1.6 概率分布的方差 Variance of probability distributions

1. 方差（Variance）

上節(jié)講完期望（均值），緊接著就說到了方差

1.1 方差表達式

方差 $\langle \Delta x^2 \rangle$ :就是離散（or 連續(xù)）函數(shù)中每一個數(shù)減去期望

$\Delta x = x_i - \langle x\rangle$ ，

然后平方 $\Delta x^2$

最后再對得到的平方值掌栅，求期望嗡髓，

就得到了方差 $\langle \Delta x^2 \rangle$

然后又有數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，求解方差還有一個簡便的公式：

$\langle \Delta x^2 \rangle = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2$

附上推理過程如下：

$\langle \Delta x^2 \rangle = \int \Delta x^2 p(x)$

這是上節(jié)中的期望求解公式

$= \int (x-\langle x \rangle)^2 p(x) dx$

將 $\Delta x$ 分解成 $\Delta x = x_i - \langle x\rangle$

$= \int (x^2 - 2x \langle x \rangle + \langle x \rangle^2) p(x) dx$

然后再把平方帶入到括號里

$= \int x^2p(x) dx - \int 2x \langle x \rangle p(x) dx + \int \langle x \rangle^2 p(x) dx$

分解

$= \langle x^2 \rangle - 2\langle x \rangle\langle x \rangle + \langle x \rangle ^2$

最后业汰，再根據(jù)期望求解公式就得到了結果

$= \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2$

注意： 方差 = 平方的期望 - 期望的平方

$\langle \Delta x^2 \rangle = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2$

2. 歸一化（又稱正則化伙窃，Normalization）

量子力學認為物質是以波函數(shù)的形式存在的，對波函數(shù)求平方等于物體存在的概率样漆。
但是無論物質可能在什么地方出現(xiàn)为障，將所有概率加和必定等于一.這就引申處波函數(shù)最重要的性質；歸一性
所以只有經(jīng)過歸一化處理的波函數(shù)才是可用的波函數(shù)

波函數(shù)歸一化的步驟：

得到概率： **對波函數(shù)平方積分: **

$\int_a^b |\psi|^2=P|_a^b$
使波函數(shù)等于一個有限值（finite value）放祟，然后除以一個常數(shù)（divide a constant）,就可以將其等于一鳍怨。

歸一化和波函數(shù)隨時間的變化
對波函數(shù)進行歸一化之后，試想一下跪妥，如果將概率函數(shù)對時間求導會發(fā)生什么呢鞋喇？
[圖片上傳失敗...(image-e7a306-1599985862668)]

$\fracz5vlfa7{dt} \int |\psi(x,t)|^2 dx$

$= \int \frac{\partial}{\partial t}|\psi(x,t)|^2 dx$

$= \int \fracgmatmze{dt} (\psi^*\psi) dx$

$= \int \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \psi + \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t}$ $\bigstar$

$\spadesuit$ 插點：將經(jīng)典薛定諤方程拿過來

$\because i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial{t}} =-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+V(x)\psi$

上式薛定諤方程左邊是 $t$ 的函數(shù)，右邊是 $x$ 的函數(shù)眉撵，兩邊同時除以 $i\hbar$ 后得到

$\therefore \frac{\partial \psi}{\partial{t}} =-i\frac{\hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}-i \frac{V(x)}{\hbar}\psi$

將 $\spadesuit$ 帶入公式 $\bigstar$ 得到

$= \int \left[ \left(-i\frac{\hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}+ i \frac{V(x)}{\hbar}\psi^* \right) \right] \psi$

$+ \int \left[ \psi^* \left[ \left(i\frac{\hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}-i \frac{V(x)}{\hbar}\psi \right) \right]\right] dx$

$= \int \frac{i\hbar}{2m}\left( -\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} \psi + \psi^* \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right)dx$

至此侦香，我們將概率函數(shù)對時間的導數(shù)，轉化為波函數(shù)對坐標x的導數(shù)

3. 討論：概率函數(shù)和時間的關系

接著上面的推導出來的等式：

$\fracvf67zzz{dt} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 dx$

$=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i\hbar}{2m}\left( -\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2} \psi + \psi^* \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right)dx$

可以接著化簡执桌，將 $\frac{\partial}{\partial x}$ 提出來

$=\frac{i\hbar}{2m} \int \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \psi^*}{\partial x} \psi + \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) dx$

去掉積分符號：
$=\left. \frac{i\hbar}{2m} \left( -\frac{\partial \psi^*}{\partial x} \psi + \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}\right) \right|_{-\infty}^{\infty}$