迄今為止符欠，這個系列都在討論嫡霞，如何給出"某個時段"的排名，比如"過去24小時最熱門的文章

但是希柿，很多場合需要的是"所有時段"的排名诊沪，比如"最受用戶好評的產(chǎn)品"。

這時曾撤，時間因素就不需要考慮了端姚。這個系列的最后兩篇，就研究不考慮時間因素的情況下挤悉，如何給出排名渐裸。

一種常見的錯誤算法是：

[得分 = 贊成票 - 反對票

假定有兩個項目，項目A是60張贊成票装悲，40張反對票昏鹃，項目B是550張贊成票，450張反對票诀诊。請問洞渤，誰應(yīng)該排在前面？按照上面的公式属瓣，B會排在前面载迄，因為它的得分（550 - 450 = 100）高于A（60 - 40 = 20）。但是實際上抡蛙，B的好評率只有55%（550 / 1000）护昧，而A為60%（60 / 100），所以正確的結(jié)果應(yīng)該是A排在前面粗截。

[Urban Dictionary就是這種錯誤算法的實例惋耙。

另一種常見的錯誤算法是

得分 = 贊成票 / 總票數(shù)

如果"總票數(shù)"很大，這種算法其實是對的。問題出在如果"總票數(shù)"很少绽榛，這時就會出錯遥金。假定A有2張贊成票、0張反對票蒜田，B有100張贊成票、1張反對票选泻。這種算法會使得A排在B前面冲粤。這顯然錯誤。

Amazon就是這種錯誤算法的實例页眯。

那么梯捕，正確的算法是什么呢？

我們先做如下設(shè)定：

（1）每個用戶的投票都是獨立事件窝撵。

（2）用戶只有兩個選擇傀顾，要么投贊成票，要么投反對票碌奉。

（3）如果投票總?cè)藬?shù)為n短曾，其中贊成票為k，那么贊成票的比例p就等于k/n赐劣。

如果你熟悉統(tǒng)計學(xué)嫉拐，可能已經(jīng)看出來了，這是一種統(tǒng)計分布魁兼，叫做"二項分布"（binomial distribution）婉徘。這很重要，下面馬上要用到咐汞。

我們的思路是盖呼，p越大，就代表這個項目的好評比例越高化撕，越應(yīng)該排在前面几晤。但是，p的可信性侯谁，取決于有多少人投票锌仅，如果樣本太小，p就不可信墙贱。好在我們已經(jīng)知道热芹，p是"二項分布"中某個事件的發(fā)生概率，因此我們可以計算出p的置信區(qū)間惨撇。所謂"置信區(qū)間"伊脓，就是說，以某個概率而言，p會落在的那個區(qū)間报腔。比如株搔，某個產(chǎn)品的好評率是80%，但是這個值不一定可信纯蛾。根據(jù)統(tǒng)計學(xué)纤房，我們只能說，有95%的把握可以斷定翻诉，好評率在75%到85%之間炮姨，即置信區(qū)間是[75%, 85%]。

這樣一來碰煌，排名算法就比較清晰了：

第一步舒岸，計算每個項目的"好評率"（即贊成票的比例）。

第二步芦圾，計算每個"好評率"的置信區(qū)間（以95%的概率）蛾派。

第三步，根據(jù)置信區(qū)間的下限值个少，進(jìn)行排名洪乍。這個值越大，排名就越高夜焦。

這樣做的原理是典尾，置信區(qū)間的寬窄與樣本的數(shù)量有關(guān)。比如糊探，A有8張贊成票钾埂，2張反對票；B有80張贊成票科平，20張反對票褥紫。這兩個項目的贊成票比例都是80%，但是B的置信區(qū)間（假定[75%, 85%]）會比A的置信區(qū)間（假定[70%, 90%]）窄得多瞪慧，因此B的置信區(qū)間的下限值（75%）會比A（70%）大髓考，所以B應(yīng)該排在A前面。

置信區(qū)間的實質(zhì)弃酌，就是進(jìn)行可信度的修正氨菇，彌補(bǔ)樣本量過小的影響。如果樣本多妓湘，就說明比較可信查蓉，不需要很大的修正，所以置信區(qū)間會比較窄榜贴，下限值會比較大豌研；如果樣本少，就說明不一定可信，必須進(jìn)行較大的修正鹃共，所以置信區(qū)間會比較寬鬼佣，下限值會比較小。

二項分布的置信區(qū)間有多種計算公式霜浴，最常見的是"正態(tài)區(qū)間"（Normal approximation interval）晶衷，教科書里幾乎都是這種方法。但是阴孟，它只適用于樣本較多的情況（np > 5 且 n(1 ? p) > 5）房铭，對于小樣本，它的準(zhǔn)確性很差温眉。

1927年，美國數(shù)學(xué)家 Edwin Bidwell Wilson提出了一個修正公式翁狐，被稱為"威爾遜區(qū)間"类溢，很好地解決了小樣本的準(zhǔn)確性問題。

[size=1.6em]在上面的公式中露懒，表示樣本的"贊成票比例"闯冷，n表示樣本的大小，表示對應(yīng)某個置信水平的z統(tǒng)計量懈词，這是一個常數(shù)蛇耀，可以通過查表或統(tǒng)計軟件包得到。一般情況下坎弯，在95%的置信水平下纺涤，z統(tǒng)計量的值為1.96。

威爾遜置信區(qū)間的均值為

它的下限值為

可以看到抠忘，當(dāng)n的值足夠大時撩炊，這個下限值會趨向。如果n非常衅槁觥（投票人很少）拧咳，這個下限值會大大小于。實際上囚灼，起到了降低"贊成票比例"的作用骆膝，使得該項目的得分變小、排名下降灶体。

Reddit的評論排名阅签，目前就使用這個算法。