通過(guò)相機(jī)拍攝圖像可以將3D世界投影到2D圖像當(dāng)中，因此，我們可以把相機(jī)模型看作是一個(gè)3D空間到2D空間的映射。下面我們介紹最簡(jiǎn)單的相機(jī)模型——小孔成像模型卢厂，也是針對(duì)普通數(shù)字相機(jī)最為廣泛應(yīng)用的一種相機(jī)模型。
圖1. 小孔成像模型惠啄。3D點(diǎn)X在圖像上的像為連接相機(jī)投影中心O和3D點(diǎn)的直線(xiàn)和成像平面Z=f的交點(diǎn)x慎恒。
假設(shè)相機(jī)的投影中心位于一個(gè)歐式坐標(biāo)系的原點(diǎn)
，相機(jī)面向z軸正方向撵渡，并且成像平面（或者說(shuō)焦平面）在當(dāng)前坐標(biāo)系下的表達(dá)為
融柬。那么，在小孔成像模型的作用下下趋距，如圖1所示粒氧，3D空間中的一個(gè)點(diǎn)%5ET)
會(huì)被投影為成像平面上的一個(gè)2D點(diǎn)，也即連接相機(jī)投影中心和3D點(diǎn)的直線(xiàn)與成像平面的交點(diǎn)节腐。通過(guò)相似三角形外盯，我們可以很容易的看出3D點(diǎn)%5ET)
被投影成為成像平面上的%5ET)
。暫時(shí)先不考慮最終的圖像坐標(biāo)翼雀，我們可以看出
將3D點(diǎn)從三維的歐式空間投影到了2D圖像平面饱苟，也即二維的歐式空間中。
假如使用嚴(yán)格的齊次坐標(biāo)進(jìn)行表述狼渊，那么上述投影過(guò)程可以表示為以下矩陣相乘的形式箱熬，也即公式[1]：
![\begin{aligned} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} fX/Z \\ fY/Z \\ 1 \end{pmatrix} & = \begin{bmatrix} f & 0 & 0 & 0\\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} f & 0 & 0\\ 0 & f & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = diag(f,f,1) [\mathbf{I}|\mathbf{0}]\mathbf{X} 。 \end{aligned}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20X%20%5C%5C%20Y%20%5C%5C%20Z%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cmapsto%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20fX%2FZ%20%5C%5C%20fY%2FZ%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%26%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20f%20%26%200%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%20f%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20X%20%5C%5C%20Y%20%5C%5C%20Z%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%20%26%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20f%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%20f%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%201%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20X%20%5C%5C%20Y%20%5C%5C%20Z%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%20%26%20%3D%20diag(f%2Cf%2C1)%20%5B%5Cmathbf%7BI%7D%7C%5Cmathbf%7B0%7D%5D%5Cmathbf%7BX%7D%20%E3%80%82%20%5Cend%7Baligned%7D)
其中![\mathbf{P} = [\mathbf{I}|\mathbf{0}]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7BP%7D%20%3D%20%5B%5Cmathbf%7BI%7D%7C%5Cmathbf%7B0%7D%5D)
通常被稱(chēng)為相機(jī)的投影矩陣。三維點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為%5ET)
城须，二維點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為%5ET)
护锤，也等價(jià)于%5ET)
。
在上述公式 [1]中假設(shè)成像平面的原點(diǎn)為相機(jī)的主點(diǎn)位置。然而驱入，實(shí)際相機(jī)圖片的原點(diǎn)往往是圖像左上角的點(diǎn)赤炒。因此，我們定義主點(diǎn)在圖像上的坐標(biāo)為%5ET)
亏较，如圖2所示莺褒，從而得到
將其表示為齊次坐標(biāo)的形式雪情，我們可以得到公式[2]
定義內(nèi)參矩陣
最終公式[2]可以表達(dá)為
![\mathbf{x} = \mathbf{K}\mathbf{P}\mathbf{X} = \mathbf{K} [\mathbf{I}|\mathbf{0}]\mathbf{X}巡通。](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7Bx%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7BK%7D%5Cmathbf%7BP%7D%5Cmathbf%7BX%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7BK%7D%20%5B%5Cmathbf%7BI%7D%7C%5Cmathbf%7B0%7D%5D%5Cmathbf%7BX%7D%E3%80%82)
注意公式[2]其實(shí)共包含了兩個(gè)階段的坐標(biāo)變換：
- 第一個(gè)階段是標(biāo)準(zhǔn)的透視投影過(guò)程尘执，也即
部分。它將3D點(diǎn)投影成了歸一化平面（假設(shè)焦距
宴凉，則為
平面）上的一個(gè)2D點(diǎn)誊锭，也即%5ET)
。
- 第二個(gè)階段是基于相機(jī)內(nèi)參的變換弥锄，即
部分丧靡。它將歸一化平面坐標(biāo)系中的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到了以像素為單位的圖像坐標(biāo)系中。
當(dāng)我們擁有2D點(diǎn)的像素坐標(biāo)
以及相機(jī)的內(nèi)參矩陣時(shí)籽暇，可以通過(guò)公式
得到這個(gè)點(diǎn)在歸一化平面上的坐標(biāo)温治。
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