2020-04-15

擬凸（quasiconvex）兩種等價(jià)定義的證明：

任意下水平集（ $\forall \alpha , L_{\alpha}=\{x| f(x)\le \alpha\}$ ）是凸集 $\Leftrightarrow f(\lambda x + (1-\lambda)y)\le \max\{f(x), f(y)\}$

如果 $f(\lambda x + (1-\lambda)y)\le \max\{f(x), f(y)\}$ 示血，那么 $\forall \alpha,$ 設(shè) $x, y \in L_{\alpha}$ 棋傍，就有 $f(x)\le \alpha, f(y) \le \alpha$ ，從而 $f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \max\{f(x), f(y)\}\le\alpha$ 所以 $\lambda x+ (1-\lambda)y \in L_{\alpha}$ 难审，所以 $L_{\alpha}$ 是凸集瘫拣。
如果 $L_{\alpha}$ 是凸集， $\forall x, y$ 告喊，設(shè) $\alpha=\max \{f(x), f(y)\}$ 麸拄，從而 $x, y \in L_{\alpha}$ ，那么 $\lambda x + (1-\lambda) y \in L_{\alpha}$ 并且 $f(\lambda x + (1-\lambda)y)\le\alpha= \max\{f(x), f(y)\}$

最后編輯于：2020.05.14 00:30:31

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