前言

筆者是一個游戲行業(yè)的程序員，讀書的時候做的基本都是native graphic library的項目，工作了反而對渲染管線細節(jié)接觸少很多由桌，說到底還是現(xiàn)在的商業(yè)引擎都太好用了啊喂。目前絕大多數(shù)的渲染算法在github，shader toy上都能找到非常完整的實現(xiàn)允睹，大量的內(nèi)置函數(shù)和宏隱藏了復雜的渲染細節(jié)。假如你需要修改unity自帶的復雜pbr光照幌氮，或者實現(xiàn)一個簡單的billboard shader缭受，做為程序員為了能繼續(xù)方便的打磨別人的輪子，搞明白這些內(nèi)置函數(shù)&變量的數(shù)據(jù)計算過程就成了必要條件该互。

這篇文章包含了左&右手坐標系 行主序（row major） 列主序（column major）左乘 右乘 坐標系變換的相關推導和使用注意事項米者。

相信我，我高考數(shù)學選擇錯了一半都能搞懂宇智，你肯定也可以蔓搞。

左手坐標系&右手坐標系

左手坐標系是指在空間直角坐標系中，讓左手拇指指向x軸的正方向随橘，食指指向y軸的正方向喂分，如果中指能指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為左手直角坐標系机蔗。反之則是右手直角坐標系蒲祈。

left_hand_坐標系.jpg

定義左右手坐標系的作用：

在三維世界中甘萧，我們給定一個平面XOY，針對這個平面的旋轉角度θ就產(chǎn)生兩種情況--順時針和逆時針梆掸。所以對坐標系使用左手與右手的命名幔嗦，這種命名規(guī)則的作用就是用來方便判斷旋轉的正方向，這就是左手法則和右手法則沥潭。

針對上圖來說邀泉，在左手坐標系下，XOY面的旋轉正方向這樣獲得：大拇指朝向z軸正方向钝鸽，四指彎曲的方向就是左手坐標系下汇恤，旋轉的正方向。所以本文的所有旋轉在給定左右手坐標系的情況下拔恰，旋轉角度θ因谎，就是沿著當前坐標系的正方向進行旋轉θ角度。

測試可知：左手坐標下颜懊，順時針就是旋轉的正方向财岔，右手坐標系則正好相反

left_hand_坐標系_標記.jpg

ps：unity就是基于左手坐標系的，我們可以通過簡單的代碼進行觀察物體是否沿著XOZ面順時針旋轉

    transform.rotation = Quaternion.Euler(0, 45, 0);

1. 點河爹，向量匠璧，齊次坐標

為了理解簡單點，本文大部分都會先考慮二維的情況咸这，三維世界的情況其實就是二維世界的擴展

在二維世界中夷恍，點P&向量V的定義:

p=\left\{x, y, 1\right\} v=\left\{x, y, 0\right\}

這里你可能會提出兩個問題：

1. 為什么要用三維向量去表示二維世界的P&V
2. 為什么P的第三維度值是1，而V的第三維度值是0

1.1 二維坐標系的Rotate Translate Scale Formula

要回答這些問題我們需要考慮這樣的問題媳维，在二維世界中如何對點P完成平移（translate）旋轉（rotate）以及縮放（scale）操作酿雪。

考慮下圖中的點P移動到P'，有公式如下：

translation.jpg

考慮下圖中的點P旋轉到P'-- 在左手坐標系下旋轉角度θ的計算公式

rotation.png

接下來我們考慮縮放的情況侄刽，對二維坐標系內(nèi)上X指黎，Y軸分別進行放縮Sx，Sy州丹，計算公式如下：

1.2 二維坐標系的Rotate Translate Scale Matrix

我們接下來考慮一個問題醋安，如何方便的把RTS運算結合在一起呢？答案就是矩陣当叭。原因很簡單茬故，矩陣運算天生滿足結合律，我們把上述公式轉換為矩陣運算后就可以用一個矩陣來表示RTS行為了蚁鳖，這為以后的復雜運算提供了便利磺芭。

根據(jù)上述的公式，我們可以很簡單的得到Rotate Matrix&Scale Matrix

Rotate Matirx in left hand coordinate

Scale Matirx in left hand coordinate

在n維坐標系中醉箕，平移矩陣需要n+1維的向量完成平移操作钾腺。所謂的齊次坐標就是就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示徙垫。

Translate Matirx in left hand coordinate

注意：以上的計算公式計算結果都是在同一個坐標系內(nèi)部的，當我們使用XOY為basic coordinate的情況下放棒，以上公式的計算結果都是在basic coordinate下的

進而我們把旋轉矩陣和平移矩陣也引入齊次坐標來使得Rts Matrix可以結合姻报，公式為：
Rotate Matirx in left hand coordinate

Scale Matirx in left hand coordinate

齊次坐標除了方便用于進行仿射（線性）幾何變換以后。它還能夠能夠用來明確區(qū)分向量和點间螟。

向量v是矢量吴旋，它沒有平移的概念，通過齊次坐標的N+1維 = 0厢破，使得它無法完成平移操作荣瑟，但是仍然可以受到RS Matrix影響。

點P的齊次坐標的N+1維 = 1摩泪， 這就回答了問題2笆焰。

1.3 矩陣運算的左乘和右乘

由于矩陣運算滿足如下規(guī)律：

我們以平移矩陣為例，根據(jù)上述公式可以改寫成如下形式见坑，這就是矩陣左乘：

我們把向量在左邊的矩陣乘法稱之為：矩陣左乘**
我們把向量在右邊的矩陣乘法稱之為：矩陣右乘**

ps：unity就是基于矩陣右乘的嚷掠，我們可以通過簡單的創(chuàng)建translate matrix來查看translate系數(shù)的所在位置來推測unity的矩陣是否右乘

     Matrix4x4 m  = Matrix4x4.Translate(new Vector3(5, 6, 7));

左乘和右乘在計算效率上有深入的考量，同時左乘右乘影響著rts矩陣的運算順序荞驴，詳情請看下文

1.4 矩陣的存儲方式不皆，行主序&列主序

針對一個特定的矩陣，它在內(nèi)存中的線性存儲的方式有兩種：行主序 & 列主序

對于一個數(shù)組float[9] array
行主序的存儲方式是：a - b - c - d - e - f - g - h - i
列主序的存儲方式是：a - d - g - b - e - h - c - f - i

ps：unity的matrix4x4就是列主序的戴尸，請注意m.xy中x是行位置粟焊，y是列位置冤狡，他們和行主序列主序無關

2. 坐標系轉換

上文講述了在basic coordinate下針對一個點P的Rts Formula孙蒙，計算結果一直都在同一個坐標系下。

現(xiàn)在我們考慮一個新的問題：

在一個給定的basic coordinate（左手坐標系or右手坐標系）下有一個點P悲雳，計算新的坐標系A下的點P'的值

舉個例子挎峦，我們提供兩個坐標系X''_O'_Y''和X_O_Y，如何計算在X''_O'_Y''坐標系下的P''點在X'_O'_Y'中的值呢合瓢？

coordinate_world_matrix.png

復雜的問題簡單化坦胶，我們先計算X''_O'_Y''中的P''在X'_O'_Y'中的P'值：

然后，我們在X'_O'_Y'中的點P'計算 X_O_Y的最后結果P

把上述公式通過矩陣左乘的方式表達：

通過矩陣的轉置計算公式晴楔，我們可以得到矩陣右乘的版本:

通過上述推導結果顿苇，我們能夠觀察到一些坐標系變換必須要注意的性質(zhì)：

1. 矩陣的左乘&右乘直接影響了坐標系變化下的rotate translate順序。設X_O_Y是basic coordinate税弃，X''O''Y''是local coordinate纪岁，那么上述公式就成了local 2 world coordinate formula，通過矩陣右乘则果，局部坐標系P''變換到P需要先乘Mt幔翰，再乘Mr

從P_local變換到P_world坐標系下漩氨，可以分成三個步驟：

• X''_O'_Y'' 旋轉到與X'O''Y'重合 -- 計算P''在X'O''Y'中的值P'
• X'_O'_Y' 縮放到與X_O_Y一致
• X'_O'_Y' 平移到與X_O_Y重合 -- 計算P'在X_O_Y的值P

2. unity中game object的transform.rotation是basic coordinate下旋轉θ到transform local coordinate的旋轉四元數(shù)。

vector3 p' = Matrix4x4.rotate(transform.rotation).multiPoint(p)

注意：如果p是basic coordinate下遗增， p'仍然是basic coordinate下的叫惊，上述這樣使用旋轉四元數(shù)并不會讓點實現(xiàn)坐標系變換

由于在左手坐標系下，世界坐標旋轉θ的公式已知

將上述公式帶入坐標系變換公式做修，就可以得到

所以給定一個transform和基于這個transform的local coordinate點P霍狰，計算這個P在世界坐標系的代碼為：

  protected Vector3 Coordinate2World(Transform a, Vector3 a_local_p)
  {
    // transform.rotation equals FromToRotation(Vector3.forward, a.forward)
    //Quaternion q = Quaternion.FromToRotation(Vector3.forward, a.forward);
    //Matrix4x4 m_q = Matrix4x4.Rotate(q);

    Matrix4x4 m_q = Matrix4x4.Rotate(a.rotation);
    Matrix4x4 m_t = Matrix4x4.Translate(a.position);

    return (m_t * m_q).MultiplyPoint(a_local_p);
  }

這個旋轉應用于一些特殊的向量就會有特殊的幾何意義，比如vector.forward使用下面的代碼

vector3 v' = Matrix4x4.rotate(transform.rotation).multiVector(v)

得到的V'就是local coordinate下vector.forward在basic coordinate中的值

3. 矩陣右乘的local coordinate <--> world coordinate matrix & 中饰及，矩陣的相關位置對應著相應的功能蚓耽，旋轉&縮放相關的參數(shù)為R，平移相關的參數(shù)為T

矩陣右乘 --- 在local to world matrix中旋炒，T = obj.position - vector3.zero = obj.position = vec2(m02, m12)
矩陣右乘 --- 在world to local matrix中步悠，T = -obj.position + vector3.zero = -obj.position = vec2(m02, m12)

小提示：由于unity是使用矩陣右乘的，我們在shader中可以很方便的在unity_ObjectToWorld獲取物體的world position瘫镇。

float4 worldCoord = float4(unity_ObjectToWorld._m03, unity_ObjectToWorld._m13, unity_ObjectToWorld._m23, 1);

4. 設X_O_Y和X''_O'_Y''都是local coordinate鼎兽，這樣我們就得到了一個廣義的旋轉矩陣推導，同時回答了第二章一開始提出的問題

在一個給定的坐標系A（左手坐標系or右手坐標系）下有一個點P铣除，計算新的坐標系B下的點P'的值

從上文可以得到坐標系變換的頭一步需要將 X''_O'_Y'' 的P''點變換到一個虛擬的坐標系X'O''Y'下谚咬，這一步需要X'O''Y'下旋轉角度θ到X''_O'_Y'' 的矩陣和translate(O''_inworld - O'_inworld)，計算代碼如下：

  protected Vector3 Coordinate2Coordinate(Transform a, Vector3 a_local_p, Transform b)
  {
    Quaternion q = Quaternion.FromToRotation(b.forward, a.forward);

    Matrix4x4 m_q = Matrix4x4.Rotate(q);
    Matrix4x4 m_t = Matrix4x4.Translate(a.position - b.position);

    return (m_t * m_q).MultiplyPoint(a_local_p);
  }

3. 總結

上文中的公式推導都是基于二維坐標系的尚粘，但是RTS的順序择卦，坐標系變換原理都是一樣的，所有的rts變換在計算目標不同的時候公式是不同的郎嫁。

在baisc coordinate下對P點進行旋轉秉继，平移，縮放得到的結果P'仍然是在basic coordinate中泽铛，而basic coordinate下有點P尚辑，獲取local coordinate的坐標P'是另外一回事，不要搞混了盔腔。

下一篇文章會仔細推導一下三維坐標系的rts矩陣杠茬，和上述兩種情況下的計算公式。

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