數(shù)學 | 泰勒級數(shù)

泰勒級數(shù):只要一個函數(shù)無窮光滑,那么泰勒級數(shù)就存在店溢,但是不一定收斂叁熔,而且即使收斂,也不一定收斂于原函數(shù)床牧。

泰勒公式:就是會有余項荣回,多用在極限計算和中值定理,應用的條件只要函數(shù)在待考察的區(qū)間上有n+1階導數(shù)戈咳,就有

(拉格朗日余項)心软,這個的成立與否不需要考慮自變量的取值問題

泰勒展開式:泰勒展開式的方向是從函數(shù)變成級數(shù)壕吹,而且要求級數(shù)必須收斂,并且必須收斂于被展開函數(shù)在對應點所取到的函數(shù)值删铃。所以會有收斂域

泰勒級數(shù)定義

如果 f(x) 在點 x=x_0

具有任意階導數(shù)耳贬,則冪級數(shù)


稱為f(x) 在點x_0處的泰勒級數(shù)。

泰勒公式定義

若函數(shù) f(x) 在包含 x_0的某個閉區(qū)間[a, b]上具有n階導數(shù)猎唁,且在開區(qū)間(a, b)上具有(n+1)階導數(shù)咒劲,則對閉區(qū)間[a, b]上任意一點 x,成立下式:

R_n(x) 是泰勒公式的余項

泰勒展開式定義

這個會有收斂區(qū)間诫隅,這個就是其和泰勒公式的區(qū)別腐魂,比如ln(1+x)

在其定義域內泰勒公式都成立,但是泰勒展開式卻只有在(-1,1]

內成立逐纬,這就是區(qū)別蛔屹,可以說在收斂區(qū)間內兩個是一致,但是不在收斂區(qū)間時就不一定了豁生。泰勒級數(shù)可以說只是代表一種計算方式兔毒。

所以這三種是有很大區(qū)別的,別再傻傻分不清了

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