《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作芝此。又稱《原本》瓢对，它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)寿酌，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。在《幾何原本》中硕蛹，歐幾里得使用了公理化的方法醇疼。這一方法后來成了建立任何知識(shí)體系的典范硕并，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴(yán)密思維的范例秧荆。這本著作是歐幾里得幾何的基礎(chǔ)倔毙，在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍。
《幾何原本》的第I卷幾何基礎(chǔ)由23個(gè)定義乙濒，5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理以及由定義陕赃、公設(shè)、公理出發(fā)颁股，通過論證得出的48個(gè)命題組成么库。我們首先對(duì)23個(gè)定義進(jìn)行解讀和評(píng)論。
定義I.1
A point is that which has no part.
點(diǎn)：點(diǎn)不可以分割為部分甘有。
本定義給出了《幾何原本中》的第一個(gè)術(shù)語：點(diǎn)诉儒。不可以分割為部分表示點(diǎn)是沒有長度、寬度梧疲，并且不可分割的一個(gè)位置允睹。
接下來的幾個(gè)定義給出了更多的術(shù)語。一般情況下幌氮，后面的術(shù)語通過前面定義的術(shù)語來定義缭受。但《原本》中的前幾個(gè)術(shù)語不是通過其它術(shù)語來定義的，他們是原始術(shù)語该互。后面的公設(shè)和公理將為這些原始術(shù)語賦予更多的含義和屬性米者。例如第1個(gè)公設(shè)：任意兩點(diǎn)之間可以作一條直線在某種程度上給點(diǎn)賦予了更多的含義。
定義I.2
A line is breadthless length.
線：線只有長度沒有寬度宇智。
線是元素中的第二個(gè)原始術(shù)語蔓搞，只有長度沒有寬度表示一條線具有一個(gè)維度—長度，但不具有寬度随橘∥狗郑《原本》中并沒有給出術(shù)語長度和寬度的定義。在定義I.5中机蔗，用兩個(gè)維度—長度和寬度定義了面蒲祈；在定義XI.1中，用三個(gè)維度—長度萝嘁、寬度和深度定義了體梆掸。
需要注意的一點(diǎn)是，《原本》中的線并不一定是直線牙言，在后面酸钦，直線有專門的定義。此外咱枉，從下一個(gè)定義來看卑硫，顯然《原本》中的線可以有末端(以后稱為端點(diǎn))徒恋，此時(shí)它們是線段或者曲線段。但線不一定必須要有端點(diǎn)拔恰，比如圓就沒有端點(diǎn)因谎。事實(shí)上基括，線的長度不一定是有限的颜懊，但這種情況在《原本》中很少出現(xiàn)，通撤缑螅可以通過語境來判斷河爹。
定義I.3
The ends of a line are points.
線的末端是點(diǎn)。
這個(gè)定義說明的是某些線和點(diǎn)之間的關(guān)系桐款，即點(diǎn)可以是線的末端(以后稱為端點(diǎn))咸这。它并沒有說是什么樣的端點(diǎn)；也沒有說一條線有幾個(gè)端點(diǎn)魔眨。比如媳维，圓沒有端點(diǎn)；一條有限的線有兩個(gè)端點(diǎn)遏暴。
定義I.4
A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.
直線：直線是其組成點(diǎn)侄刽，均勻地直放著的線。
該定義說明直線是一種線朋凉，但從定義上很難解釋清楚什么是直線州丹，不同的人有不同的解釋。在定義I.7平面的定義中使用了類似的比較模糊的語言杂彭。后面的公設(shè)將給出直線更多的含義墓毒。
定義I.5
A surface is that which has length and breadth only.
面：面只有長度和寬度。
本定義表明面具有兩個(gè)維度亲怠，但在此前或此后卻沒有定義什么是長度和寬度所计。注意，面不一定是平面团秽，除了平面主胧，在《原本》中出現(xiàn)的面還有圓錐，圓柱和球的表面徙垫。
定義I.6
The edges of a surface are lines.
一個(gè)面的邊緣是線讥裤。
該定義描述了面和線的某種關(guān)系，比如半球面的邊是圓姻报。
定義I.7
A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.
平面：平面是組成的線己英，均勻地放著的面。
需要注意的一點(diǎn)是吴旋，平面可以是無限大的损肛，但又不一定是無限大的厢破。它可以是正方形，圓形或任何其他平面圖形（定義I.19）治拿。
定義I.8
A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.
平面角：平面角是在同一平面內(nèi)但不在同一直線上的兩條線相交所形成的傾斜度摩泪。
角對(duì)于整個(gè)希臘的幾何學(xué)來說都是非常重要的概念，許多命題即使是陳述也需要用到角劫谅。
從下一個(gè)直線角的定義可以看出见坑，角的邊不一定是直線，也可以是曲線捏检。角度的大小不取決于邊的長度荞驴，而僅取決于邊的相交方式。在《原本》中贯城，幾乎所有角都是直線角熊楼，但帶有曲邊的角在命題III.16中出現(xiàn)過。在該命題中能犯，出現(xiàn)了所謂的喇叭角鲫骗，即圖中的，它被描述為圓與直線切線之間的傾斜度踩晶。
小于任何直線角
执泰，即便
的曲邊超過
的邊。這是因?yàn)樵谠摻堑捻旤c(diǎn)
附近合瓢，
完全包含在
中坦胶。
定義I.9
And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilinear.
直線角：含有角的兩條線都是直線時(shí)，其角稱為直線角晴楔。
該定義是定義I.9的延續(xù)顿苇，《原本》中出現(xiàn)的幾乎所有的角都是直線角，
如圖所示税弃，是直線角纪岁。角通常由三個(gè)點(diǎn)命名，中間點(diǎn)角的頂點(diǎn)则果。當(dāng)沒有歧義時(shí)幔翰，以其頂點(diǎn)命名角就足夠了，在此示例中西壮，角
也可以簡稱為角
遗增。這種命名角的方式被沿用至今。
定義I.10
When a straight line standing on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands.
直角與垂線：一條直線與另一條直線相交所形成的兩鄰角相等款青，兩角皆稱為直角，稱這條直線為另一條直線的垂線。
如圖所示绘梦，和
相等尚粘，由定義，它們都是直角辑鲤，上面那條直線
垂直于直線
宁赤。后面的公設(shè)4指出佛猛，所有直角均相等。雖然《原本》沒有給出垂線存在性的說明，但命題I.11給出了垂線的構(gòu)造方法究飞。此外葵擎，可以證明
也垂直于
签餐。
定義I.11
An obtuse angle is an angle greater than a right angle.
鈍角：大于直角的角叫鈍角。
定義I.12
An acute angle is an angle less than a right angle.
銳角：小于直角的角叫銳角盯串。
圖中氯檐，是鈍角。它大于一個(gè)直角体捏，但小于兩個(gè)直角冠摄。注意，歐幾里得要求任何角度都必須小于兩個(gè)直角几缭。
是銳角河泳，它小于直角。
注意奏司，這里并沒有要求角是直線角乔询。實(shí)際上，前面提到的喇叭角不是直線角韵洋，但因?yàn)樾∮谥苯歉偷螅虼艘彩卿J角。
定義I.13
A boundary is that which is an extremity of anything.
邊界：邊界是物體的邊緣搪缨。
定義I.14
A figure is that which is contained by any boundary or boundaries.
圖形：圖形是一個(gè)邊界或幾個(gè)邊界所圍成的食拜。
定義I.13和I.14很模糊，因?yàn)?strong>邊緣（extremity）和包含于（contained by）并沒有被定義副编。
定義I.15
A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure equal one another.
圓：圓由一條線包圍著的平面圖形负甸，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上任何一個(gè)點(diǎn)所連成的線段都相等。
定義I.16
And the point is called the center of the circle.
圓心：定義16中的那個(gè)點(diǎn)叫做圓心。
定義I. 17
A diameter of the circle is any straight line drawn through the center and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.
直徑：直徑是穿過圓心呻待、端點(diǎn)在圓上的任意線段打月，該線段將圓二等分。
定義I.18
A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the center of the semicircle is the same as that of the circle.
半圓：是直徑與被它切割的圓弧圍成的圖形蚕捉。半圓的圓心與原圓心相同奏篙。
定義I.15—I.18描述了什么是圓。這些定義并不能保證定義的事物的存在性迫淹，圓的存在性源于后面的公設(shè)I.3秘通。需要注意的是，《原本》中的圓是一個(gè)二維圖形敛熬，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的圓通常指的是《原本》中的圓周肺稀。
定義中并沒有假設(shè)圓只有一個(gè)圓心。命題III.1給出了圓心的構(gòu)造应民，該命題的證明也說明了圓心是唯一的话原。包含圓的曲線是其圓周，《原本》中通常用圓周上的三個(gè)點(diǎn)來命名一個(gè)圓瑞妇。
《原本》中并沒有使用術(shù)語半徑稿静，而是使用了“that from a center”，但半徑是一個(gè)非常有用的術(shù)語辕狰，因此“that from a center”將被翻譯為半徑。
圖中控漠，線段是圓
的一條直徑蔓倍，顯然，直徑是半徑的兩倍盐捷，并且根據(jù)定義偶翅，半徑彼此相等，因此直徑也都彼此相等碉渡。
直徑將圓二等分不應(yīng)作為定義的一部分聚谁，而應(yīng)作為公設(shè)或作為命題并證明。直徑能否將圓二等分取決于圓是否在平面上滞诺，具有非恒定曲率的面上的“圓”并不具有該性質(zhì)形导，即“直徑”兩側(cè)的兩個(gè)“半圓”不一定相等。
定義I.19
Rectilinear figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines.
直線圖形：直線圖形是由線段首尾順次相接圍成的习霹。三邊形（即三角形）是由三條線段圍成的朵耕，四邊形是由四條線段圍成的，多邊形是由四條以上的線段圍成的淋叶。
定義I.20
Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal.
三角形中阎曹，三條邊相等的叫做等邊三角形，兩條邊相等的叫做等腰三角形，各邊都不相等的叫做不等邊三角形处嫌。
該定義按三角形的對(duì)稱性對(duì)其進(jìn)行分類栅贴，而定義I.21按其所包含的角的大小對(duì)三角形進(jìn)行分類。
如圖所示熏迹，不等邊三角形不具有對(duì)稱性筹误；等腰三角形
具有左右對(duì)稱性；等邊三角形
不僅具有三個(gè)左右對(duì)稱性癣缅，而且具有120°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性厨剪。
根據(jù)定義，等邊三角形不被當(dāng)做等腰三角形考慮友存。等腰三角形這個(gè)術(shù)語首先在命題I.5中使用祷膳，后來在第3卷和第4卷中使用。和現(xiàn)在一樣，等腰三角形在《原本》中并不排除等邊三角形的情況冲九。
命題I.1給出了等邊三角形的構(gòu)造方式泉粉，命題I.5和I.6證明了等腰三角形的另一個(gè)特征，即它們的底角相等勇皇。
定義I.21
Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acute-angled triangle that which has its three angles acute.
三角形中，有一個(gè)角為直角的叫做直角三角形焚刺；有一個(gè)鈍角的叫做鈍角三角形敛摘；三個(gè)角都為銳角的叫做銳角三角形。
上圖中乳愉，三角形是直角三角形兄淫，因?yàn)樗幸粋€(gè)角是直角，三角形
是鈍角三角形蔓姚，因?yàn)樗幸粋€(gè)鈍角捕虽；三角形
是銳角三角形，因?yàn)樗乃薪嵌际卿J角坡脐。
命題I.17指出泄私，三角形中任意兩個(gè)角度之和小于兩個(gè)直角，因此备闲，三角形不可能包含一個(gè)以上的直角晌端。此外，最多可以存在一個(gè)鈍角浅役，并且在三角形中不可能同時(shí)出現(xiàn)直角和鈍角斩松。
定義I.22
Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called trapezia.
四邊形中，四條邊相等并四個(gè)角為直角的叫做正方形觉既；四角為直角惧盹，但邊不完全相等的叫做長方形（也叫矩形）乳幸；四邊相等，角不是直角的叫做菱形钧椰；兩組對(duì)邊粹断、兩組對(duì)角分別相等的叫做斜方形（即平行四邊形）；其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形嫡霞。
上圖中瓶埋，是正方形；
是一個(gè)長方形或矩形诊沪；
是菱形养筒；
是梯形，
是一個(gè)平行四邊形端姚。該定義里的圖形在《原本》中唯一實(shí)際使用到的是正方形晕粪。
定義I.23
Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.
平行直線：在同一個(gè)平面內(nèi)向兩端無限延長不能相交的直線。
該定義僅給出了平行直線的含義渐裸，并沒有任何關(guān)于平行直線存在性的說明巫湘。命題I.31給出了過定點(diǎn)構(gòu)造給定直線的平行直線的方法。
參考文獻(xiàn)
- Euclid’s Elements, David E. Joyce.
- 《歐幾里得幾何原本》昏鹃，蘭紀(jì)正尚氛，朱恩寬譯。
微信搜索：mathknow 關(guān)注公眾號(hào)洞渤。
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