網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析筆記||網(wǎng)絡(luò)圖的數(shù)學(xué)模型

前情回顧：
Gephi網(wǎng)絡(luò)圖極簡(jiǎn)教程
Network在單細(xì)胞轉(zhuǎn)錄組數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用
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網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析筆記|| 網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的描述性分析

在前面的章節(jié)中我們了解到網(wǎng)絡(luò)圖的構(gòu)建，可視化厅目，以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特征化描述番枚。從本章開(kāi)始，我們將進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)圖建模的主題璧瞬，在網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)分析中構(gòu)建與使用模型户辫。本章主要介紹幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，就像我們?cè)趯W(xué)統(tǒng)計(jì)建模的時(shí)候嗤锉，先要學(xué)習(xí)幾個(gè)常見(jiàn)的分布模型一樣。關(guān)于統(tǒng)計(jì)建模的一般性描述見(jiàn)環(huán)境與生態(tài)統(tǒng)計(jì)：R語(yǔ)言應(yīng)用墓塌。

所謂的網(wǎng)絡(luò)圖模型是指：
\{P_\theta(G),G \in \scr G : \theta \in \Theta \rbrace

其中\scr G是所有可能的圖的集合瘟忱，P_\theta是\scr G上的一個(gè)概率分布，\theta是參數(shù)構(gòu)成的向量苫幢，該向量的所有可能取值為\Theta访诱。

  • 經(jīng)典隨機(jī)圖模型
  • 伯努利隨機(jī)圖模型
  • 廣義隨機(jī)圖模型
  • 基于機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)圖模型
    • 小世界模型
    • 優(yōu)先連接模型
    • BA隨機(jī)圖(igraph::barabasi.game)
  • 評(píng)估網(wǎng)絡(luò)圖特征的顯著性
    • 評(píng)估網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)數(shù)量
    • 評(píng)估小世界性
經(jīng)典隨機(jī)圖模型

在隨機(jī)圖模型（Random graphs）中，我們模仿這樣的一個(gè)環(huán)境韩肝，假如一個(gè)團(tuán)體中有很多的個(gè)體触菜，之后兩個(gè)人隨機(jī)的認(rèn)識(shí)并且成為朋友，那么隨著時(shí)間的推移哀峻，這個(gè)團(tuán)體會(huì)變成什么樣子呢涡相？或者說(shuō)這個(gè)以人為節(jié)點(diǎn)哲泊，邊代表好友關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)會(huì)是什么樣子的呢？

  • 隨機(jī)圖模型是后續(xù)的基礎(chǔ)催蝗，也是重要的參考模型
  • 有助于我們通過(guò)比較更深入地認(rèn)識(shí)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)
  • 隨機(jī)圖模型能幫助我們理解隨機(jī)過(guò)程對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)能夠產(chǎn)生多大程度的影響切威。

正式地講，隨機(jī)圖模型通常是指一個(gè)給定了集合\scr G及其上的均勻概率分布P的模型丙号。其重要作用和完備性就像統(tǒng)計(jì)建模中的均勻分布一樣先朦。

比較常見(jiàn)的隨機(jī)網(wǎng)路模型是Erdos-Renyi model，可以通過(guò)sample_gnp來(lái)構(gòu)建犬缨。

library(sand)
set.seed(42)
?sample_gnp
g.er <- sample_gnp(100, 0.02)
layouts <- grep("^layout_", ls("package:igraph"), value=TRUE)[-1] 
# Remove layouts that do not apply to our graph.
layouts <- layouts[!grepl("bipartite|merge|norm|sugiyama|tree", layouts)]

length(layouts)
par(mfrow=c(3,5), mar=c(1,1,1,1))
for (layout in layouts) {
   print(layout)
   l <- do.call(layout, list(g.er)) 
   plot(g.er, edge.arrow.mode=0, layout=l, main=layout) }
# CHUNK 2
is_connected(g.er)
# ---
## [1] FALSE
# ---

查看圖中組件和團(tuán)的情況

table(sapply(decompose(g.er), vcount)) # 組件的普查

 1  2  3  4 71 
15  2  2  1  1 

table(sapply(cliques(g.er), length))  # 團(tuán)的普查

  1   2   3 
100  95   1  

par(mfrow=c(3,7), mar=c(1,1,1,1))
for(i in 1: length(decompose(g.er))){
   l <- do.call(layout_with_lgl, list(decompose(g.er)[[i]]) )
   plot(decompose(g.er)[[i]], edge.arrow.mode=0, layout=l, main=i)
   box(which = "figure", col = "blue", lwd = 1)
   
}
box(which = "outer", col = "red",  lwd = 10)

可以看到我們生成的隨機(jī)圖不是連通的喳魏，有一個(gè) 巨型組件。

經(jīng)典隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)包括：平均度與期望值比較接近怀薛，度分布均勻截酷，節(jié)點(diǎn)對(duì)之間最短路徑上的節(jié)點(diǎn)相對(duì)較少等。

# CHUNK 4
mean(degree(g.er))
# ---
## [1] 1.9
# ---

# CHUNK 5
hist(degree(g.er), col="lightblue",
   xlab="Degree", ylab="Frequency", main="")

# CHUNK 6
mean_distance(g.er)
# ---
## [1] 5.276511
# ---
diameter(g.er)
# ---
## [1] 14
# ---

# CHUNK 7
transitivity(g.er)
# ---
## [1] 0.01639344
# ---
廣義隨機(jī)圖模型

廣義隨機(jī)圖模型是經(jīng)典隨機(jī)圖模型的一般化乾戏，具體地：

  • 定義圖集合\scr G,包含階數(shù)為N_v迂苛，且具有給定特征的所有圖；
  • 為每個(gè)圖G\in \scr G分配相同的概率鼓择。

在Erdos-Renyi模型之外三幻，最常選擇的特征是固定度序列。假設(shè)對(duì)于節(jié)點(diǎn)數(shù)為8呐能，一半節(jié)點(diǎn)的度為2念搬，另4個(gè)節(jié)點(diǎn)的度為3，從滿足條件的圖集合中均勻抽取兩個(gè)摆出。

degs <- c(2,2,2,2,3,3,3,3)
#?sample_degseq
g1 <- sample_degseq(degs, method="vl")
g2 <- sample_degseq(degs, method="vl")
par(mfrow=c(1,2), mar=c(1,1,1,1))
plot(g1, vertex.label=NA)
plot(g2, vertex.label=NA)

isomorphic(g1, g2)
# ---
## [1] FALSE
# ---

c(ecount(g1), ecount(g2))
# ---
## [1] 10 10
# ---

可見(jiàn)兩個(gè)圖并非同構(gòu)朗徊。

我們可以從構(gòu)建一個(gè)與已知圖序列相同的圖：

data(yeast)
degs <- degree(yeast)
fake.yeast <- sample_degseq(degs, method=c("vl"))
all(degree(yeast) == degree(fake.yeast))
[1] TRUE

plot(yeast,vertex.label=NA)
plot(fake.yeast,vertex.label=NA)

diameter(yeast)
# ---
## [1] 15
# ---
diameter(fake.yeast)
# ---
## [1] 8
# ---

# CHUNK 13
transitivity(yeast)
# ---
## [1] 0.4686178
# ---
transitivity(fake.yeast)
# ---
## [1] 0.04026804
# ---

模擬圖直徑減少一半，之前的聚類(lèi)也減少了偎漫。

基于機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)圖模型

隨機(jī)圖模型為我們描述了在不受任何條件控制的條件下的圖爷恳，可理解為數(shù)學(xué)模型的背景模型，但是現(xiàn)實(shí)世界里的圖往往是由特定結(jié)構(gòu)的象踊∥虑祝基于機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)圖模型 把我們帶入了現(xiàn)實(shí)世界。其中最著名的需要所小世界模型了杯矩。

  • Small-World Model

小世界模型最經(jīng)典的特征是既具有規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的高聚集性栈虚，又具有類(lèi)似隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的小直徑。相較隨機(jī)圖模型史隆，小世界模型能夠更好地反映真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的情況魂务。就像我們?nèi)祟?lèi)社會(huì)一樣，人以群分，六度分隔粘姜。




例如在寫(xiě)本筆記的時(shí)候：

媒體經(jīng)常提到COVID-19呼吸道疾病的病例和死亡人數(shù)呈“指數(shù)”增長(zhǎng)鬓照，但這些數(shù)字暗示了其他東西，一個(gè)可能具有冪律屬性的“小世界”網(wǎng)絡(luò)相艇。這將大大不同于疾病的指數(shù)增長(zhǎng)路徑颖杏。

在介紹隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)時(shí)提到，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)無(wú)法解釋真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中存在的一些情況：局部集聚（較高的集聚系數(shù)）和三元閉合（朋友的朋友是朋友）坛芽。從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來(lái)看留储，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的一大差異便是過(guò)低的集聚系數(shù)，所以在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)時(shí)咙轩，需要要著重考慮的便是——如何在保留小網(wǎng)絡(luò)直徑這一特點(diǎn)的同時(shí)提高集聚系數(shù)获讳，使得構(gòu)建的模型能夠?qū)W(wǎng)絡(luò)局部結(jié)構(gòu)進(jìn)行更好的刻畫(huà)。

g.ws <- sample_smallworld(1, 25, 5, 0.05)
par(mfrow=c(3,5), mar=c(1,1,1,1))
for (layout in layouts) {
   print(layout)
   l <- do.call(layout, list(g.ws)) 
   plot(g.ws, edge.arrow.mode=0, layout=l, main=layout) }

dev.off()

小世界的性質(zhì)：

# CHUNK 15
g.lat100 <- sample_smallworld(1, 100, 5, 0)
transitivity(g.lat100)
# ---
## [1] 0.6666667
# ---

# CHUNK 16
diameter(g.lat100)
# ---
## [1] 10
# ---
mean_distance(g.lat100)
# ---
## [1] 5.454545
# ---

# CHUNK 17
g.ws100 <- sample_smallworld(1, 100, 5, 0.05)
diameter(g.ws100)
# ---
## [1] 5
# ---
mean_distance(g.ws100)
# ---
## [1] 2.748687
# ---
transitivity(g.ws100)
# ---
## [1] 0.5166263
# ---

steps <- seq(-4, -0.5, 0.1)
len <- length(steps)
cl <- numeric(len)
apl <- numeric(len)
ntrials <- 100
function(x) {
  for (i in (1:len)) {
   cltemp <- numeric(ntrials)
   apltemp <- numeric(ntrials)
   for (j in (1:ntrials)) {
     g <- sample_smallworld(1, 1000, 10, 10^steps[i])
     cltemp[j] <- transitivity(g)
     apltemp[j] <- mean_distance(g)
   }
   cl[i] <- mean(cltemp)
   apl[i] <- mean(apltemp)
 }
}
cl <- c(0.710063379997766, 0.709978692214238, 0.709907143256545, 0.709724130686251,
0.709438119171845, 0.709084388626035, 0.708846266062516, 0.70839051192321,
0.707759691875033, 0.707113107172047, 0.706190905933217, 0.705111695935303,
0.703784841816035, 0.702347962546443, 0.699998029666335, 0.696966876979092,
0.693486200400489, 0.689434391992611, 0.683909800354255, 0.676998368887877,
0.669280399418907, 0.657931797843006, 0.645296561052957, 0.628819148376097,
0.609573848258676, 0.585356133848734, 0.55633728515175, 0.521088308467222,
0.480754321558662, 0.433680652553029, 0.378558209487185, 0.318761294080951,
0.25616767320489, 0.193136725458156, 0.134572797222469, 0.0849655822333312)
apl <- c(19.2309712512513, 18.1696153953954, 17.7627795195195, 16.6679303103103,
14.5979843643644, 12.8854347747748, 12.1038251251251, 11.2341607007007,
9.82806862862863, 9.11716512512512, 8.24078900900901, 7.61965115115115,
7.0006803003003, 6.52964078078078, 6.03792086086086, 5.60314024024024,
5.26338822822823, 4.98922616616617, 4.70584088088088, 4.45406394394394,
4.26384696696697, 4.05971747747748, 3.89097137137137, 3.72829705705706,
3.58416728728729, 3.45041687687688, 3.33307095095095, 3.22760666666667,
3.12912454454454, 3.0362582982983, 2.94736488488488, 2.87122124124124,
2.80854338338338, 2.75799567567568, 2.71760948948949, 2.68516954954955)

# CHUNK 19
plot(steps, cl/max(cl), ylim=c(0, 1), lwd=3, type="l",
   col="blue", xlab=expression(log[10](p)),
   ylab="Clustering and Average Path Length")
lines(steps, apl/max(apl), lwd=3, col="red")
  • 優(yōu)先連接模型

優(yōu)先連接”（preferential attachment）指的是進(jìn)入一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的新節(jié)點(diǎn)傾向于與節(jié)點(diǎn)度高的節(jié)點(diǎn)相連接活喊。反過(guò)來(lái)說(shuō)丐膝，一個(gè)節(jié)點(diǎn)如果已經(jīng)接受了很多連接，那么它就越容易被新來(lái)的節(jié)點(diǎn)所連接钾菊。

優(yōu)先連接現(xiàn)象最早是在1925年帅矗，由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家George Udny Yule研究的。后來(lái)科學(xué)計(jì)量之父Derek J. de Solla Price在1976年也研究了這一現(xiàn)象煞烫，并把它叫做積累優(yōu)勢(shì)（cumulative advantage）浑此。不過(guò)，描述優(yōu)先連接最著名的模型是Albert-Laszlo Barabasi和Reka Albert提出的滞详，所以也被叫做Barabási–Albert模型或BA模型凛俱。它的基本形式非常簡(jiǎn)明：一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)i連接到網(wǎng)絡(luò)里某個(gè)已有節(jié)點(diǎn)j的概率，就是節(jié)點(diǎn)j的度占全部已有節(jié)點(diǎn)的度之和的比重料饥。

BA模型的節(jié)點(diǎn)度符合冪律分布蒲犬，生成的是一個(gè)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（scale-free network）。
網(wǎng)絡(luò)無(wú)標(biāo)度性的形成有兩個(gè)基本的要素：一是網(wǎng)絡(luò)生長(zhǎng)岸啡，也就是新的節(jié)點(diǎn)加入網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程原叮；二是網(wǎng)絡(luò)生長(zhǎng)過(guò)程當(dāng)中的優(yōu)先連接。

set.seed(42)
?sample_pa
g.ba <- sample_pa(100, directed=FALSE)

# CHUNK 21
par(mfrow=c(3,5), mar=c(1,1,1,1))
for (layout in layouts) {
   print(layout)
   l <- do.call(layout, list(g.ba)) 
   plot(g.ws, edge.arrow.mode=0, layout=l, main=layout) }



hist(degree(g.ba), col="lightblue",
   xlab="Degree", ylab="Frequency", main="")

ba網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)

# CHUNK 23
summary(degree(g.ba))
# ---
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    1.00    1.00    1.00    1.98    2.00    9.00
# ---

# CHUNK 24
mean_distance(g.ba)
# ---
## [1] 5.815556
# ---
diameter(g.ba)
# ---
## [1] 12
# ---

# CHUNK 25
transitivity(g.ba)
# ---
## [1] 0
# ---
評(píng)估網(wǎng)絡(luò)圖特征的顯著性

如開(kāi)頭所言凰狞，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)作為網(wǎng)絡(luò)的背景篇裁，它經(jīng)常用來(lái)評(píng)估網(wǎng)絡(luò)特征的顯著性：即，待觀測(cè)的網(wǎng)絡(luò)與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)有多大程度的不一樣赡若？

假設(shè)我們有一個(gè)來(lái)自某種觀測(cè)的圖，此處稱(chēng)為G^{obs}团甲，而我們對(duì)某些結(jié)構(gòu)特征感興趣逾冬，不妨稱(chēng)為\eta(·)。在很多情況下，自然會(huì)考慮\eta(G^{obs})是否是顯著的身腻，即在某種意義上是不尋常的和超預(yù)期的产还。這一過(guò)程很像我們的統(tǒng)計(jì)推斷過(guò)程統(tǒng)計(jì)推斷概述。

  • 評(píng)估網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)數(shù)量

生成參考分布

  • 與待觀測(cè)圖相同規(guī)模和階數(shù)的圖
  • 與待觀測(cè)圖有相同的度分布

# CHUNK 26
data(karate)
nv <- vcount(karate)
ne <- ecount(karate)
degs <- degree(karate)

# CHUNK 27
ntrials <- 1000 # 模擬1000次

# 經(jīng)典隨機(jī)圖
num.comm.rg <- numeric(ntrials)
for(i in (1:ntrials)){
   g.rg <- sample_gnm(nv, ne)
   c.rg <- cluster_fast_greedy(g.rg)
   num.comm.rg[i] <- length(c.rg)
}

# 廣義隨機(jī)圖
num.comm.grg <- numeric(ntrials)
for(i in (1:ntrials)){
   g.grg <- sample_degseq(degs, method="vl")
   c.grg <- cluster_fast_greedy(g.grg)
   num.comm.grg[i] <- length(c.grg)
}

rslts <- c(num.comm.rg,num.comm.grg)
indx <- c(rep(0, ntrials), rep(1, ntrials))
counts <- table(indx, rslts)/ntrials
barplot(counts, beside=TRUE, col=c("blue", "red"),
   xlab="Number of Communities",
   ylab="Relative Frequency",
   legend=c("Fixed Size", "Fixed Degree Sequence"))

而真實(shí)的我們數(shù)據(jù)的社團(tuán)數(shù)是：

length(cluster_fast_greedy(karate))
[1] 3

可以說(shuō)是很顯著的了嘀趟。這時(shí)脐区，你要問(wèn)為什么？

  • 評(píng)估小世界性

評(píng)估小世界性的一種經(jīng)典方法是：針對(duì)待觀測(cè)網(wǎng)絡(luò)以及可能觀測(cè)到的/經(jīng)過(guò)適當(dāng)修飾的經(jīng)典隨機(jī)圖她按，比較兩者聚類(lèi)系數(shù)和平均（最短）路徑的長(zhǎng)度牛隅。如果出現(xiàn)小世界性：

  • 聚類(lèi)系數(shù)大于隨機(jī)圖
  • 平均路徑基本相同

評(píng)估有向圖的小世界性：

library(igraphdata)
data(macaque)
summary(macaque)
# ---
## IGRAPH f7130f3 DN-- 45 463 -- 
## + attr: Citation (g/c), Author (g/c), shape (v/c), 
##   name (v/c)
# ---

# CHUNK 32  有向圖聚類(lèi)系數(shù) 
clust_coef_dir <- function(graph) {
   A <- as.matrix(as_adjacency_matrix(graph))
   S <- A + t(A)
   deg <- degree(graph, mode=c("total"))
   num <- diag(S %*% S %*% S)
   denom <- diag(A %*% A)
   denom <- 2 * (deg * (deg - 1) - 2 * denom)
   cl <- mean(num/denom)
   return(cl)
}

# CHUNK 33 # 模擬評(píng)估 
ntrials <- 1000
nv <- vcount(macaque)
ne <- ecount(macaque)
cl.rg <- numeric(ntrials)
apl.rg <- numeric(ntrials)
for (i in (1:ntrials)) {
   g.rg <- sample_gnm(nv, ne, directed=TRUE)
   cl.rg[i] <- clust_coef_dir(g.rg)
   apl.rg[i] <- mean_distance(g.rg)
}

# CHUNK 34
summary(cl.rg)
# ---
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.
##  0.2159  0.2302  0.2340  0.2340  0.2377  0.2548
# ---

# CHUNK 35
summary(apl.rg)
# ---
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.
##   1.810   1.827   1.833   1.833   1.838   1.858
# ---

# CHUNK 36
clust_coef_dir(macaque)
# ---
## [1] 0.5501073
# ---
mean_distance(macaque)
# ---
## [1] 2.148485
# ---

0.5501073 > 0.2548 ; 2.148485 > 1.858 具有一定程度的小世界性質(zhì)。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/146499763
https://zhuanlan.zhihu.com/p/205012648
https://blog.csdn.net/limiyudianzi/article/details/81632139
http://economics.mit.edu/files/4623#:~:text=Generalized%20random%20graph%20models%20%28such%20as%20the%20con,combines%20high%20clustering%20with%20short%20path%20lengths%20is
https://ocw.mit.edu/courses/economics/14-15j-networks-spring-2018/lecture-and-recitation-notes/MIT14_15JS18_lec12.pdf
https://zhuanlan.zhihu.com/p/37121528
https://www.zdnet.com/article/graph-theory-suggests-covid-19-might-be-a-small-world-after-all/
https://www.sohu.com/a/402313767_169228

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