? ? ? 解析幾何，又叫坐標(biāo)幾何买喧，或笛卡爾幾何捻悯，是運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數(shù)問題的一門數(shù)學(xué)淤毛。通常今缚，使用二維或三維的直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系低淡，以及曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系姓言。
? ? ? 1637年，笛卡爾在其著作《方法論》的三篇附錄之一“幾何學(xué)”中提出了解析幾何的基本方法蔗蹋。這種方法對(duì)幾何學(xué)來(lái)說是革命性的何荚。首先，使用代數(shù)技巧來(lái)解決幾何問題猪杭，這意味著數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái)了餐塘，代數(shù)方法與幾何方法第一次真正結(jié)合了。其次皂吮，數(shù)學(xué)家們有了一種選擇戒傻，可以將幾何學(xué)視為代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支了。而這個(gè)革命性的新進(jìn)路據(jù)說是由一只蒼蠅引發(fā)的靈感蜂筹，這則軼事在齊斯·德福林的《數(shù)學(xué)的語(yǔ)言》一書中有記載需纳。
? ? ? 眾所周知，笛卡爾身體虛弱艺挪，容易生病不翩，非常喜歡躺在床上。1619那個(gè)寒冷的冬季，對(duì)數(shù)學(xué)興趣正濃的笛卡爾慌盯，躺在床上翻來(lái)覆去地思考問題時(shí)，一只在天花板上爬行的蒼蠅引起了他的注意掂器。注視著這只蒼蠅爬來(lái)爬去亚皂，笛卡爾領(lǐng)悟到它在任一時(shí)刻的位置，都可以用它那一時(shí)刻與兩面垂直墻面的距離來(lái)確定国瓮。就這樣笛卡爾找到了用代數(shù)方程描述蒼蠅的爬行路徑的方法灭必，同時(shí)也找到了一種表現(xiàn)直線和曲線的新方法。這種代數(shù)方法乃摹，雖然完全不同于古希臘人所提出的幾何論證禁漓，但卻不會(huì)將幾何研究變成代數(shù)課題，也就是說結(jié)果依然是幾何孵睬，只不過是利用代數(shù)技巧來(lái)研究形狀的模式而已播歼。
? ? ? ?我們知道，科學(xué)主要是通過替代來(lái)發(fā)展掰读，而數(shù)學(xué)主要通過沉淀而成長(zhǎng)秘狞，但解析幾何的建立雖然也是站在巨人的肩膀上，不過這些巨人距離笛卡爾的時(shí)代有些遠(yuǎn)蹈集，正如博耶教授所說：“乃是由一次試圖回歸過去的努力所激發(fā)的烁试。”要記得拢肆，《幾何學(xué)》只是笛卡爾的《方法論》中的一篇附錄减响。而笛卡爾最重要的影響，除了建立了解析幾何郭怪，就是對(duì)方法論的反思了支示。
? ? ? 在17世紀(jì)那個(gè)新舊知識(shí)交替的時(shí)代，為了在一片混亂中求得確定性移盆，笛卡爾開啟了“普遍懷疑”的模式悼院，并把目光轉(zhuǎn)向了他所擅長(zhǎng)的數(shù)學(xué)。笛卡爾想要建立一種普遍數(shù)學(xué)咒循，把代數(shù)据途、幾何、算術(shù)統(tǒng)一起來(lái)叙甸。正是在這種“追本溯源”的“普遍”模式下颖医，笛卡爾注意到了帕普斯的三線或四線軌跡問題。所謂的“三線或四線軌跡問題”也就是說裆蒸，給定一個(gè)平面上的三條直線（或四條直線）熔萧，求出點(diǎn)P的軌跡，它與其中一條直線的距離跟它與另外兩條直線的距離之積成比例（或者，在四條直線的情況下佛致，它與其中兩條直線的距離之積跟它與另外兩條直線的距離之積成比例）贮缕。其實(shí)，三線或四線軌跡不僅充當(dāng)了發(fā)明解析幾何的起跑點(diǎn)俺榆，而且感昼，從歐幾里得到牛頓，它都在數(shù)學(xué)中扮演了一個(gè)重要的角色罐脊。
? ? ? 雖然笛卡爾建立了解析幾何定嗓，但解析幾何的迅速發(fā)展卻主要是通過荷蘭的數(shù)學(xué)家——弗蘭斯·范·斯霍滕（1615-1660）——及其他的弟子才得以發(fā)生的。笛卡爾的《幾何學(xué)》最初是用法文萍桌，而不是當(dāng)時(shí)學(xué)者的通用語(yǔ)言拉丁文寫成的宵溅，雖然一切有學(xué)問的人都可以通讀，但是要知道上炎，笛卡爾是天才恃逻，他無(wú)法體會(huì)別人在理解他那些新且深?yuàn)W的思想上所遇到的困難，尤其是他的闡述并不清晰藕施。當(dāng)斯霍滕在1649年出版拉丁文版的《幾何學(xué)》辛块，并加入了一些補(bǔ)充材料，這些障礙才被克服铅碍。另外润绵，斯霍滕的兩卷本的《笛卡爾的幾何學(xué)》在1659-1661年出版，內(nèi)容上有了極大的擴(kuò)充胞谈，其中收錄了著名的荷蘭省三級(jí)議會(huì)大議長(zhǎng)讓·德·維特（1629-1672）在1658年撰寫的《曲線原理》尘盼。這是一部對(duì)解析幾何貢獻(xiàn)非常廣泛的作品》成“作品的目的是要通過坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)卿捎，把所有以x和 y 為未知數(shù)的二次方程簡(jiǎn)化為公認(rèn)的形式。他知道如何根據(jù)所謂的判別式究竟是負(fù)數(shù)径密、是零午阵，還是正數(shù)，來(lái)識(shí)別這樣一個(gè)方程所描繪的曲線是何時(shí)是一個(gè)橢圓享扔、拋物線底桂、雙曲線【迕撸”（《代數(shù)史》 P403）
? ? ? 其實(shí)籽懦，笛卡爾闡述不清晰的不僅是解析幾何，還有“身心二元論”氛魁。正如蘇炳森老師所說暮顺，這是笛卡爾給我們帶來(lái)的“第二個(gè)災(zāi)難”厅篓。蘇老師說“雖然笛卡爾給人的感覺是上帝中心論，認(rèn)為上帝是一切知識(shí)的保障捶码，但他方法的開端是“我思”羽氮，也就是說從一開始人就是中心。盡管笛卡爾是天主教的背景惫恼，把上帝放在第一位乏苦，但他已經(jīng)開啟了人的優(yōu)先性，所以尤筐，其本質(zhì)上還是自然神學(xué)，得出的還是一種單純的洞就、不變的盆繁、抽象的、思維上的上帝旬蟋，與托馬斯·阿奎那差不多油昂。”所以倾贰，就像德國(guó)神學(xué)家潘能伯格所說冕碟，笛卡爾就成了“一種人類中心主義的、建立在“我思”之上的哲學(xué)的創(chuàng)始人匆浙“菜拢” （ 《神學(xué)與哲學(xué)》 P174）
? ? ? 另外，笛卡爾給人類帶來(lái)的第一個(gè)災(zāi)難就是他的數(shù)學(xué)性的方法論首尼。帕斯卡爾曾抨擊笛卡爾的數(shù)理邏輯挑庶，斥之為冷冰冰的，僅僅適合于“幾何人”软能。有趣的是帕斯卡爾也是一位數(shù)學(xué)天才迎捺，12歲時(shí)就表現(xiàn)出了非凡的幾何才能，16歲就發(fā)表了《略論圓錐曲線》查排，這本小冊(cè)子僅一頁(yè)凳枝，但卻是歷史上最富有成果的書頁(yè)之一。但是在他30歲時(shí)跋核，帕斯卡爾經(jīng)歷了一次宗教狂喜岖瑰，就放棄了科學(xué)和數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)向神學(xué)砂代，并寫出了《鄉(xiāng)巴佬書信》和《思想錄》锭环。
? ? ? 的確，邏輯是比較確定的個(gè)人性思考泊藕，數(shù)理邏輯就更強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)單和清晰辅辩，如果用于數(shù)學(xué)上是很好的难礼，比如四維及以上維度圖形的數(shù)學(xué)研究。就像《數(shù)學(xué)的語(yǔ)言》一書中所說玫锋，在心靈中從一個(gè)三維模型重建一個(gè)四維圖形是非常困難的蛾茉，要得到像超立方體等四維及以上物體的數(shù)據(jù)，你就不得不放棄可視化的企圖撩鹿，而最可靠的方法是使用坐標(biāo)代數(shù)谦炬。當(dāng)然這不只是一個(gè)智力游戲，它在現(xiàn)實(shí)世界有很好地應(yīng)用的节沦。像今日工業(yè)中廣泛使用的計(jì)算機(jī)程序键思，就是這種研究的直接結(jié)果。但是甫贯，一旦把這種數(shù)理邏輯推而廣之吼鳞，就危險(xiǎn)了，畢竟自然萬(wàn)物給我們的意象并不是簡(jiǎn)單的叫搁，清晰的赔桌，反而是豐富多彩的，里面更多的是一種審美的渴逻，詩(shī)性的韻律疾党。而笛卡爾的方法論恰恰就是要用這種數(shù)理邏輯取代古典的語(yǔ)文性的文法邏輯和修辭。由此惨奕，就像蘇老師所說雪位，教育的敗壞就開始了。在教育中梨撞，將一切簡(jiǎn)單清晰化茧泪，其實(shí)就是把一切美的東西剝掉了，而與之同被棄掉的還有上帝的榮耀和愛聋袋。久而久之队伟，我們所教出的學(xué)生就成了路易斯所說的“無(wú)胸之人”。
