數(shù)值分析：誤差

1?誤差的來源

模型誤差：數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題之間出現(xiàn)的誤差
方法誤差：由數(shù)值計(jì)算方法所得到的近似解與模型的準(zhǔn)確解的誤差
舍入誤差：計(jì)算機(jī)執(zhí)行算法時(shí)由于字長等原因產(chǎn)生的誤差
觀測誤差：由實(shí)驗(yàn)觀測或測量產(chǎn)生的誤差

數(shù)值計(jì)算只考慮方法誤差與舍入誤差狸吞。（重點(diǎn)！留特！敲黑板０迸簟；凉贰）

1.1?方法誤差舉例

例1：求積分 $\int^1_0{e^{-x^2}}$
解：顯然帆焕，這個(gè)積分的被積函數(shù)不存在原函數(shù)。因此需要采用數(shù)值積分方法求解驾诈。
??由于可微函數(shù)可以使用泰勒（Taylor）展開（重點(diǎn)６疽獭Ｑ颇琛）近似替代
?? $P_n(x)=f(x_0)+\frac{f^{’}(x_0)}{1!}+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
??則數(shù)值方法的方法誤差是
?? $R_n(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

1.2?舍入誤差

由于計(jì)算機(jī)的字長有限，原始數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)上表示時(shí)會產(chǎn)生誤差
由于原始數(shù)據(jù)或機(jī)器中的十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)產(chǎn)生的初始誤差手素。

由于實(shí)數(shù)集是無窮多個(gè)數(shù)鸳址，而計(jì)算機(jī)內(nèi)部是以二進(jìn)制表示，在轉(zhuǎn)換過程中會存在誤差泉懦。

2?誤差的概念

設(shè) x* 是準(zhǔn)確值 x 的一個(gè)近似值

絕對誤差
?? $\epsilon(x^*)=x-x^*$
絕對誤差限
?? $|\epsilon(x^*)|=|x-x^*|\le\epsilon$
相對誤差
?? $\epsilon_r(x^*)=\frac{\epsilon(x^*)}{x}=\frac{x-x^*}{x}$
相對誤差限
?? $|\epsilon_r(x^*)|=|\frac{\epsilon(x^*)}{x}|=|\frac{x-x^*}{x}|\le\epsilon_r$

3?有效數(shù)字

若近似值 x* 的誤差限是某一單位的半個(gè)單位稿黍，該位到近似值 x* 的第一位非零數(shù)字共有 n 位，就說該近似值有 n 位有效數(shù)字崩哩。

定理1：設(shè)近似數(shù) x* 表示為
?? $x^*= \pm 10^m \times (a_1+a_2 \times 10^{-1} + ... + a_n \times 10^{-(l-1)})$ ?? $(a_1 \neq 0)$
其中 $a_i(i=1,2,...,l)$ 是 0 到 9 中的一個(gè)數(shù)字巡球， $a_1 \neq 0$ ，m 為整數(shù)邓嘹。
若 x* 具有 n 位有效數(shù)字酣栈，則其相對誤差限
?? $\epsilon^*_r \le \frac{1}{2a_1} \times 10^{-n+1}$
反之，則 x* 至少存在 n 位有效數(shù)字汹押。

4?數(shù)值計(jì)算中的誤差估計(jì)

和（差）的誤差限等于誤差限之和
?? $\epsilon(x^*+y^*) \le \epsilon(x^*)+\epsilon(y^*)$
積的誤差限
?? $\epsilon(x^* \times y^*) \le |x^*|\epsilon(y^*) + |y^*|\epsilon(x^*)$
商的誤差限
?? $\epsilon(\frac{x^*}{y^*}) \le \frac{|x^*|\epsilon(y^*)+|y^*|\epsilon(x^*)}{y^{*2}}$
函數(shù)的誤差限
?? $\epsilon(f(x^*)) \approx|f^{’}(x^*)|\epsilon(x^*)$

5?誤差分析的基本原則

注意避免兩個(gè)相近的數(shù)相減
避免除數(shù)的絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對值
防止大數(shù)吃小數(shù)
簡化計(jì)算步驟矿筝，減少運(yùn)算次數(shù)

除了要注意以上原則，通常還應(yīng)注意不采用不穩(wěn)定的算法棚贾，設(shè)計(jì)算法時(shí)還應(yīng)盡量避免誤差危害窖维。

最后編輯于：2019.03.27 11:00:27

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