+q(x,y)dy$
其中 $p(x,y)$ 是 $\overrightarrow{F}$ 沿x方向的分力瑰抵， $q(x,y)$ 是 $\overrightarrow{F}$ 沿y方向的分力
所以變力沿著一條曲線做功的總和為 $\int_{L}dw=\int_{L}p(x,y)dx+q(x,y)dy$
對(duì)于空間曲線也是同樣的： $\int_{L}dw=\int_{L}p(x,y,z)dx+q(x,y,z)dy+r(x,y,z)dz$
平面第二型曲線積分的計(jì)算：

當(dāng)曲線為參數(shù)方程 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}(\alpha\le t \le\beta)$ 時(shí)你雌，
$\int_{L}p(x,y)dx+q(x,y)dy$
$=\int_{\alpha}^{\beta}[p(x(t),y(t))x'(t)+q(x(t),y(t))y'(t)]dt$
當(dāng)曲線積分的方程為 $y=y(x)(a\le x\le b)$ 時(shí)
$\int_{L}p(x,y)dx+q(x,y)dy$
$=\int_{a}^[p(x,y(x))+q(x(t),y(x))y'(x)]dx$

3.格林公式法：設(shè)平面有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L圍成二汛， $P(x,y),Q(x,y)$ 在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)婿崭，L取正向，則
$\oint_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dt=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$
這里所謂的L取正向肴颊，是指假如有一個(gè)人沿著L行走氓栈，L所圍成的區(qū)域D永遠(yuǎn)在他的左手側(cè)

需要注意的是，在下面兩種情況下婿着，格林公式無(wú)法直接使用授瘦，但是可以通過(guò)“補(bǔ)線法”或者“挖去法”來(lái)使用格林公式

區(qū)域不封閉

例題
已知曲線L的方程為 $y=1- |x|(x\in[-1,1])$ ，起點(diǎn)為 $(-1,0)$ 終點(diǎn)為 $(1,0)$ 竟宋，計(jì)算曲線積分 $\int_{L}xydx+x^2dy$
使用補(bǔ)線法提完，如圖

其中 $\bar{L}:y=0,x\in[-1,1]$
所以 $\int_{L}xydx+x^2dy=-\iint_{D}(2x-x)d\sigma+\oint_{\bar{L}}xydx+x^2dy$
$=0+0$
$=0$

L上存在偏導(dǎo)數(shù)不存在的"奇點(diǎn)"

例題
計(jì)算曲線積分 $\oint\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}$ ，其中L是以 $(1,0)$ 為圓心丘侠，半徑為1的圓周徒欣，取逆時(shí)針?lè)较?br>

所以 $\oint\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2} = \oint_{L^++C^-}-\oint_{c^-}$
當(dāng) $x\ne 0,y\ne 0$ 時(shí)， $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$
所以 $\oint_{L^++c^-}-\oint_{c^-}=-\oint_{c^-}=\oint_{c^+}$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%7D" alt="\color{red}{\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y}}" mathimg="1">
所以積分與路徑無(wú)關(guān)
所以這里的c可以取任何封閉路徑蜗字，所以這里不妨令 $c:4x^2+y^2=4$
$\therefore \oint_{c^+}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2} = \frac{1}{4}\oint_{c^+}xdy-ydx = \frac{1}{4}\iint_{D} 2 d\sigma$
$=\pi$

第二型曲面積分

和第二型曲線積分一樣打肝，第二型曲面積分沒(méi)有幾何意義，只是有物理意義挪捕，一般的第二型曲面積分為
$\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)dydz+P(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy$
第二型曲面積分的計(jì)算方法可以將其當(dāng)作第一型曲面積分來(lái)進(jìn)行處理粗梭，即
$\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)dydz+P(x,y,z)dxdz+R(x,y)dxdy$
$=\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)dydz+\iint_{\Sigma}P(x,y,z)dxdz+\iint_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy$
$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy=\pm\iint_{D_{xy}}P(x,y,z(y,z))dxdy$
其中 $D_{xy}$ 為 $\Sigma$ 在 $xOy$ 平面上的投影，當(dāng) $\Sigma$ 的法向量與z軸的夾角為銳角時(shí)担神，積分取正楼吃，否則取負(fù)。
和第二型曲線積分一樣，第二型曲面積分在積分區(qū)域是封閉曲面孩锡，并且處處可偏導(dǎo)的情況下可以使用高斯公式直接轉(zhuǎn)換成三重積分：
$\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)dydz+P(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy$
$=\iiint_{\Omega}(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$

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