向量
了解向量之前，先了解什么是標(biāo)量
- 標(biāo)量：只有大小舶替，例如：1令境，12，13等
- 向量是有方向的標(biāo)量顾瞪，即不僅有大小舔庶，還有方向
單位向量
單位向量是長(zhǎng)度為1的向量，向量長(zhǎng)度通過(guò)下列公式計(jì)算
如果一個(gè)向量不是單位向量陈醒，可以通過(guò)單位化將其轉(zhuǎn)化為單位向量惕橙，即 非零向量除以向量的模，如下圖所示
向量點(diǎn)乘
- 點(diǎn)乘只能發(fā)生在兩個(gè)向量之間钉跷，且點(diǎn)乘時(shí)弥鹦，兩向量必須是單位向量，如果不是爷辙，需要將向量進(jìn)行單位化后彬坏，再點(diǎn)乘
-
點(diǎn)乘得到的是兩個(gè)向量之間的夾角的余弦值 即 cosα，范圍在[-1, 1]之間犬钢，是一個(gè)標(biāo)量
向量點(diǎn)乘
- OpenGL中針對(duì)相應(yīng)點(diǎn)乘苍鲜，提供了兩個(gè)函數(shù)
- m3dDotProduct3：獲得2個(gè)向量量之間的點(diǎn)乘結(jié)果，即余弦值 = cosα
- m3dGetAngleBetweenVector3：獲取2個(gè)向量之間夾?的角度玷犹，即α = arccos(余弦值)
向量叉乘
兩個(gè)向量之間叉乘得到結(jié)果同樣是一個(gè)向量混滔，且該向量垂直于兩個(gè)向量所構(gòu)成的平面，
-
由于結(jié)果與兩向量構(gòu)成平面垂直歹颓，也可以理解為得到的結(jié)果是該平面的法線
向量叉乘 -
OpenGL中針對(duì)向量叉乘也提供了對(duì)應(yīng)的API
- m3dCrossProduct3：獲得2個(gè)向量之間的叉乘結(jié)果得到一個(gè)新的向量
OpenGL中向量
- 向量的表示：有兩種方式坯屿，三維和四維，如圖所示
| math3d庫(kù)中的數(shù)據(jù)類型 | 說(shuō)明 |
|---|---|
| M3DVector3f | 表示?一個(gè)三維向量量(x,y,z) |
| M3DVector4f | 表示?一個(gè)四維向量量(x,y,z,w) w是縮放因子巍扛，在典型情況下领跛，w一般設(shè)置為1.0，x撤奸、y吠昭、z值通過(guò)除以w，來(lái)進(jìn)行縮放胧瓜，當(dāng)w=1.0時(shí)矢棚，想xyz的值本質(zhì)上不會(huì)發(fā)生變化 |
-
關(guān)于向量點(diǎn)乘和叉乘對(duì)應(yīng)API匯總
OpenGL中向量的API
矩陣
單位矩陣
- 主對(duì)角線上數(shù)據(jù)都是1，其余元素都是0府喳，即為單元矩陣
- 向量 X 單元矩陣 = 向量 X 1蒲肋，不會(huì)發(fā)生任何變化
- 向量與單元矩陣相乘的前提是：向量的列數(shù) == 單元矩陣的行數(shù)
矩陣分類
- 行優(yōu)先矩陣：一行一行讀取
- 列優(yōu)先矩陣：一列一列讀取
- 兩者的關(guān)系為：行優(yōu)先矩陣經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)置 即可的到列優(yōu)先矩陣
矩陣的點(diǎn)乘
- 矩陣可以進(jìn)行點(diǎn)乘的前提：兩個(gè)矩陣的行列數(shù)相等
-
矩陣A · 矩陣B = 矩陣C
-規(guī)則： 矩陣A的第一個(gè)元素與矩陣B的第一個(gè)元素的乘積 = 矩陣C的第一個(gè)元素
矩陣點(diǎn)乘
矩陣的叉乘
- 矩陣可以進(jìn)行叉乘的前提：第一個(gè)矩陣的列數(shù) = 第二個(gè)矩陣的行數(shù)
- 矩陣A X 矩陣B = 矩陣C
-
規(guī)則：矩陣A第一行與矩陣B第一列對(duì)應(yīng)元素乘積的綜合 = 矩陣C的第一個(gè)元素
矩陣叉乘
-
OpenGL中的矩陣
- OpenGL中單元矩陣有3中初始化方法
-
通過(guò)
GLFloat定義一個(gè)一維數(shù)組
矩陣初始化方式1 -
通過(guò)
M3DMatrix44f創(chuàng)建一個(gè)單元矩陣
單元矩陣初始化方式2
-
- 通過(guò)方法`m3dLoadIdentity44f`創(chuàng)建單元矩陣
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
- OpenGL中，使用較多的矩陣都是一維數(shù)組創(chuàng)建的，且規(guī)定使用以列為主的矩陣排序兜粘。
- OpenGL中的矩陣都是4x4的申窘，每一列都是由4個(gè)元素組成的向量，如圖所示
- 第一列表示x軸方向
- 第二列表示y軸方向
- 第三列表示z軸方向
- 第四列表示交換位置
- 列向量進(jìn)行了特殊的標(biāo)注孔轴，表示這是以列為主的矩陣剃法，主要體現(xiàn)為矩陣的最后一行都是0，只有最后一個(gè)元素為1
理解OpenGL中的矩陣相乘
數(shù)學(xué)角度
- 數(shù)學(xué)中為了方便計(jì)算距糖，都是以行矩陣為標(biāo)準(zhǔn)玄窝，從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算，所以在數(shù)學(xué)中悍引，頂點(diǎn)將以行向量的方式表示
- 從數(shù)學(xué)角度理解mvp矩陣的計(jì)算恩脂，由于頂點(diǎn)是行向量，要滿足矩陣相乘的規(guī)定條件（即 叉乘的前提）趣斤，必須將mvp矩陣放在右邊俩块，屬于右乘
- 頂點(diǎn)向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
-
頂點(diǎn)向量 = 頂點(diǎn) * 模型矩陣 * 觀察矩陣 * 投影矩陣
數(shù)學(xué)角度
OpenGL角度
- OpenGL中的矩陣規(guī)定是以列為主，所以頂點(diǎn)以列向量的方式表示
-
從OpenGL角度理解mvp矩陣的計(jì)算浓领，由于頂點(diǎn)是列向量玉凯，如果項(xiàng)進(jìn)行矩陣規(guī)則，就需要滿足矩陣相乘的條件联贩，需要將mvp矩陣的順序顛倒為pvm漫仆，且放在列向量的左邊，屬于左乘
OpenGL角度
OpenGL矩陣堆棧中矩陣相乘源碼分析
從OpenGL矩陣堆棧中矩陣相乘源碼分析泪幌，主要有以下3步
-從棧頂獲取棧頂矩陣盲厌，復(fù)制到mTemp
- 將棧頂矩陣 mTemp 左乘 mMatrix
-
將結(jié)果放回棧頂，覆蓋棧頂矩陣
矩陣相乘源碼
而我們?cè)谟^察者不動(dòng)祸泪、物體動(dòng)的觀察方式中吗浩，根據(jù)之前Demo代碼可知
- ChangeSize函數(shù)中，得到投影矩陣没隘，將投影矩陣壓入投影矩陣堆棧棧頂懂扼，并與模型視圖矩陣棧頂相乘，將結(jié)果覆蓋棧頂右蒲，即 投影矩陣 * 單元矩陣 = 投影矩陣
- RenderScene函數(shù)中阀湿，將棧頂矩陣copy一份，然后將觀察者矩陣與模型視圖矩陣堆棧棧頂相乘瑰妄，其結(jié)果覆蓋棧頂矩陣陷嘴，即投影矩陣 * 視圖矩陣 = 視圖投影矩陣
- 得到模型矩陣，將模型矩陣與棧頂矩陣相乘翰撑，其結(jié)果覆蓋棧頂矩陣罩旋，即 棧頂 = 模型視圖投影矩陣
上述代碼，矩陣堆棧的變化過(guò)程如下
由此可知眶诈，在實(shí)際的代碼中涨醋，mvp矩陣的計(jì)算順序是pvm，最后再將mvp矩陣與頂點(diǎn)矩陣相乘逝撬，得到物體變換后的頂點(diǎn)和位置浴骂。
