微分中值定理真有那么難嗎扛禽？
從我研究的歷年真題中不難看出懂牧，考研數(shù)學(xué)考試大綱（數(shù)學(xué)一侈净、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三）近五年沒有任何變化僧凤，這說明考研命題的規(guī)律依然延續(xù)往年的原則畜侦，不會出現(xiàn)偏題、怪題躯保、超綱題目旋膳，仍然以考察基本概念、基本理論和基本方法為主途事，所以按照海文老師給出的學(xué)習(xí)計(jì)劃按部就班地放心復(fù)習(xí)验懊，努力就一定會有更大的收獲擅羞，更好的成績。
與中值相關(guān)的證明題是歷年考研試題中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)义图，得分率不高减俏，考生對具體定理的條件結(jié)論能看明白碱工，但是做題的時候娃承，不知道如何使用怕篷。其主要原因是不能把具體的知識點(diǎn)和考題結(jié)合起來，不會歸納其中的忱任剑考題型梳猪，這里我們?nèi)f學(xué)教育海文考研的數(shù)學(xué)老師將要重點(diǎn)介紹與中值相關(guān)的證明題的處理手法，以期起到舉一反三的作用蹂析。根據(jù)我們的統(tǒng)計(jì)分析碟婆，微分中值定理的三大定理中，羅爾定理竖共、拉格朗日定理考查頻繁蝙叛，而柯西中值定理考查相對較少，一般數(shù)學(xué)一公给、數(shù)學(xué)二更容易考查借帘。首先，我們對比分析一下它們的條件肺然、結(jié)論與可命題角度腿准。
先來看羅爾定理，羅爾定理的條件是閉區(qū)間上連續(xù)吐葱，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，端點(diǎn)值相等弟跑，結(jié)論是至少存在一點(diǎn)，使得孟辑，即導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)蔫敲，從結(jié)論上就可以看出來羅爾定理可以用來證明導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)烧给。羅爾定理有三個可命題角度：1. 證明：或者，2.證明：础嫡，3.導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的討論。
再來看第二個重要的定理-拉格朗日中值定理伯诬，它的條件是閉區(qū)間上連續(xù)巫财，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)盗似，結(jié)論是至少存在一點(diǎn)平项，使得。下拉格朗日中值定理也有三個可命題角度接癌，1.含有端點(diǎn)值中值等式的證明扣讼， 2.不等式的證明（出現(xiàn)函數(shù)值之差）缺猛，3.討論函數(shù)有界性。
最后咱們簡單地看一下柯西中值定理椭符，條件是閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)有咨，,結(jié)論是至少存在一點(diǎn)，使座享∽葑埃柯西中值定理主要是用來證明含有中值的等式。它與羅爾以及拉格朗日中值定理有一個很好區(qū)分的特征——包含兩個函數(shù)橡娄。
現(xiàn)在給大家講了三個中值定理的條件、結(jié)論以及可命題的角度滤祖，那么考生們在做題過程中會遇到什么樣的困難呢？主要有三點(diǎn)匠童，第一點(diǎn)：定理的選擇。要證明一個含有中值的等式汤求，到底是用羅爾定理？拉格朗日中值定理竖独？還是柯西挤牛？第二點(diǎn)：輔助函數(shù)的構(gòu)造。我們在證明含有中值的等式時墓赴，往往需要構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是一個難點(diǎn)坦辟。第三點(diǎn)：條件的驗(yàn)證。比如說要用羅爾定理證明導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)长窄，此時要保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩點(diǎn)的函數(shù)值相同纲菌，這兩點(diǎn)不一定是端點(diǎn)疮绷，如何找到這兩點(diǎn)比較困難。
首先冬骚，定理的選擇有賴于對定理的深入了解，我們前面的陳述已經(jīng)是初露端倪庇麦。根據(jù)條件喜德、結(jié)論的不同以及問題的難易程度，我們推薦如下次序：對于結(jié)論中不含端點(diǎn)信息的題目舍悯，我們考慮羅爾定理睡雇，對于結(jié)論中含有端點(diǎn)信息的題目饮醇，我們首先考慮用拉格朗日中值定理，先構(gòu)造一個輔助函數(shù)試驗(yàn)一下朴艰，如果得不到所需結(jié)果，再考慮用柯西中值定理（如果條件中明顯出現(xiàn)兩個不同函數(shù)蜘腌，或者某個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)非0饵隙，則首選柯西中值定理）。對于較少考到的“雙中值問題”（結(jié)論中出現(xiàn)兩個中值）金矛，一般考慮用兩次拉格朗日中值定理或者柯西中值定理。
其次驶俊，輔助函數(shù)的構(gòu)造有如下常用手段。1. 觀察聯(lián)想法榕酒。我們可以通過觀察所要證明等式的形式,看它是否與我們常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式相似或相同故俐，當(dāng)兩者相似或相同時,我們可以立即聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)公式左端括號內(nèi)的函數(shù)就是我們所要構(gòu)造的輔助函數(shù)；當(dāng)不相似的時候药版，我們考慮加個因子，變成相似何缓。加的因子多為指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).這是幾個常見的形式：
2.原函數(shù)法还栓。當(dāng)出現(xiàn)與等有關(guān)的等式時碌廓，我們把結(jié)論中的換成后，經(jīng)過適當(dāng)恒等變形（通分谷婆、十字交叉相乘、移項(xiàng)等）使等式右端為0,通常等式左端即為所要構(gòu)造的函數(shù)導(dǎo)函數(shù)波材。在很多情況下，我們對等式左端進(jìn)行積分就可以得到輔助函數(shù)唯灵，我們再驗(yàn)證輔助函數(shù)是否滿足微分中值定理的條件隙轻，這就是原函數(shù)法，也稱積分構(gòu)造法.玖绿。
3. K值法。當(dāng)我們要證明含有或且含有端點(diǎn)的等式時呐籽，常可以把含有的式子設(shè)為狡蝶，通過恒等變形（通分贮勃、交叉相乘、移項(xiàng)等）使得等式的右端為零寂嘉，把等式中右端點(diǎn)換成，等式左端的式子即為輔助函數(shù)硼端，這就是k值法棵譬。
早我看來预伺，只要大家把握微分中值定理的條件订咸、結(jié)論與吵昃鳎考題型，多做有代表性的相關(guān)習(xí)題父叙，時常回顧總結(jié)趾唱，一定能突破考研數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)。
