圓周運動的“角度量”描述--by 費世煌

可能用到的符號

\omega括堤、 \alpha砖第、\beta
對應代碼:

$\omega$斟或、$\alpha$素征、$\beta$

知識點

  1. 圓周運動可用標量,不需要用矢量

    • 給定一個圓心萝挤,只有順時針轉動和逆時針轉動之分
    • 可用正負來標記轉動方向(逆時針為正御毅,順時針為負)
  2. 位置:\theta

    • 據(jù)習慣水平向右為參考軸
    • 約定逆時針轉為正,且起點是參考軸正向怜珍。請思考端蛆,\theta=\pi 代表運動到哪里了?
    • \theta=-\frac{\pi}{3} , 運動到哪里酥泛?
    • \theta=\frac{4}{3}\pi\theta=-\frac{2}{3}\pi今豆,是不同的位置不?
    • \theta(t)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}是什么樣的運動柔袁?(描述的是角速度為\frac{\pi}{10}的圓周運動)
  3. 角速度:\omega

    • 即轉速呆躲,表征轉動的快慢。
    • 比較:
      • \theta(t)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}
      • \theta(t)=\frac{\pi}{9}t+\frac{\pi}{2}
    • 角速度 \omega=\frac{d\theta}{dt}
  4. 角加速度:\alpha (or \beta)

    • 表征角速度變化的快慢捶索。
    • 比較:
      • \theta(t)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}
      • \theta(t)=\frac{\pi}{9}t^2+\frac{\pi}{2}
    • 角加速度 \alpha=\frac{d\omega}{dt}
  5. 一個物體繞一個點做圓周運動插掂,則其上所有質元具有相同的\omega進行圓周運動,但速度不一定相同情组。


    例題:

    • 請用以上工具分析圓周運動:\theta(t)=4t^2+4t-\frac{\pi}{3}.

    習題:

    • 請寫出一個圓周運動燥筷,使得它:初始位置在\frac{\pi}{3},初始角速度10(逆時針)院崇,角加速度為2(順時針)肆氓。

      解答:\because \alpha=-2

      ? 則d\omega=\alpha dt

      ? \therefore \omega=\int \alpha dt=-2t+10

      ? 則\theta=-t^2+10t+\frac{\pi}{3}

思考題

  • 請寫出一個圓周運動,使得它:初始位置在\frac{\pi}{3}底瓣,初始角速度10(逆時針)谢揪,角加速度為2t+1(順時針)。并思考捐凭,這類問題有什么通用解法拨扶?

    解答:\alpha=2t+1

    ? \frac{d\omega}{dt}=\alpha\Longrightarrow d\omega=\alpha dt

    ? 則,\int d\omega=\int \alpha dt\longrightarrow\omega=t^2+t+10

    ? 同理:\theta=\int \omega dt=\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{2}t^2+10t+\frac{\pi}{3}

    ? 這類問題的解決方法:

    ? case_1 :微分法茁肠,有\frac{d\theta}{dt}=\omega\;\;\frac{d\theta^2}{d^2t}=\alpha

    ? case_2 :積分法患民,有\int \alpha dt=\omega\;\;\int\int \alpha dt=\theta

    ? 用上式的兩種方式去確定題目中的\alpha ,\omega ,\theta 三者之間的關系式,從而求解垦梆。

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