1引言
定義
是一個(gè)線性變換徊哑，
是變換函數(shù)
，
為
維空間的一個(gè)向量质况。這個(gè)式子的本質(zhì)就是一個(gè)函數(shù)(線性變換)愕宋，把映射到另一個(gè)向量空間，比如
維的空間结榄。這就類似與高一時(shí)學(xué)習(xí)的函數(shù))
把映射到
中贝。之前學(xué)習(xí)的時(shí)候我一直分不清和的地位，不知道哪個(gè)是函數(shù)哪個(gè)是未知數(shù)臼朗。
這種變換有什么意義呢邻寿？如果對(duì)一個(gè)2維的向量進(jìn)行同緯度線性變換，這時(shí)注意矩陣的緯度為)
它的直接效果是這樣的绣否。
可以看出來不同的標(biāo)準(zhǔn)矩陣有不同的對(duì)稱效果。于是我想到圖片的編輯不就是水平翻轉(zhuǎn)和垂直翻轉(zhuǎn)嗎挡毅？哇蒜撮，矩陣好厲害。
除了有相同緯度的變換之外慷嗜，還有不同緯度的變換淀弹。如讓從2維升到3維，從2維降到1維(如把點(diǎn)映射到坐標(biāo)軸)庆械。此外還有很多在歐式空間的變換薇溃，不過在很高緯度之后就很難想象了。不過這種變換非常有用缭乘。比如把1000維的one-hot編碼向量進(jìn)行線性變換這樣就可以把一些高維向量進(jìn)行降緯沐序，然后就可以進(jìn)行一些相似度(余弦相似度和歐式距離等)判斷了。這樣就是一個(gè)應(yīng)用問題，把不同的事物進(jìn)行抽象策幼，然后獲得高維表示邑时，通過線性變換進(jìn)行降緯獲得低緯表示，進(jìn)而進(jìn)行聚類等等特姐。
2 核心問題
說到這里還比較好想晶丘，但是我有另外一個(gè)問題，在沒有看書之前就有考慮唐含，但是從來沒有人告訴我它的意義或者本質(zhì)浅浮。
這個(gè)問題就是，這種線性變換是唯一的嗎捷枯？唯一嗎滚秩？另外一個(gè)問題，這種在函數(shù)下的變換淮捆，和
是一一對(duì)應(yīng)的嗎郁油？或者說，對(duì)于每個(gè)維空間的向量是否都只有一個(gè)維的向量通過線性變換%3Db)
生成攀痊。
剛好我在1.9節(jié)找到了這個(gè)問題“存在與唯一性問題”桐腌。
首先定義兩個(gè)概念，
若空間中的任一都至少有一個(gè)空間中的與之對(duì)應(yīng)蚕苇，我們稱之為滿射哩掺。
若空間中的任一都只有一個(gè)空間中的與之對(duì)應(yīng)，我們稱之為單射涩笤。
現(xiàn)在的問題變成是否有解問題嚼吞？和解是否唯一問題？
3 利用方程組求解
定理11 設(shè)
為線性變換蹬碧，則是一對(duì)一當(dāng)且僅當(dāng)方程
有平凡解舱禽。
簡證：因是線性的，%3D0)
恩沽，若是一對(duì)一的誊稚，方程%3D0)
至多有一個(gè)解。若不是一對(duì)一的罗心，則
中某個(gè)是至少
中兩個(gè)相異向量里伯，比如說
和
的像，即%3Db)
,%3Db)
,于是因是線性的渤闷。%3DT(u)-T(v)%3Db-b%3D0)
向量
不是零疾瓮，因
。因此方程有多于一個(gè)解(%3D0%2CT(u-v)%3D0)
)飒箭。
這個(gè)定理說明狼电，如果要想是單射蜒灰，只能是齊次方程組只有平凡解，而其次方程組僅有平凡解等價(jià)于矩陣沒有自由變量肩碟。
定理12 設(shè)為線性變換强窖，設(shè)為的標(biāo)準(zhǔn)矩陣，則
a.把映射到削祈，當(dāng)且僅當(dāng)的列生成
b.是一對(duì)一的翅溺，當(dāng)且僅當(dāng)的列線性無關(guān)。
簡證：
a.的列生成當(dāng)且僅當(dāng)方程
對(duì)每個(gè)都相容岩瘦，換句話說未巫，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)窿撬，方程至少有一個(gè)解启昧，這就是說，將映射到上劈伴。
b.由定理11的證明已知密末，單射等價(jià)于沒有自由變量。沒有自由變量等價(jià)于各列線性無關(guān)跛璧。
定理4設(shè)是
矩陣严里，則下列命題是等價(jià)的。
a.對(duì)于中的每個(gè)追城，方程有解刹碾。
b.中的每個(gè)都是的列的一個(gè)線性組合。
c.的各列生成座柱。
d.在每一行都有一個(gè)主元位置首量。
定理4說明了刀脏，非齊次方程的解與變換之間的關(guān)系。要想由生成，等價(jià)于對(duì)于每個(gè)宋下，非齊次方程有解，等價(jià)于生成矩陣的每一行都有一個(gè)主元位置该窗，等價(jià)于的各列生成它浅。
這里存在一個(gè)問題，是否能生成整個(gè)空間呢置蜀？比如說三維空間奈搜。任意一個(gè))
能否生成3維空間呢？答案是不能盯荤！
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=A" alt="A" mathimg="1">僅有2列馋吗，所以的各列不能生成
。如下圖廷雅，在低維升高維的時(shí)候耗美，不一定可以覆蓋整個(gè)高維空間京髓。這一點(diǎn)需要注意。
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