受了新冠病毒地襲擊逆害，直到今天人類(lèi)還沒(méi)有走出陰霾拌禾×让＃抗疫前線的醫(yī)學(xué)專(zhuān)家們?nèi)找岳^夜地工作，同時(shí)進(jìn)行著多種藥物的臨床試驗(yàn)色乾。那么怎么判斷哪一種藥物效果更好呢？這就要說(shuō)到一百年前問(wèn)世的方差分析领突。
1暖璧、引言：
羅森斯得農(nóng)業(yè)實(shí)驗(yàn)站很重要的一個(gè)工作就是，搞清楚施用不同的混合肥料攘须，馬鈴薯的產(chǎn)是否會(huì)不同漆撞。費(fèi)希爾的做法是在農(nóng)田中種上馬鈴薯，同部分施用不同的混合肥料( 下面是一個(gè)示意圖, 在同一塊農(nóng)田的不同排施用不同的肥料,然后插上牌子進(jìn)行區(qū)分) :
然后在收獲后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣于宙，看不同實(shí)驗(yàn)組的產(chǎn)量是否不同浮驳。
2、兩個(gè)問(wèn)題
費(fèi)希爾也知道捞魁，馬鈴薯不是什么工業(yè)產(chǎn)品至会，本身產(chǎn)量就會(huì)有波動(dòng)，肯定不能說(shuō)某個(gè)實(shí)驗(yàn)組產(chǎn)多了20%就說(shuō)該組施用的混合肥料有效果谱俭，至鈔需要考慮以下兩個(gè)問(wèn)題:
(1) 概率：馬鈴薯的產(chǎn)量X本身具有隨機(jī)性奉件，比如說(shuō)服從某正態(tài)分布:
根據(jù)該分布宵蛀，產(chǎn)量在 -20 %~20 % 之間波動(dòng)可能性較大, 因此如果某實(shí)驗(yàn)組產(chǎn)量多了 20 % 并沒(méi)有把握說(shuō)混合肥料產(chǎn)生了效果（因?yàn)椴豢赡苤浪旭R鈉薯的產(chǎn)量, 所以無(wú)法真正算出 也就不可能真正知道該正態(tài)分布
：
產(chǎn)量在50%之上的波動(dòng)可能性較小,因此如果某實(shí)驗(yàn)組產(chǎn)多了50%， 那么說(shuō)明混合肥料可能真的產(chǎn)生了效果:
就此县貌，費(fèi)希爾設(shè)計(jì)了組間方差這個(gè)統(tǒng)計(jì)量,當(dāng)組間方差較大的時(shí)候,說(shuō)明發(fā)生了低概率事件,從而說(shuō)明混合肥料可能真的產(chǎn)生了效果术陶。
(2) 原因：馬鈉薯的產(chǎn)量 X 如果是隨機(jī)波動(dòng), 那么應(yīng)該是有增有減的。比如從某個(gè)實(shí)驗(yàn)組中采樣得到五株馬鈴薯煤痕，記錄每株的重量梧宫，得到五個(gè)點(diǎn)。算出該實(shí)驗(yàn)組的平均產(chǎn)量 相對(duì)于
增加了 20%摆碉，并且五個(gè)點(diǎn)相對(duì)于
有增有減, 分散在
的四周, 這就說(shuō)明重量變化是由于隨機(jī)波動(dòng)造成的：
如果某個(gè)實(shí)驗(yàn)組平均產(chǎn)量 相對(duì)于
還是只增加了20%, 但組內(nèi)所有的馬鈉薯植株上的產(chǎn)量都是增加塘匣，緊密的圍繞在
的附近，那么說(shuō)明混合肥料可能真的產(chǎn)生了效果巷帝，造成組內(nèi)所有馬鈴薯的重量都增加了：
就此忌卤，費(fèi)希爾設(shè)計(jì)了組內(nèi)方差這個(gè)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)組內(nèi)方差較小的時(shí),說(shuō)明該試驗(yàn)組的普遍增產(chǎn)(或減產(chǎn))楞泼，也說(shuō)明混合肥料可能真的產(chǎn)生了效果(組間方差驰徊、組內(nèi)方差這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量接下來(lái)會(huì)進(jìn)一步介紹)。
3现拒、假設(shè)檢驗(yàn)
綜合上面兩個(gè)問(wèn)題辣垒，費(fèi)希爾設(shè)計(jì)了一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)：
- 假設(shè)：混合肥料沒(méi)有效果, 也就是各個(gè)實(shí)驗(yàn)組的產(chǎn)量的均值相同
- 檢驗(yàn)：設(shè)計(jì)了
這個(gè)統(tǒng)計(jì)量, 當(dāng)實(shí)驗(yàn)組得到的數(shù)據(jù)使得該統(tǒng)計(jì)量足夠大時(shí), 那么 就可以推翻上述假設(shè), 得到混合肥料有效果的結(jié)論
從抽樣到計(jì)算完成該假設(shè)檢驗(yàn), 就稱(chēng)為方差分析。
4印蔬、實(shí)戰(zhàn)
下面用具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行下實(shí)戰(zhàn)講解勋桶。假設(shè)有A、B侥猬、C三組馬鈴薯,每組施用不同的肥料例驹。在每組中各選五株，記錄每株產(chǎn)出的馬鈴薯的重量退唠，所表格如下(下面的重也是為了本文講解設(shè)計(jì)的鹃锈，不用較真)
根據(jù)上面表格，畫(huà)出來(lái)的圖像是這樣的：
可以看出：
- 發(fā)生了低概率事件, 即
組的樣本均值
遠(yuǎn)離
- 原因很可能是由于混合肥料導(dǎo)致瞧预，因?yàn)?
所以是很有把握認(rèn)為這三組產(chǎn)量不同垢油，并且是由于混合肥料導(dǎo)致的盆驹。當(dāng)然上面是定性分析，下面看看如何定量分析滩愁。
4.1 組間方差
首先需要知道發(fā)生了低概率事件, 即是否有某組 (在本例中是 組) 的樣本均值遠(yuǎn)離
躯喇。因?yàn)?
是沒(méi)有辦法真正知道的, 實(shí)際計(jì)算時(shí)只能用所有樣本的均值
來(lái)代替 (本例中就是15株馬鈉薯的均值)，然后計(jì)算各個(gè)實(shí)驗(yàn)組的樣本均值與
的距離硝枉，累加起來(lái)就得到了組間方差:
組間方差
忽略其中的常數(shù)(這些常數(shù)設(shè)置是一些數(shù)學(xué)原因, 不影響本文的整體思路,感興趣的可以看下教材和證明)廉丽，可以看出倦微，組間方差較大時(shí)說(shuō)明發(fā)生了低概率事件。
4.2 組內(nèi)方差
將各個(gè)實(shí)驗(yàn)組的方差加起來(lái)就得到了組內(nèi)方差(其中也多了些常數(shù),暫時(shí)可以不用管) :
組內(nèi)方差
其中 是各組內(nèi)的某株馬鈉薯的重量。組內(nèi)方差越小蔑匣，說(shuō)明各個(gè)實(shí)驗(yàn)組變換越一致, 越有可能是由混合肥料導(dǎo)致的劣欢。
4.3 統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造
費(fèi)希爾接著構(gòu)造了 這么一個(gè)統(tǒng)計(jì)量, 它綜合了 “概率" 和 "原因" 這兩個(gè)角度棕诵。為了說(shuō)明這點(diǎn), 我們又對(duì)之前的
裁良、
、
三組進(jìn)行了多次實(shí)驗(yàn), 得到不同的組間方差校套、組內(nèi)方差：
解讀下:
第一行价脾，組間方差大,說(shuō)明可能發(fā)生了低概率事件;組內(nèi)方差小，說(shuō)明組內(nèi)變化可能一致笛匙。本文的例子算出來(lái)就是該行侨把。那么有充分的理由相信，這三組中其中某組(也可能是某兩組妹孙、某三組)的產(chǎn)量有所不同,且這種不同很可能是由于混合肥料造成的
第二行,組間方差一般大秋柄，組內(nèi)方差也是一般大,沒(méi)有充分的理由相信這三組是不同的，保守一點(diǎn)蠢正，我們判斷這三組是相同的
第三行骇笔，組間方差足夠小，說(shuō)明可能沒(méi)有發(fā)生低概率事件;組內(nèi)方差足夠大嚣崭，說(shuō)明可能組內(nèi)的變化不一樣笨触。那么還是保守地判斷這三組是相同的
可見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量越大，那么三組不同的可能性越大雹舀。那具體要大到什么程度芦劣，才有把握說(shuō)三組是不同的呢？這就需要F分布進(jìn)行最后的檢驗(yàn)（F就是Fisher的首字母说榆，所以你也可以稱(chēng)之為費(fèi)希爾分布）虚吟。
5、F分布
可以證明签财，滿足某些條件的情況下（比如總體和樣本都是正態(tài)分布）串慰，統(tǒng)計(jì)量是服從F分布的：
此時(shí)，當(dāng)的值足夠大荠卷，大到落入F分布的右邊區(qū)域（也稱(chēng)為拒絕域）時(shí)模庐，就有把握說(shuō)三組是不同的：
至此就完成了假設(shè)檢驗(yàn)，也就是完成了方差分析：
- 假設(shè)：混合肥料沒(méi)有效果油宜，也就是各個(gè)實(shí)驗(yàn)組的樣本均值相同
- 檢驗(yàn)：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量
6疼燥、t 檢驗(yàn)
之前介紹過(guò)t檢驗(yàn)沧卢，它和方差分析的區(qū)別在于, t檢驗(yàn)是判斷兩組數(shù)據(jù)是否不同，而方差分析可以判斷三組或者更多組數(shù)據(jù)是否存在不同醉者。
從本文介紹可知但狭，差分析只是知道了這三組是否有差異,具體是到是哪組有差異,還需要?jiǎng)e的統(tǒng)計(jì)方法。比如對(duì)這三組兩兩進(jìn)行t檢驗(yàn)撬即。
轉(zhuǎn)載：https://www.zhihu.com/question/61319844/answer/1206367601
