標題取的很大劲厌，主要是為了將文章上升到科學的層次路呜，而不僅僅是某一項具體的應(yīng)用。
本文簡述卡方統(tǒng)計量的思想轻掩，及其在Caesar加密破解中的應(yīng)用幸乒。
Caesar 加密，將每個字母用其在字母表之后的某個位置的字母代替唇牧，比如用d代替a罕扎， e代替b，f代替c丐重，對于z腔召，用c代替。1 如果將a, b, c, ..., z 從0開始編號扮惦，這種替換的過程臀蛛，可以看成是字母的循環(huán)右移（或者左移）。在古典加密中崖蜜，這個位置參數(shù)是保密的掺栅，如果被第三方知道，密文也就隨之破解纳猪。
比如每個字母右移12位氧卧，將 "All models are wrong, but some are useful."通過Caesar加密，得到如下密文：
"Mxx yapqxe mdq idazs, ngf eayq mdq geqrgx."
加密后的文本不可讀氏堤，但若得到位置信息沙绝，即可將每個字母左移12位搏明，即可得到原文。如果不知道這個位置信息闪檬，就需要暴力窮舉星著，對于Caesar加密而言，只有25種情況（因為看到的密文已經(jīng)是一種）粗悯，這適合用計算來解決虚循。
再進一步論述之前，需要說說英語本身的一種特性样傍。在英語中横缔，每個字母出現(xiàn)的頻次是不一樣的，有的很高衫哥，有的很少出現(xiàn)茎刚，比如字母e經(jīng)常出現(xiàn)，而字母z則很少出現(xiàn)撤逢。理論上膛锭，可以得到每個字母的出現(xiàn)百分比。
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8.2 | 1.5 | 2.8 | 4.3 | 12.7 | 2.2 | 2 | 6.1 | 7 | 0.2 | 0.8 | 4 | 2.4 |
| n | o | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y | z |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6.7 | 7.5 | 1.9 | 0.1 | 6 | 6.3 | 9.1 | 2.8 | 1 | 2.4 | 0.2 | 2 | 0.1 |
對于Caesar加密蚊荣，雖然字母被映射成別的字母初狰，但是也將相應(yīng)字母的出現(xiàn)頻率映射給新的字母，比如出現(xiàn)幾率最高的e互例，如果被映射成h奢入，則在Caesar加密后，統(tǒng)計詞頻敲霍，可以發(fā)現(xiàn)h的出現(xiàn)幾率最高俊马。對于其他的字母，有類似的情況肩杈。這也為通過詞頻破解Caesar加密提供了思路柴我。
對于一段密文，左移（或者右移）扩然，然后統(tǒng)計其詞頻艘儒，并與標準的英語字母詞頻做比較。若移動的位數(shù)正好是Caesar加密所使用的位數(shù)夫偶，則每個字母的詞頻與標準英語字母的詞頻比較接近界睁，否則相差應(yīng)該較大。這種差異可以通過卡方統(tǒng)計量來刻畫兵拢，
對于26個字母翻斟，在標準英語下，每個字母具有比例$\pi_{1i}$说铃，其中$i = 1, 2, 3, .., 26$访惜；對于待解密的文本嘹履，某次移動后，每個字母的出現(xiàn)頻率為$\pi_{2i}$债热，其中$i = 1, 2, 3, ..., 26$砾嫉。
可以構(gòu)建極大似然統(tǒng)計量，當文本較多時窒篱，可以等價地構(gòu)建皮爾遜卡方統(tǒng)計量焕刮。[2][]
$$\chi^2 = n\sum_{i = 1} ^{26} \frac{ (\pi_{2i} - \pi_{1i})^2 } { \pi_{1i} }$$
其中$n$是帶解密文本中字母的個數(shù)。如果$\pi_{2i}$與$\pi_{1i}$一致墙杯，則該統(tǒng)計量較小配并，否則該統(tǒng)計量較大。也就是說卡方統(tǒng)計量的大小衡量移位后詞頻與標準詞頻之間的匹配程度霍转。對于Caesar加密荐绝，窮舉所有可能的移位一汽，計算其對應(yīng)的卡方統(tǒng)計量避消，其最小值對應(yīng)的文本，很有可能是正確解密的文本召夹。由于對于一段固定的密文岩喷，$n$是常數(shù)，故可在計算中忽略不計监憎。
$$\chi^2 = \sum_{i = 1} ^{26} \frac{ (\pi_{2i} - \pi_{1i})^2 } { \pi_{1i} }$$
[2]: John A. Rice, 數(shù)理統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析, page 263.
