1.5 量子力學(xué)中的概率 Probability in quantum mechanics

1. 量子力學(xué)中的可能性

  • 量子力學(xué)用\Psi(x)來表示波函數(shù)钮热,|\Psi(x)|^2來表示Particle 在x位置出現(xiàn)的概率悠夯。
  • 但是試驗(yàn)中觀察的現(xiàn)象和數(shù)學(xué)預(yù)測并不相同:
    • 預(yù)測粒子的位置應(yīng)該以平滑的概率出現(xiàn)
    • 但試驗(yàn)中觀察粒子會(huì)發(fā)現(xiàn)其出現(xiàn)在某一點(diǎn)
  • 解釋(interpretation)
    • 經(jīng)典理論認(rèn)為\require{cancel}\cancel{粒子一直在該位置} #但實(shí)驗(yàn)理論證實(shí)它是錯(cuò)誤的瘤运,因?yàn)橄乱淮螠y量粒子就在另外一點(diǎn)了置吓。
    • 波函數(shù)坍縮(猜想)
    • 多重宇宙(變成玄學(xué))
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2. 概率分布和性質(zhì)

2.1 離散函數(shù) discrete

  • 離散:0,0,1,1,1,2,2,3,4,5
    • 期望
      \begin{align} \mu & = \sum_i {x_i\cdot p(x=x_i)} \\ & = 0*\frac{2}{10}+1*...+5*\frac{1} {10} \\ & = 1.9 \\ \end{align}

2.2 連續(xù)函數(shù) continue

  • Continuous:p(x)=e^{-x}\ ,x>0
    \begin{align} \mu & = \int_{0}^{\infty} x p(x) dx \\ & = \int_0^{\infty} x e^{-x} dx \\ & \rightarrow \int udv = udv + \int vdu \\ & = \left. -xe^{-x} \right|_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-x} dx \\ & = 0 + 0 = 1\\ \end{align}

3. 期望的性質(zhì)

  • 離散
    \langle f \rangle = \sum_i f(x_i)P(x=x_i)
  • 連續(xù)
    \langle f \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)p(x)dx
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