私鑰

私鑰就是一組隨機獲取的數(shù)字厕妖。

私鑰用來生成數(shù)字簽名答憔，在交易中用于證明對以太幣的所有權(quán)且改。私鑰必須嚴格保密，也必須妥善保存怜跑，私鑰丟失的話是無法找回的。

通過隨機數(shù)生成私鑰

私鑰的生成就是在1到2²⁵⁶之間選擇數(shù)字吠勘，更準確地說性芬，以太坊私鑰可以是任何比2²⁵⁶略微小一點的正整數(shù)，2²⁵⁶是一個77位的十進制數(shù)字剧防，接近于1.158×10⁷⁷植锉。私鑰的數(shù)字與2²⁵⁶的前38位相同，這被定義為以太坊橢圓曲線的階（詳見后面的橢圓密碼學(xué)的基本概念）峭拘。要生成私鑰俊庇，我們隨機取出一個256比特的數(shù)字，然后檢查它是否在有效范圍內(nèi)鸡挠。用編程術(shù)語來說辉饱，其實現(xiàn)方式是：將一個（從密碼學(xué)意義上安全的熵源中得出的）很大的隨機字符串放入256比特的哈希算法（詳見后面的密碼學(xué)的哈希算法）中，比如Keccak-256或者SHA256拣展，這兩種算法會便捷地產(chǎn)生一個256比特的數(shù)字彭沼。如果這個結(jié)果在有效范圍內(nèi)，我們就有了一個合適的私鑰备埃。否則姓惑，我們就要用另一個隨機數(shù)字再試一次褐奴。

privatekey = SHA256/Keccak-256("很大的隨機字符串")

以太坊私鑰數(shù)字區(qū)間大小為2²⁵⁶，這是一個大到無法言喻的數(shù)字挺益。這個數(shù)字在十進制中幾乎是10⁷⁷歉糜，當(dāng)你隨機地選擇了一個私鑰后，幾乎不可能會有另一個人猜到望众，或者選中同一個匪补。

需要注意的是，私鑰的生成是離線的烂翰，不會和網(wǎng)絡(luò)或者任何人交互夯缺。密碼學(xué)的隨機數(shù)生成使用熵源充足的隨機源做種子，可以保證兩次選擇的隨機數(shù)不重復(fù)甘耿，既不可能被別人猜到踊兜。

下面就是一個隨機生成的私鑰，以十六進制表示（“256個二進制位佳恬，顯示為64個十六進制數(shù)捏境，每個代表4比特）。

f8f8a2f43c8376ccb0871305060d7b27b0554d2cc72bccf41b2705608452f315

公鑰

每個以太坊公鑰都是橢圓曲線上的一個點毁葱，也就是說垫言，每個公鑰都是一組x、y坐標(biāo)倾剿，這個坐標(biāo)正好滿足橢圓曲線方程筷频。

公鑰是通過對私鑰使用橢圓曲線的乘法運算得來的，而這個乘法運算基本上是不可逆的：K=kG前痘，其中k是私鑰凛捏，G是一個常量點，稱為生成點芹缔，K是計算得來的公鑰坯癣，是橢圓曲線函數(shù)的乘法運算符號。這與普通乘法運算的規(guī)則是不同的乖菱，除了與普通乘法有相同的功能屬性坡锡，其他都不一樣。舉個例子窒所，反向運算（普通乘法的反向運算就是除法）鹉勒，也稱為獲取“離散對數(shù)”的計算，即在已知K的情況下求解k吵取，是非常困難的禽额，必須采用暴力窮舉的方式嘗試所有可能的k。
也就是說，橢圓曲線之上的算術(shù)運算跟常規(guī)的數(shù)學(xué)運算是不一樣的脯倒。一個點（G）可以與一個整數(shù)（k）相乘來獲得另外一個點（K）实辑。但是橢圓曲線的世界里沒有除法的概念。因此不可能簡單地通過計算公鑰K對G點的除法來計算私鑰藻丢。

橢圓曲線乘法是“單向”函數(shù)：它很容易從一個方向（乘法）進行計算剪撬，但是不可能采用反向（除法）的方式計算。

私鑰的持有者很容易算出公鑰悠反，然后把公鑰公開残黑，因為他確信沒有人可以通過這個公鑰反向推算出私鑰。這個神奇的數(shù)學(xué)算“法造就了不可篡改和安全的數(shù)字簽名斋否，用來證明以太幣的所有權(quán)梨水，以及對合約進行控制。

在演示如何從私鑰生成公鑰之前茵臭，我們來看看橢圓曲線的細節(jié)疫诽。

橢圓曲線密碼學(xué)的基本概念

橢圓曲線密碼學(xué)是基于離散對數(shù)問題的非對稱密碼學(xué)（也稱為公鑰密碼學(xué)），它是基于橢圓曲線上點位的加法和乘法的不可逆特性旦委。

圖2是一個橢圓曲線的例子奇徒，與以太坊協(xié)議使用的類似∮酰”

sec.png

圖2.橢圓曲線函數(shù)圖像示

以太坊使用跟比特幣系統(tǒng)相同的橢圓曲線算法逼龟，稱為secp256k1。

這樣以太坊就可以直接使用比特幣系統(tǒng)中的大量橢圓曲線函數(shù)庫和相關(guān)的開發(fā)工具追葡。

以太坊使用一條特定的橢圓曲線和一組數(shù)學(xué)常量，這是一個被稱為secp256k1的標(biāo)準奕短，由NIST設(shè)定宜肉。secp256k1曲線由下列函數(shù)定義，這些函數(shù)生成了橢圓曲線：

或

mod p（素數(shù)的模）表示曲線位于素數(shù)階p的有限域中翎碑，這也可以表示為F_p谬返，其中的p=2²⁵⁶–2³²–2⁹–2⁸–2⁷–2⁶–2⁴–1是一個非常大的素數(shù)。

曲線的定義位于素數(shù)階p的有限域中日杈，而不是我們常見的實數(shù)空間遣铝。這個曲線的模式就像是散布在兩個維度上的一組點，這是很難圖形化表示的莉擒。然而酿炸，對于位于實數(shù)域的橢圓曲線，對應(yīng)的算法也是一樣的涨冀。例如填硕，圖3展示了同樣一個位于有限域的橢圓曲線，但是它的素數(shù)階（17）要小得多，顯示為一個網(wǎng)格中的一系列點扁眯。橢圓曲線使用的secp256k1可以被認為是比這個復(fù)雜得多的模式壮莹，散布在一個巨大無比的網(wǎng)格之中。

875h9g.png

例如命满，下面的Q點對應(yīng)的（x，y）坐標(biāo)是secp256k1曲線上的一個點位：

Q =
(49790390825249384486033144355916864607616083520101638681403973749255924539515,59574132161899900045862086493921015780032175291755807399284007721050341297360)

代碼1演示了如何使用Python編程來檢驗這個點是否位于橢圓曲線上绣版。變量x和y是Q點的坐標(biāo)胶台。變量p是橢圓曲線的素數(shù)階（這個素數(shù)用來進行所有的求模計算）。Python代碼的最后一行是橢圓曲線的等式（%運算符在Python中代表求模運算）僵娃。如果x和y的確是橢圓曲線上的點概作，那么它們就會滿足方程，并且運算的結(jié)果是零（0L是一個零值長整數(shù)）默怨。你可以自己編程嘗試讯榕，通過Python的IDE，把下面的代碼復(fù)制到>>>提示符之后：

Python 3.4.0 (default, Mar 30 2014, 19:23:13)
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 5.1 (clang-503.0.38)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> p = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834 \
671663
>>> x = 49790390825249384486033144355916864607616083520101638681403973749255924539515
>>> y = 59574132161899900045862086493921015780032175291755807399284007721050341297360
>>> (x ** 3 + 7 - y**2) % p
0L

代碼1：通過Python檢驗這個點是否位于橢圓曲線上

橢圓曲線上的運算

橢圓曲線的加法是兩個點的相加

橢圓曲線上的很多數(shù)學(xué)運算看上去跟我們在學(xué)校學(xué)習(xí)的整數(shù)世界的數(shù)學(xué)運算類似匙睹。特別是愚屁，我們可以定義一個加法運算符，它并不是做數(shù)字之間的加法痕檬，而是把曲線上的兩個點相加霎槐。有了加法運算符以后，我們還可以定義乘法運算符梦谜，用來在一個點和一個整數(shù)之間進行乘法運算丘跌，類似于重復(fù)進行加法運算。

橢圓曲線上加法運算的定義就是給定橢圓曲線上的兩個點P1和P2唁桩，橢圓曲線上存在第三個點闭树，滿足P3=P1+P2。

從幾何學(xué)的意義上來說荒澡，第三個點的計算其實是在P1和P2之間畫一條線报辱。這條線會與橢圓曲線存在唯一的相交點（超神奇），這個點稱為P3'=(x,y)单山，對應(yīng)著在x軸我們就可以得到P3=(x,-y)碍现。

如果P1和P2是同一點，那么P1和P2之間的這條線就應(yīng)該是橢圓曲線上P1（P2）點的切線米奸。這條切線會跟橢圓曲線存在唯一的相交點昼接。你可以通過微積分的方式來確定這條切線的斜率。這樣的計算是真的可以產(chǎn)出結(jié)果的悴晰，即使我們只有曲線上的兩個坐標(biāo)辩棒，仍舊可以算出對應(yīng)的切線斜率。

橢圓曲線的無限遠點在加法中的作用和我們平時所用加法中的0類似

在橢圓曲線的數(shù)學(xué)運算中，存在一個“無限遠點”一睁，這個點類似常規(guī)數(shù)學(xué)中的零钻弄。在計算機中，它有時被表述為x=y=0（這并不滿足橢圓曲線的方程者吁，但這是一個很容易驗證的例子）窘俺。有一些特殊的案例可以用來解釋為什么我們需要這個無限遠點。

在一些情況下（比如P1和P2有相同的x值复凳，卻有不同的y值）瘤泪，那么兩點的連線就是一條垂直的直線，這樣的情況下育八，P3就是無限遠點对途。

如果P1是無限遠點，那么P1+P2=P2髓棋。同樣实檀，如果P2是無限遠點，那么P1+P2=P1按声。這個例子展示了“無限遠點”如何扮演著普通數(shù)學(xué)中零的作用膳犹。

這意味著，加法是滿足結(jié)合律的签则，也就是說(A+B)+C=A+(B+C)须床。這意味著我們可以直接寫A+B+C，即使不用圓括號渐裂，也不會產(chǎn)生運算上的歧義豺旬。

我們已經(jīng)定義了加法，現(xiàn)在可以借此延伸出乘法的定義柒凉。對于橢圓曲線上的P點哈垢，如果k是一個整數(shù)，那么k*P=P+P+P+…+P（相加k次）扛拨。注意，有時候k會被稱為“指數(shù)”举塔，這比較容易令人混淆绑警。

生成公鑰

我們從隨機得來的私鑰k開始，使用橢圓曲線上預(yù)先定義好的名為生成點的G點來產(chǎn)生另一個位于橢圓曲線上的點央渣，這就是對應(yīng)的公鑰K计盒。

K=k*G

生成點由secp256k1橢圓曲線標(biāo)準定義，在所有的secp256k1實現(xiàn)中芽丹，這個點保持不變北启，所有從這個曲線產(chǎn)生的公鑰都是經(jīng)過相同的生成點計算而來的。因為對于所有的以太坊用戶而言，生成點始終保持不變咕村，所以使用一個私鑰k與生成點G計算之后场钉，總是會得出相同的公鑰K。k和K之間的關(guān)系是固定的懈涛，但是只能從一個方向進行計算逛万，也就是通過k算出K。這也是為什么一個以太坊地址（從公鑰K而來）可以被公開分享批钠，而不用擔(dān)心對應(yīng)的私鑰（k）可能會被人反向算出宇植。

如同我們在上一節(jié)中提到的，k*G的乘法運算相當(dāng)于是重復(fù)多次的加法運算埋心，也就是G+G+G+…+G指郁，重復(fù)k次。概括而言拷呆，為了從私鑰k計算出公鑰K闲坎，我們需要把生成點G反復(fù)相加k次。

通過私鑰可以推算出公鑰洋腮，但是通過公鑰無法反向計算得出私鑰箫柳，因為這個數(shù)學(xué)算法是單向的。

現(xiàn)在啥供，讓我們把這項計算用在之前“私鑰”一節(jié)中生成的那個私鑰悯恍，并通過這個私鑰來計算得出公鑰：

K = f8f8a2f43c8376ccb0871305060d7b27b0554d2cc72bccf41b2705608452f315 * G

一些密碼學(xué)類庫可以幫助我們使用橢圓曲線加法來計算K。計算所得的公鑰K定義為一個點：

K=(x,y)

其中：

x = 6e145ccef1033dea239875dd00dfb4fee6e3348b84985c92f103444683bae07b
y = 83b5c38e5e2b0c8529d7fa3f64d46daa1ece2d9ac14cab9477d042c84c32ccd0

在以太坊協(xié)議中伙狐，你可能會看到采用130個十六進制字符（65字節(jié)）表示的公鑰涮毫。這是由SECG所發(fā)布的行業(yè)標(biāo)準的一種序列化編碼方式，在高效密碼學(xué)標(biāo)準（SECI）中有文獻記載（http://www.secg.org/sec1-v2.pdf）這個標(biāo)準定義了四種可能的前綴用來標(biāo)示橢圓曲線上的點位贷屎，見表1罢防。

表1：序列化EC公鑰前綴

以太坊只使用未壓縮的公鑰，因此唯一相關(guān)的前綴就是0x04唉侄。包括x和y坐標(biāo)的公鑰經(jīng)過編碼后的形態(tài)如下：

04 + x-coordinate (32 bytes/64 hex) + y-coordinate (32 bytes/64 hex)

因此咒吐，我們在上文計算得出的公鑰，經(jīng)過編碼后的形態(tài)為：

046e145ccef1033dea239875dd00dfb4fee6e3348b84985c92f103444683bae07b83b5c38e5e2b0 \
c8529d7fa3f64d46daa1ece2d9ac14cab9477d042c84c32ccd0