楊武之師從名家L．E．迪克森（Dickson），研究代數(shù)學和數(shù)論营曼。1926年以《雙線性型的不變量》一文獲得碩士學位昔案。兩年之后尿贫，又以《華林問題的各種推廣》，使楊武之成為中國因數(shù)論研究而成為博士的第一人踏揣。

所謂華林問題庆亡，是指下列猜想：每個正整數(shù)都是4個平方數(shù)之和，9個立方數(shù)之和捞稿，一般地又谋，g（k）個k次方數(shù)之和。1770年娱局，J．－L．拉格朗日（Lagrange）證明了每個正整數(shù)確實是4個平方數(shù)之和彰亥，即g（2）=4。1909年衰齐，大數(shù)學家D．希爾伯特（Hilbert）證明：g（k）必是有限數(shù)任斋。1928年，楊武之的導師狄克遜證得：g（3）=9耻涛。另外废酷，S．W．貝爾（Baer）證明，凡大于23×1014的整數(shù)是8個立方數(shù)之和抹缕。于是狄克遜要楊武之考慮帶系數(shù)的華林問題澈蟆，即每個正整數(shù)f可否表示為f=rx3十C7，其中C7=x31十x32十…十x37卓研，r=0趴俘，1，2奏赘，…寥闪，8．楊武之很快得到下述結(jié)果：

1．凡是大于14．1×4016的正整數(shù)都可表示為rx3十C7，其中r=5志珍，7橙垢。

2．凡大于（30．1）×4196的正整數(shù)都可表示為3x3十C7。

3．凡大于23×1014的正整數(shù)都可表為8×c3十C7伦糯。

4．凡大于23×1014的奇正整數(shù)都可表示為rx3十C7，其中r=2嗽元，4敛纲，6。

5．凡大于23×1014的奇正整數(shù)的兩倍剂癌，都可表為2x3十7淤翔。

楊武之的博士論文還討論了帶系數(shù)的7次方數(shù)的表示等問題。

楊武之最好的工作是關于棱錐數(shù)的華林問題佩谷。棱錐數(shù)p（n）=1/6（n3－n）是三角形數(shù)f（n）=n/2（n十1）的推廣旁壮。1640年监嗜，費馬（Fermat）猜測每個正整數(shù)都是不超過3個三角形數(shù)之和。后來證明這是對的抡谐。至于每個正整數(shù)能表示為幾個棱錐數(shù)之和裁奇，也陸續(xù)有人研究。1896年麦撵，W．J．馬耶（Maillet）首先得到刽肠，每個充分大的正整數(shù)是12個棱錐數(shù)之和。1928年免胃，楊武之在博士論文里證明：

每個正整數(shù)都可寫成9個棱錐數(shù)之和音五。此結(jié)果在20余年內(nèi)沒有改進，直至G．N．沃森（Watson）在1952年將“9個”減為“8個”羔沙。到1991年為止躺涝，這仍是已證明了的最好結(jié)果。

電子計算機出現(xiàn)之后扼雏，許多人曾作過實際驗算诞挨，認為除241個例外數(shù)之外，小于106的正整數(shù)都是5個棱錐數(shù)之和呢蛤。1991年惶傻，楊振寧和鄧越凡等人的計算表明，凡小于109的正整數(shù)其障，除了17银室，27，…励翼，343867等241個例外數(shù)之外蜈敢，都是4個棱錐數(shù)之和。他們猜想汽抚，除這241個數(shù)之外抓狭，表示任何正整數(shù)，只要4個棱錐數(shù)就夠了造烁。

楊武之的這篇博士論文否过，首先在美國數(shù)學會的會議上作了介紹（1928年4月6日）。同年美國數(shù)學會通報第34卷惭蟋，第412頁上曾對此作了報道苗桂。以后全文發(fā)表于1931年的《清華理科報告》。

楊武之在清華大學講授過很多代數(shù)課程告组，特別是30年代初開設的群論課煤伟，影響了大批的后學者。

華羅庚來到清華大學以后，選擇數(shù)論為研究方向便锨，而且集中研究華林問題围辙，顯然是受到楊武之的直接影響。華羅庚在1980年寫給香港《廣角鏡》周刊的一封信說：“引我走上數(shù)論道路的是楊武之教授放案∫ǎ”

華羅庚于1936年赴英國，追隨G．H．哈代（Hardy）學習解析數(shù)論卿叽，成績卓著桥胞。楊武之為自己的學生超過自己而高興非凡。1938年華羅庚回國后到西南聯(lián)合大學任教考婴。當時擔任系主任的楊武之贩虾，不顧學校里的各種反對意見，向校方提出破格提升華羅庚的職務沥阱，即越過講師缎罢、副教授直升正教授。起初校方以華羅庚未在英國拿博士學位而拒絕考杉，后經(jīng)楊武之力爭策精，最終才得到同意。所以崇棠，華羅庚在上述給《廣角鏡》的信中也寫道：“從英國回國咽袜，未經(jīng)講師、副教授枕稀，直接提我為正教授的又是楊武之教授询刹。”

在西南聯(lián)合大學時期萎坷，楊武之和華羅庚曾同住于昆明西北郊的大塘子村凹联。兩家過往很密。當年哆档，華羅庚曾有一信給楊武之蔽挠，內(nèi)稱：“古人云：生我者父母，知我者鮑叔瓜浸。我之鮑叔即楊師也澳淑。”

楊武之所師法的迪克森學派斟叼，在本世紀初的美國影響很大偶惠。后來由于英國、蘇聯(lián)等國的解析數(shù)論的興起而漸漸式微朗涩。所以，楊武之的數(shù)論研究雖曾起過啟蒙和推動的作用绑改，可惜由于迪克森學派的衰落而未能發(fā)揮重大影響谢床。中國數(shù)論學派兄一，在華羅庚的領導下，獲得了重大的發(fā)展识腿。飲水思源出革，人們將會緬懷楊武之在早期所發(fā)揮的前驅(qū)作用。

楊武之與楊振寧

楊武之是楊振寧除了物理系直接教他的這些教授們外渡讼，對他的影響相當大的一個人骂束。楊武之是一位將近世代數(shù)和數(shù)論、將西方現(xiàn)代數(shù)學方法引入中國的我國現(xiàn)代數(shù)學的先驅(qū)者之一成箫，也是一位為我國數(shù)字教育作出重要貢獻的數(shù)學家展箱。楊武之是一位教學極為認真的教授，也是一位教子極為嚴格的父親蹬昌。他早就在日常生活中混驰，循循善誘，潛移默化地將不少數(shù)學知識傳授給了兒女們皂贩。楊振寧在學校里栖榨，遇有不懂的問題、碰上難以處理的事明刷，總是經(jīng)常跑到數(shù)學系辦公室向父親請教婴栽。楊振寧后來說：“父親對我們子女們的影響很大。從我自己來講：我小時候受到他的影響而早年對數(shù)學發(fā)生濃厚的興趣辈末，這對我后來搞物理學工作有決定性的影響愚争。”楊武之對楊振寧的影響本冲，一直長久地發(fā)生著和存在著准脂。