姓名：榮皓宇
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【嵌牛導(dǎo)讀】:許多人都學(xué)過(guò)傅里葉變換，how to use it揍诽？
【嵌牛鼻子】:傅里葉變換，物理意義
【嵌牛提問(wèn)】:現(xiàn)在都有哪些硬件用到了它呢
【嵌牛正文】:
1. 先看下面的兩幅動(dòng)畫(huà)，增加對(duì)傅立葉變換的印象
第一個(gè)動(dòng)畫(huà)和第二個(gè)動(dòng)畫(huà)其實(shí)都是對(duì)時(shí)域的周期矩形形波（近似看成矩形波徊哑，并不是嚴(yán)格意義的矩形方波）進(jìn)行傅里葉變換分析。
對(duì)于第一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)闪檬，它側(cè)重展示變換的本質(zhì)之一：疊加性惜索，每個(gè)圓代表一個(gè)諧波分量。
第二個(gè)圖形則側(cè)重展示離散的頻譜圖黔姜。
但是這兩個(gè)圖形其實(shí)都只是展示了周期信號(hào)的頻譜分析拢切，對(duì)應(yīng)的都是離散譜，而且都只是對(duì)一種很特殊的時(shí)域波形進(jìn)行的分析秆吵。不過(guò)通過(guò)這兩個(gè)動(dòng)畫(huà)淮椰，想必對(duì)傅立葉變化也有了更深刻的印象吧！
2纳寂、為什么要進(jìn)行傅立葉變換主穗，其物理意義是什么？
傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法毙芜。要知道傅立葉變換算法的意義忽媒，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)腋粥，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加晦雨。而根據(jù)該原理 創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻 率隘冲、振幅和相位闹瞧。
和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理展辞，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)奥邮。
因此，可以說(shuō)纵竖，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜）漠烧，可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工靡砌。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)已脓。
從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換通殃。它能將滿(mǎn)足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分度液。在不同的研究領(lǐng)域厕宗，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換堕担。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域已慢，盡管最初傅立葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征霹购。"任意"的函數(shù)通過(guò)一定的分解佑惠，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類(lèi)：
1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;
2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類(lèi)似;
3. 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段;
４. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱(chēng)為快速傅立葉變換算法(FFT))齐疙。
5. 離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取;
正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)膜楷、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)贞奋、信號(hào)處理赌厅、概率、統(tǒng)計(jì)轿塔、密碼學(xué)特愿、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用勾缭。
3揍障、圖像傅立葉變換的物理意義
圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度漫拭。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域亚兄，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域采驻，對(duì)應(yīng)的頻率值較高审胚。傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)礼旅，則其傅立葉變換就表示f的譜膳叨。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的痘系。從物理效果看菲嘴，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域汰翠。換句話說(shuō)龄坪，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)复唤。
傅立葉變換以前健田，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)佛纫，則圖像可由z=f(x,y)來(lái)表示妓局。由于空間是三維的总放，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示好爬，這樣我們可以通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系局雄。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖存炮，就是圖像梯度的分布圖炬搭，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在 不移頻的情況下也是沒(méi)有僵蛛。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)尚蝌，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小充尉，也即該點(diǎn)的頻率的大小（可以這么理解衣形，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)驼侠，高頻部分相反）。一般來(lái)講谆吴，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)倒源，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過(guò)觀察傅立葉變換后的頻譜圖句狼，也叫功率圖笋熬，我們首先就可以看出，圖像的能量分布腻菇，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多胳螟，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較谐锿隆）糖耸，反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多丘薛，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的嘉竟，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后洋侨，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心舍扰，對(duì)稱(chēng)分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外希坚，還有一個(gè)好處边苹，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾吏够，一副帶有正弦干擾勾给，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心滩报，對(duì)稱(chēng)分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的播急，這時(shí)可以很直觀的通過(guò)在該位置放置帶阻 濾波器消除干擾脓钾。
4. 另外再補(bǔ)充以下兩點(diǎn)：
1、圖像經(jīng)過(guò)二維傅立葉變換后桩警，其變換系數(shù)矩陣表明：
若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心可训，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角捶枢，那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上握截。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域烂叔。
2 谨胞、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮蒜鸡，平移之后中間部分是低頻胯努，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大（幅角比較大）
