一蠕搜、轉(zhuǎn)載自如何直觀形象立莉、生動(dòng)有趣地給文科學(xué)生介紹傅里葉變換？

從數(shù)學(xué)的角度卿吐，提供一個(gè)形象有趣的解釋把夸。理解傅里葉變換的鑰匙是理解基♂而线，它能讓你重新認(rèn)識(shí)世界。

1. 什么是基恋日？

假設(shè)一個(gè)科研所有四個(gè)所長(zhǎng)（一正三副）膀篮，四個(gè)所長(zhǎng)各司其職，把整個(gè)科研所的事物管理得井井有條岂膳。這四個(gè)所長(zhǎng)誓竿，少一個(gè)，單位的工作無(wú)法順利展開(kāi)谈截，多一個(gè)礙手礙腳事倍功半筷屡，他們四人一道就組成了科研所的一個(gè)"基"涧偷。 一個(gè)單位的基可能不是唯一的，四個(gè)人換換位置工作也能展開(kāi)速蕊，調(diào)走一個(gè)人再換一個(gè)人來(lái)頂替，單位亦可以正常運(yùn)轉(zhuǎn)娘赴，但是4這個(gè)數(shù)是不能變化的（數(shù)學(xué)語(yǔ)言：空間的維數(shù)固定不變）规哲。 總結(jié)：一組基，就是足夠能描述诽表、表達(dá)某類(lèi)事物的最少的一小撮元素們唉锌。

2. 基只有一種形式嗎？

我們把科研所的日常事務(wù)換成感情竿奏，把四個(gè)所長(zhǎng)換成語(yǔ)言字典重新來(lái)敘述袄简。 假設(shè)你愛(ài)上了一個(gè)人，需要向她表達(dá)感情泛啸。這時(shí)就需要一套表達(dá)感情的工具——語(yǔ)言绿语。如果使用漢語(yǔ)，你可以說(shuō)"我愛(ài)你"候址，如果使用英文吕粹，你可以說(shuō)"I love you"。漢語(yǔ)的所有詞匯構(gòu)成了一個(gè)集合岗仑，英語(yǔ)的所有詞匯也構(gòu)成了一個(gè)集合匹耕，它們都可以描述感情、感覺(jué)荠雕、事物和知識(shí)稳其，它們是兩套不同的描述系統(tǒng)，分別有自己的基炸卑〖染希總結(jié)：描述事物的基可以有很多套。

3. 如何構(gòu)造一組基盖文？

漢語(yǔ)的詞匯量很大损趋，有很多重復(fù)意義的詞，比如我愛(ài)你就可以重新表述為："俺愛(ài)你"椅寺，"我愛(ài)儂"浑槽，"我想和你困覺(jué)"等等。我們把漢語(yǔ)詞匯中所有同意的詞只保留一個(gè)（數(shù)學(xué)語(yǔ)言：使線性無(wú)關(guān)）返帕，留下來(lái)的詞匯量較少的詞典就是漢語(yǔ)的一個(gè)基桐玻，里面的每一個(gè)詞被稱作基函數(shù)。它的特點(diǎn)是：所有漢語(yǔ)能描述的思想都可以用從這個(gè)較小的詞匯本中挑出的一些詞匯（基函數(shù)）經(jīng)過(guò)精心安排（加權(quán)相加）來(lái)描述荆萤，并且只有一種描述方式（數(shù)學(xué)語(yǔ)言：若基固定镊靴，則對(duì)應(yīng)系數(shù)/坐標(biāo)確定）铣卡，因?yàn)槲覀円呀?jīng)去掉了所有冗余的、近似的詞匯偏竟，因此不存在一個(gè)事物在一個(gè)基下有兩種不同表示法存在煮落。總結(jié)：一套基中的元素很多踊谋，足夠描述事物蝉仇，只要從中挑出一些你需要的，按某種方式組合在一起即可殖蚕，一套基中的元素很少轿衔，以至于這種描述事物的方法是唯一的。

4. 不同基之間有什么聯(lián)系睦疫？

給定兩個(gè)不同的語(yǔ)言害驹，給出兩個(gè)不同語(yǔ)言的小字典（兩組基），我們都可以分別用唯一的方式表達(dá)同一思想（函數(shù)蛤育、點(diǎn)）宛官，這兩種表示法之間可以相互轉(zhuǎn)換（數(shù)學(xué)語(yǔ)言：坐標(biāo)變換）。"I love you"和"我愛(ài)你"可以相互轉(zhuǎn)化瓦糕≌蹋總結(jié)：給定一個(gè)基，我們就可以用這組基表達(dá)事物刻坊，也可以用它來(lái)翻譯用其他基描述的事物枷恕，不同基下的表示可以相互轉(zhuǎn)換。

5. 什么是傅里葉變換谭胚？

大家還記得三角函數(shù)sin和cos嗎徐块，就是那種波浪形狀的函數(shù)，一個(gè)波浪的的寬度可以是不同的灾而，既可以像跳大繩一樣寬胡控，也可以像電爐絲一樣窄（數(shù)學(xué)語(yǔ)言：頻率不同）。把這些三角函數(shù)放到一起組成一個(gè)字典旁趟，就恰好是連續(xù)函數(shù)的一組基：任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)昼激，都可以唯一表示成一群三角函數(shù)相疊加。然而每個(gè)三角函數(shù)的分量有輕有重锡搜，相加的時(shí)候有的要拉高點(diǎn)橙困，有的要壓低點(diǎn)，有的干脆不用（數(shù)學(xué)語(yǔ)言：加權(quán)系數(shù)不同）耕餐。到底是哪些三角函數(shù)呢凡傅，各個(gè)三角函數(shù)的分量如何呢？找到它們的過(guò)程肠缔，被稱為傅里葉變換夏跷。舉幾個(gè)例子：下面兩個(gè)圖哼转，左上角是某個(gè)函數(shù)（信號(hào)）的樣子，它等于1000個(gè)震蕩的三角函數(shù)相加槽华，中間一列從下往上是這1000個(gè)三角函數(shù)中第0壹蔓、1、2猫态、3個(gè)佣蓉，以及中間6、30懂鸵、160偏螺、800個(gè)相加的樣子行疏，注意好幾個(gè)三角函數(shù)加在一起就不再像是三角函數(shù)了匆光。右邊一列從下往上是把這些三角函數(shù)疊加在一起，1000個(gè)加在一起和原函數(shù)完全一樣酿联，但是前40個(gè)三角函數(shù)函數(shù)加在一起和原函數(shù)已經(jīng)很相似了终息。從這幾個(gè)例子可以看出，把一系列震蕩的三角函數(shù)按照傅里葉系數(shù)（權(quán)值）進(jìn)行縮放再加起來(lái)贞让，大概40個(gè)三角函數(shù)加到一起周崭，就和原來(lái)的函數(shù)長(zhǎng)得差不多了，無(wú)論原來(lái)的那個(gè)函數(shù)長(zhǎng)的有多么奇特喳张。因此我們說(shuō)：螞蟻也能撼大樹(shù)续镇，三角函數(shù)多了加到一起，多奇怪的連續(xù)函數(shù)我長(zhǎng)的都能和你是一個(gè)樣销部。

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總結(jié)：給你一個(gè)函數(shù)摸航，找到它的傅里葉變換，就是找到一堆系數(shù)舅桩，每一個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)不同頻率的三角函數(shù)酱虎，這些三角函數(shù)分別按各自的系數(shù)改變振幅(數(shù)學(xué)語(yǔ)言：確定坐標(biāo))，然后疊加在一起擂涛，恰好就與原來(lái)那個(gè)函數(shù)相等读串。因此，四個(gè)處長(zhǎng)是一組基撒妈，能維持一個(gè)單位的運(yùn)轉(zhuǎn)恢暖，處理各種問(wèn)題；一套簡(jiǎn)化的漢語(yǔ)詞典是一組基狰右，什么樣的情感它都能找到唯一的表達(dá)語(yǔ)句胀茵；一堆三角函數(shù)是一組基，什么樣的連續(xù)函數(shù)都可以用一大堆三角函數(shù)疊加獲得挟阻，找到這種表示的過(guò)程叫做傅里葉變換琼娘。

6. 傅里葉變換有什么用峭弟？

擺弄一系列三角函數(shù)，讓這個(gè)多點(diǎn)那個(gè)少點(diǎn)脱拼，有一個(gè)酷炫的名字瞒瘸，叫“頻域處理”， 你去了美國(guó)熄浓，不知道白宮怎么走情臭，你問(wèn)翻譯：白宮怎么走？翻譯跑到街上問(wèn)美國(guó)人：Where is the White House? 這叫傅里葉變換赌蔑。美國(guó)路人說(shuō)："go straight and turn right"俯在。這叫頻域處理。翻譯聽(tīng)完給你說(shuō)：直走娃惯，右拐就到了跷乐。這叫逆傅里葉變換≈呵常總結(jié)：傅里葉變換的作用愕提，就是把一個(gè)函數(shù)或者信號(hào)在三角函數(shù)基下轉(zhuǎn)化為一堆系數(shù)，擺弄這些系數(shù)皿哨、實(shí)現(xiàn)一定功能有時(shí)比直接擺弄原信號(hào)方便浅侨，最后再做個(gè)逆傅里葉變換，信號(hào)就得到了某種處理证膨。

7. 傅里葉變換與壓縮如输、簡(jiǎn)化表示

從第5小節(jié)我們知道了基變換的一個(gè)用處：壓縮信號(hào)。

原始信號(hào)需要用1000個(gè)點(diǎn)來(lái)表示央勒，但是其實(shí)只需要40個(gè)三角函數(shù)系數(shù)就可以表示出大概不见。大家天天都會(huì)遇到的JPG圖片就是干這個(gè)事的，一張800*600的彩色照片订歪，如果保存成非壓縮的BMP圖像格式脖祈，需要占據(jù)1.4M存儲(chǔ)空間，如果保存成JPG格式刷晋，大概50K就夠了盖高。

JPG能壓縮得這么厲害，訣竅就在于它用了一組特別的基（小波基）眼虱，使用特別少的基函數(shù)就可以把原始圖像表示得八九不離十喻奥，在這里頻域處理就是把絕大多數(shù)基函數(shù)前面的系數(shù)直接置0。為什么能這么干呢捏悬？因?yàn)樾〔ɑ泻軓?qiáng)的表達(dá)能力撞蚕，我們總能選取極少的幾個(gè)小波基函數(shù)就能拼出任意一個(gè)給定的圖像的大概，然后即使拋棄剩下那些大量邊角料过牙，也不太會(huì)對(duì)視覺(jué)效果造成什么影響甥厦。

說(shuō)到這里你肯定一頭霧水纺铭，咱們?cè)賮?lái)做個(gè)類(lèi)比來(lái)說(shuō)說(shuō)基的壓縮能力。想象這樣一個(gè)故事：女主角出生在孤兒院刀疙，和男主角相遇但是被拋棄舶赔，生下一個(gè)女兒，她后來(lái)做了個(gè)變性手術(shù)谦秧，穿越回到過(guò)去和還是女兒身的自己啪啪啪竟纳，帶著女兒再次穿越到自己被收養(yǎng)時(shí)的孤兒院把嬰兒拋棄在那。如果你缺乏語(yǔ)言能力疚鲤，比如你是一條狗锥累，你怎樣讓另一條狗理解孤兒院、男集歇、女桶略、啪啪啪、拋棄鬼悠、愛(ài)情這些真實(shí)世界中極度復(fù)雜的概念删性？你能做的最好的重述就是雇一男一女和一個(gè)時(shí)光機(jī)亏娜，把故事演一遍焕窝，對(duì)方還不一定能懂。語(yǔ)言能夠在短短的一段話里就描述出這一個(gè)復(fù)雜的故事维贺，因?yàn)樗鼟仐壛舜罅考?xì)節(jié)它掂，只保留最重要的信息：如果說(shuō)真實(shí)世界每一個(gè)對(duì)象（物體、故事溯泣、情感）是一個(gè)函數(shù)虐秋，那么語(yǔ)言就是一組新的基，在這組基下垃沦，每一個(gè)基函數(shù)（詞匯）都具有高強(qiáng)的描述能力客给，復(fù)雜的對(duì)象可以用聊聊幾筆進(jìn)行描述、壓縮肢簿、傳遞靶剑，讓人類(lèi)能夠高效地交流，快速地學(xué)習(xí)池充。

一個(gè)海岸有多少粒沙子桩引？多少滴海水？一幅800*600像素的圖像就能捕獲你在海邊嬉戲的靚影收夸，只用了48萬(wàn)個(gè)基函數(shù)坑匠，如果你用JPG格式存儲(chǔ)，調(diào)動(dòng)的基函數(shù)還會(huì)更少卧惜。普通非壓縮位圖數(shù)字圖像的基函數(shù)長(zhǎng)的都一樣：在一顆像素是白色(1)厘灼，在其他所有像素都是黑色(0)——一個(gè)基就是一根孤零零的矩形棍子夹纫，其對(duì)應(yīng)的系數(shù)就是對(duì)應(yīng)像素的顏色值，真彩色的系數(shù)有約1600萬(wàn)種设凹。

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傅里葉變換和這幅圖中的變換非常類(lèi)似捷凄，只不過(guò)基函數(shù)不是一顆像素，而是震蕩的三角函數(shù)围来。所有三角函數(shù)Asin(ax+b)也可以由一個(gè)三角函數(shù)sin(x)通過(guò)改變頻率a跺涤，相位b和振幅A來(lái)獲得，這種情況很有意思：一組基中所有的基函數(shù)都是由一個(gè)基函數(shù)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單地平移监透、拉伸或改變振幅獲得桶错。它的實(shí)質(zhì)是另一種意義上的壓縮：我們用一個(gè)基函數(shù)（數(shù)學(xué)語(yǔ)言：母函數(shù)）通過(guò)簡(jiǎn)單形變來(lái)生成其他基函數(shù)，再用它們一起表示更復(fù)雜的元素胀蛮。我們不需要拉來(lái)一頭牛一只羊來(lái)表示這里有一頭牛一只羊院刁，我們只需要用許多個(gè)基本元素，每一個(gè)都差不多粪狼，就能近似表示復(fù)雜的場(chǎng)景退腥。這一思想的一個(gè)有趣的應(yīng)用是游戲Minecraft，在這里基函數(shù)是一些等大立方體塊再榄，把它們拼在一起則組成了復(fù)雜世界的近似：

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這里這個(gè)圖和上面用40個(gè)三角函數(shù)近似一維信號(hào)狡刘、一堆像素近似二維物體是完全類(lèi)似的，這里是用立方體近似三維世界困鸥。同樣是對(duì)真實(shí)世界的近似描述嗅蔬，我們可以用一堆抽象詞匯、用像素疾就、用立方體塊澜术，也可以用三角函數(shù)形狀的“塊”，使用彼此近似但略微不同的基函數(shù)猬腰，我們就可以對(duì)無(wú)比復(fù)雜的真實(shí)世界的對(duì)象進(jìn)行壓縮鸟废、近似。三角函數(shù)基唯一的奇怪之處在于它是震蕩的姑荷，看著不萌盒延。壓縮的缺點(diǎn)是無(wú)法反向恢復(fù)，可以從一幅圖像變換到另一幅厢拭，但是不能從一幅圖像恢復(fù)真實(shí)世界兰英。但是沒(méi)人想捧著真實(shí)世界，人們需要的恰恰是對(duì)真實(shí)世界的高度凝練地表示供鸠。

8. 頻域處理能干啥畦贸？

如果你不懂英文，一個(gè)妙齡少女對(duì)你說(shuō)：Hi. I love you. Are you free tonight?你會(huì)回復(fù)她：姑娘你能不能不要說(shuō)鳥(niǎo)語(yǔ)？滾回美帝玩泥巴吧薄坏。如果你懂英語(yǔ)趋厉，就會(huì)發(fā)現(xiàn)姑娘說(shuō)的東西其實(shí)是有某種意義的，可以進(jìn)一步處理胶坠。在某些領(lǐng)域君账，傅里葉變換后的系數(shù)非常有用，我們前面已經(jīng)舉了傅里葉變換能夠壓縮數(shù)據(jù)的例子沈善，下面再舉幾個(gè)其他例子乡数。為了顯示方便，舉一個(gè)二維的例子闻牡，見(jiàn)下圖：

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原始圖像中含有噪聲净赴，因?yàn)樵肼曂羌?xì)小的雪花點(diǎn)，屬于圖像高頻分量罩润，因此我們把圖像首先做傅里葉變換玖翅，然后把變換后的三角函數(shù)前的系數(shù)中屬于高頻的部分全部去掉（置0），然后再做逆傅里葉變換割以，我們發(fā)現(xiàn)圖像中的細(xì)節(jié)（噪聲點(diǎn)）減少了金度。這就是頻率域去噪的基本原理。在音頻處理中严沥，不同人對(duì)于同一個(gè)音節(jié)發(fā)出的聲音猜极，其傅里葉變換后的系數(shù)是不同的，并且可能每個(gè)人的模式是穩(wěn)定的祝峻，就像指紋一樣魔吐，那么傅里葉變換后的系數(shù)就可以來(lái)識(shí)別扎筒、合成某個(gè)人的聲音莱找，把某個(gè)人的發(fā)音中的某些系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，就變成了另一個(gè)人發(fā)音嗜桌；所有人對(duì)于不同詞匯的發(fā)音的傅里葉變換系數(shù)也可能具有某些固定模式奥溺，利用這些模式可以發(fā)展聲音的理解技術(shù)，比如Siri」浅瑁現(xiàn)在政府監(jiān)督電話敏感詞浮定，再也不是找接線員一個(gè)個(gè)聽(tīng)了，而是用電腦自動(dòng)監(jiān)聽(tīng)层亿，如果發(fā)現(xiàn)某人的通訊中敏感詞頻率較高桦卒，再派專人處理。

9. 還有哪些基我們可能聽(tīng)過(guò)匿又，但是不曾認(rèn)識(shí)到方灾？

多項(xiàng)式基：多項(xiàng)式多了，啥稀奇古怪的函數(shù)都能表示，不信你試試泰勒展開(kāi)式有多好用就知道了裕偿。小波基：傅里葉基（三角函數(shù)）的改進(jìn)洞慎，可以進(jìn)行局部控制。

B-樣條基：多項(xiàng)式基的改進(jìn)嘿棘，可以進(jìn)行局部控制劲腿，畫(huà)家畫(huà)畫(huà)用的就是這東西。一幅800600的圖像鸟妙，我們既可以認(rèn)為它是一幅抽象的圖像焦人，也可以認(rèn)為它是一個(gè)由800600個(gè)基函數(shù)（一個(gè)基函數(shù)是某一顆像素值為1，其他所有像素值為0的圖像）進(jìn)行加權(quán)相加獲得的一個(gè)坐標(biāo)表示重父。

========================認(rèn)真的分割線==========================

感謝知友指出錯(cuò)誤：

1. 乓乒球指出“基的維數(shù)”這一說(shuō)法是錯(cuò)誤的垃瞧，正確的說(shuō)法是基張成（描述）的空間的維數(shù)。
2. cc hao指出JPG格式使用的是離散余弦變換坪郭，不是小波變換个从，JPG2000使用的才是小波變換。

二歪沃、轉(zhuǎn)載自傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06

1.時(shí)域和頻域
從我們出生嗦锐，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)沪曙、人的身高奕污、汽車(chē)的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析液走。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為碳默，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)缘眶。但如果我告訴你嘱根，用另一種方法來(lái)觀察世界的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的巷懈，你會(huì)不會(huì)覺(jué)得我瘋了该抒？我沒(méi)有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域顶燕。先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)凑保，但意義上再貼切不過(guò)的例子：

在你的理解中，一段音樂(lè)是什么呢涌攻？

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這是我們對(duì)音樂(lè)最普遍的理解欧引，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對(duì)于樂(lè)器小能手們來(lái)說(shuō)恳谎，音樂(lè)更直觀的理解是這樣的：

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2.正弦波
正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓院仿。

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3.正弦波的疊加

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在這幾幅圖中秸抚，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形歹垫。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量剥汤。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開(kāi)來(lái)，而每一個(gè)波的振幅都是不同的排惨。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了吭敢，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線暮芭，而是振幅為0的正弦波鹿驼！也就是說(shuō)，為了組成特殊的曲線辕宏，有些正弦波成分是不需要的畜晰。這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量匾效。

好了舷蟀，關(guān)鍵的地方來(lái)了！面哼！如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元扫步。對(duì)于我們最常見(jiàn)的有理數(shù)軸魔策，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。有了“1”河胎，還要有“0”才能構(gòu)成世界闯袒，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線政敢！所以在頻域其徙，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中喷户，它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀唾那。

介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波褪尝，在頻域里的另一個(gè)模樣了：

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其實(shí)是從另一個(gè)方向看過(guò)去的側(cè)面圖

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4.傅里葉分析究竟是干什么用的璃谨？
先說(shuō)一個(gè)最直接的用途沙庐。無(wú)論聽(tīng)廣播還是看電視，我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道佳吞。頻道頻道轨功，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來(lái)進(jìn)行信息傳輸容达。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫(huà)一個(gè)sin（x）古涧，不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行花盐。不是很難吧羡滑。好，接下去畫(huà)一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形算芯。別說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了柒昏，曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫(huà)的對(duì)吧？好熙揍，畫(huà)不出來(lái)不要緊职祷，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式届囚，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去有梆，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的意系。

但是在頻域呢泥耀？則簡(jiǎn)單的很，無(wú)非就是幾條豎線而已蛔添。所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作痰催，在頻域相反很容易兜辞。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分夸溶，這在工程上稱為濾波逸吵，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到缝裁。

再說(shuō)一個(gè)更重要扫皱，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度压语，看不懂的可以直接跳過(guò)這段）微分方程的重要性不用我過(guò)多介紹了啸罢。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情胎食。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除扰才，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统ú蘖髮W(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒(méi)有衩匣。

5.相位譜
通過(guò)時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜粥航，但是這個(gè)頻譜并沒(méi)有包含時(shí)域中全部的信息琅捏。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒(méi)有提到相位递雀”樱基礎(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅缀程，頻率搜吧，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置杨凑，所以對(duì)于頻域分析滤奈，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜撩满。那么這個(gè)相位譜在哪呢蜒程？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論伺帘，我們用7個(gè)波疊加的圖昭躺。

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在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期曼追，就得到了最下面的相位譜窍仰。所以，頻譜是從側(cè)面看礼殊，相位譜是從下面看驹吮。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對(duì)不起晶伦，我只是想看看你的相位譜碟狞。”

注意到婚陪，相位譜中的相位除了0族沃，就是Pi。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t）泌参，所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已脆淹。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了沽一。另外值得注意的是盖溺，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的铣缠，pi和3pi烘嘱，5pi，7pi都是相同的相位蝗蛙。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi蝇庭，pi]，所以圖中的相位差均為Pi捡硅。

最后來(lái)一張大集合：

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6.指數(shù)形式的傅里葉變換(這部分沒(méi)看懂……)

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