拋物線和圓：2017年理數(shù)全國卷C題20

2017年理數(shù)全國卷C題20

20.（12分）

已知拋物線 $C:y^2=2x,$ 過點(diǎn) $(2,0)$ 的直線 $l$ 交 $C$ 于 $A华烟，B$ 兩點(diǎn)，圓 $M$ 是以線段 $AB$ 為直徑的圓.

（1）證明∶坐標(biāo)原點(diǎn) $O$ 在圓 $M$ 上;

（2）設(shè)圓 $M$ 過點(diǎn) $P(4,-2)$ 坊秸，求直線 $l$ 與圓 $M$ 的方程.

【分析】

圓與直角三角形苛白、等腰三角形有著很密切的聯(lián)系换可。

本題中跨算，將待證結(jié)論作為條件：坐標(biāo)原點(diǎn) $O$ 在圓 $M$ 上右钾，結(jié)合另一已知條件：圓 $M$ 是以線段 $AB$ 為直徑的圓，可以得出結(jié)論：

$OA \perp OB \Rightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$

反之抹凳，如果能證明兩向量的內(nèi)積為 $0$ 遏餐，也可以推導(dǎo)出兩直線垂直伦腐，從而得出結(jié)論：坐標(biāo)原點(diǎn) $O$ 在圓 $M$ 上.

【解答第1問】

拋物線 $y^2=2x$ 以 $x$ 軸為對稱軸赢底，假如直線 $l$ 傾角為0，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不需要考慮幸冻。

所以粹庞，直線 $l$ 的方程可表示為： $l:x=ty+2$

將此直線方程代入拋物線方程可得： $y^2-2ty-4=0$

$A,B$ 兩點(diǎn)是直線與拋物線的公共點(diǎn)，根據(jù)以上方程可以求出這兩點(diǎn)坐標(biāo)的和與積：

$y_A+y_B=2t, \qquad y_A \cdot y_B = -4$

$\therefore x_A \cdot x_B = t^2 \cdot y_A \cdot y_B + 2t(y_A+y_B) + 4 = 4$

$\therefore \quad x_A \cdot x_B + y_A \cdot y_B = 0$

$\therefore \quad \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$
$\therefore \quad OA \perp OB$

又因?yàn)閳A $M$ 是以線段 $AB$ 為直徑的圓洽损，所以庞溜，坐標(biāo)原點(diǎn) $O$ 在圓 $M$ 上.

【微操說明】

過點(diǎn) $(0,2)$ 且不垂直于 $x$ 軸的直線方程可表示為： $y=kx+2$

過點(diǎn) $(2,0)$ 且不垂直于 $y$ 軸的直線方程可表示為： $x=ty+2$

以上兩種寫法是對等的。

在本題中碑定，直線 $l$ 的方程也可以這樣寫： $y=k(x-2)$ . 但這樣寫存在兩個(gè)問題：一是計(jì)算過程略顯復(fù)雜流码；二是該方程不能表示直線傾角等于90° 的情況（斜率不存在），嚴(yán)格來說延刘，需要單獨(dú)討論漫试。直線方程用目前的寫法，不僅簡化了計(jì)算碘赖，而且使證明過程更嚴(yán)格驾荣。

在最近十年的高考題中，類似的例子還有一些普泡。需要引起注意播掷。

【解答第2問】

利用第1問的結(jié)論可知：圓心 $M$ 在線段 $PO$ 的垂直平分線上。根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)可得垂直平分線的方程：
$x^2+y^2 = (x-4)^2 + (y+2)^2$
$0= -8x +4y +20$
$y=2x-5$

另一方面撼班，點(diǎn) $A,B$ 都在拋物線上歧匈，可以用平方差法推導(dǎo)斜率與中點(diǎn)的關(guān)系：

$y_A^2 - y_B^2 = 2(x_A-x_B)$
$k_{AB}= \dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B} = \dfrac{2}{y_A+y_B} = \dfrac{1}{y_M}$

由于點(diǎn) $M$ 在垂直平分線上，可設(shè)其坐標(biāo)為： $M(m,2m-5)$

由于 $M,A,B,(2,0)$ 這四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上砰嘁，所以：

$k_{AB}=\dfrac{1}{2m-5}=\dfrac{2m-5}{m-2}$

$(2m-5)^2 - (m-2) = 0$
$4m^2-21m+27 = 0$
$(4m-9)(m-3) = 0$

$m_1=\dfrac{9}{4}, \quad m_2 = 3$

圓心坐標(biāo)為： $M_1(\dfrac{9}{4}, -\dfrac{1}{2}), \quad M_2(3,1)$ 眯亦；相應(yīng)的斜率為： $k_1=-2, \quad k_2=1$ ，相應(yīng)的半徑為： $R_1=\sqrt{\dfrac{85}{16}} \quad R_2=\sqrt{10}$

所以般码，滿足條件的解有兩組：

第1組： $m=\dfrac{9}{4}$ 妻率，直線方程為： $y=-2x+4$ ，圓的方程為： $(x-\dfrac{9}{4})^2+(y+\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{85}{16}$

第2組： $m=3$ 板祝，直線方程為： $y=-x-2$ 宫静，圓的方程為： $(x-3)^2+(y-1)^2=10$

【常用命題】

本題實(shí)際上涉及以下常用命題：

** $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn) $(2p,0)$ 的直線 $l$ 與拋物線 $C:y^2=2px$ 交于 $A券时，B$ 兩點(diǎn)孤里，則 $OA \perp OB$ . **

讀者可以自己完成以上命題的證明。

常用命題不同于定理橘洞，在教科書上捌袜，定理都以黑體字的形式出現(xiàn)；而常用命題則經(jīng)常出現(xiàn)以命題或者習(xí)題中炸枣。

【提煉與提高】

本題難度中等虏等。涉及到了解析幾何中一些常見的方法和問題：

用平方差法推算弦的斜率公式弄唧；
用韋達(dá)定理論證兩向量垂直，進(jìn)而得出結(jié)論：原點(diǎn)在圓上霍衫。
垂直平分線的方程候引，可以根據(jù)線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)迅速地寫出。

垂直平分線方程的這種寫法敦跌，在教科書的例題中出現(xiàn)過澄干。再次提醒大家：切勿盲目刷題。 高考題并非空中樓閣柠傍。在刷題的過程中麸俘，聯(lián)系教材，及時(shí)總結(jié)惧笛，才能達(dá)到事半功倍的效果疾掰。

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