【機(jī)器學(xué)習(xí)】梯度下降算法

梯度下降算法

若單個誤差為： $e=\frac{1}{2}(y-\bar{y})^2$

則誤差和：
$\begin{aligned} E&=e^{(1)}+e^{(2)}+e^{(3)}+...+e^{(n)}\\ &=\sum_{i=1}^{n}e^{(i)}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 \end{aligned}$

代入 $\bar{y}^{(i)}=\mathrm{w}^T\mathrm{x}^{(i)}$ 愚战，得

$E(\mathrm{w})=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(\mathrm{y^{(i)}-\mathrm{w}^Tx^{(i)}})^2$
接下來的任務(wù)娇唯，就是要找到合適的 $\mathrm w$ 齐遵，使得函數(shù) $E(\mathrm{w})$ 能取到最小值。

這里要用到函數(shù) $E(\mathrm{w})$ 的梯度塔插。梯度是一個向量梗摇，它指向函數(shù)值上升最快的方向，而梯度的反方向想许，則指向函數(shù)值下降最快的方向伶授。
對于函數(shù)f(x)來說，我們要沿著梯度的反方向流纹，去修改x的值谎砾，直到走到函數(shù)的最小值附近。
對于函數(shù)f(x)捧颅，梯度下降算法的參數(shù)修改規(guī)則為
$\mathrm{x}_{new}=\mathrm{x}_{old}-\eta\nabla{f(x)}\quad\quad(1)$

其中， $\nabla{f(x)}$ 為函數(shù)f(x)的梯度较雕， $\eta$ 為學(xué)習(xí)速率碉哑。

對于函數(shù) $E(\mathrm{w})$ ，對應(yīng)的梯度下降算法的參數(shù)修改規(guī)則為
$\mathrm{w}_{new}=\mathrm{w}_{old}-\eta\nabla{E(\mathrm{w})}$

接下來的問題亮蒋，就是求梯度 $\nabla{E(\mathrm{w})}$ 扣典。

求梯度 $\nabla{E(\mathrm{w})}$

函數(shù)的梯度的定義就是它相對于各個變量的偏導(dǎo)數(shù)，因此有

$\begin{aligned} \nabla{E(\mathrm{w})}&=\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}E(\mathrm{w})\\ &=\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 \\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 \\ \end{aligned}$

得到了
$\begin{aligned} \nabla{E(\mathrm{w})} &=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 \quad\quad(2)\\ \end{aligned}$
之后慎玖，接下來的任務(wù)就是求
$\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2$

即
$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 &= {\frac{\partial}{\partial\bar{y}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2} {\frac{\partial{\bar{y}}}{\partial\mathrm{w}}} \end{aligned}$

因為
$\begin{aligned} {\frac{\partial}{\partial\bar{y}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2} =&\frac{\partial}{\partial\bar{y}}(y^{(i)2}-2\bar{y}^{(i)}y^{(i)}+\bar{y}^{(i)2})\\ =&-2y^{(i)}+2\bar{y}^{(i)}\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} {\frac{\partial{\bar{y}}}{\partial\mathrm{w}}}= &\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\mathrm{w}^T\mathrm{x}=\mathrm{x} \end{aligned}$

所以
$\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2= {\frac{\partial}{\partial\bar{y}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2} {\frac{\partial{\bar{y}}}{\partial\mathrm{w}}} =2(-y^{(i)}+\bar{y}^{(i)})\mathrm{x}$

代入到 $(2)$ 贮尖，得
$\begin{aligned} \nabla{E(\mathrm{w})} &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2\\ &=-\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})\mathrm{x} \end{aligned}$

將 $\nabla{E(\mathrm{w})}=-\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})\mathrm{x}^{(i)}$
代入到

$\mathrm{w}_{new}=\mathrm{w}_{old}-\eta\nabla{E(\mathrm{w})}$

最終得到 $\mathrm{w}$ 的修改規(guī)則為
$\mathrm{w}_{new}=\mathrm{w}_{old}+\eta\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})\mathrm{x}^{(i)}$

參考資料：https://www.zybuluo.com/hanbingtao/note/448086

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