最近為了更加深入得學(xué)習(xí)期權(quán)揣炕，我把忘了個底朝天的數(shù)學(xué)重新拿了起來苞笨。從高中數(shù)學(xué)開始，我會一直復(fù)習(xí)到微積分篓跛，一直到我搞懂 BSM 公式中的每一個步驟膝捞，以及他們衍生出來的數(shù)學(xué)知識。套用馬克思的話愧沟，有百分之五十的利潤蔬咬，人類就會鋌而走險；為了百分之一百的利潤沐寺，人類就敢踐踏一切人間法律林艘。而對于 20 多歲的我來說，期權(quán)里面包含的無限可能混坞，就能讓我無視掉智商被碾壓的羞辱感狐援。
廢話不多說，下面是推導(dǎo)的步驟（沒接觸過期權(quán)的同學(xué)基本可以不用看）
假設(shè)某股票 XYZ拔第，其價格目前為 20 元咕村，并且通過一些條件知道，這個股票在三個月將會變?yōu)?22 元蚊俺，或者 18 元懈涛。接下來要做的，就是為三個月后泳猬，行權(quán)價為 21 的 Call Option 定價批钠。由于 Call Option 的性質(zhì)宇植，當(dāng) XYZ 在三個月達到 22 元時，期權(quán)的價格為 1 元埋心；若三個月后降為 18指郁，則該 Call Option 作廢，價值為 0拷呆。
二叉樹模型比較簡單的地方在于闲坎，不像 BSM 模型，我們只需要引入一個假設(shè)條件就可以繼續(xù)往下推算茬斧，即「市場沒有套利的機會」腰懂，因此如果使用股票和 Call Option 的空頭來構(gòu)造一個無風(fēng)險頭寸，則可以得到：
22? - 1 = 18?
解得 ?=0.25项秉，即在這個頭寸中绣溜，我們需要買入 0.25 股 XYZ（什么，股票還可以買小數(shù)股娄蔼？沒錯怖喻，還真可以！我們公司就提供了美股碎股交易的 API岁诉，需要請聯(lián)系我）锚沸，不管三個月后 XYZ 價格是 22 還是 18，只要在這個區(qū)間內(nèi)涕癣，這個頭寸（0.25 股 XYZ 以及一份看漲期權(quán)的空頭）的收益都會是 22 * 0.25 - 1 = 4.5
由于該頭寸是風(fēng)險的咒吐，所以三個月后 4.5 的收益，就是無風(fēng)險收益属划。假設(shè)市場的無風(fēng)險收益是年化 12%恬叹，根據(jù)復(fù)合增長率的公式，假設(shè)該頭寸當(dāng)前價值為 μ同眯，則
μ * ?^(0.12*3/12) = 4.5
解得 μ ~= 4.3670绽昼，把它代入下面這個方程：
20 * ? - c = μ
?, μ 這兩個變量現(xiàn)在是已知的，因此我們可以知道期權(quán)的價格 c 為
20 * ? - μ = 20 * 0.25 - 4.3670 = 0.633
沒了须蜗，整個推導(dǎo)過程就是這樣硅确，在該模型下，這個三個月后到期明肮，XYZ 執(zhí)行價格為 21 的購期權(quán)價格就是 0.633菱农，是不是很簡單？
后面還有這個過程的通用化公式以及其他擴展柿估，下次繼續(xù)循未，最近幾天肯定更。
推廣
基于上面的推導(dǎo)過程秫舌，可以將整個過程通用化的妖。
假設(shè)當(dāng)前 XYZ 的價格為 Sn绣檬，其某個期限為 T 的期權(quán)的價格為 Fn。在該時間內(nèi)嫂粟，XYZ 的價格可能會漲到 Su娇未，期權(quán)的價格為 Fu，或者跌倒 Sd星虹，期權(quán)的價格為 Fd零抬。
接下來開始構(gòu)造我們的無風(fēng)險收益?zhèn)}位：
同樣是 ? 單位的股票多頭，以及一份 Call Option 的空頭宽涌，若接下來股票上漲媚值，則整個頭寸的價值為：
Su? - Fu
若 XZY 下跌，則頭寸的價值為：
Sd? - Fd
由于該頭寸無風(fēng)險护糖，故：
Su? - Fu = Snd? - Fd
解得：
? = (Fu - Fd)/(Su - Sd)
? 在這里即是 XYZ 多頭的單位，也可以表示期權(quán)的價格變化與股票價格變化的比率嚼松。
由于無風(fēng)險嫡良，我們可以求得若 T 時間后股票價格為 Su，則整個頭寸的當(dāng)前價值為：
V = (Su? - Fu)/e^(rT)
因此可以得到：
V = Sn? - F = (Su? - Fu)/e^(rT)
解得：
F = ?(1 - Su?^-rT) + Fu?^-rT
把 ? 代入得：
F = Sn? - (Su? - Fu)/e^(rT)
= ?[Sn - Su/e^(rT)] + Fu/e^(rT)
? = (Fu - Fd)/(Su - Sd)
?? 這公式即為二叉樹模型下期權(quán)價格的計算公式献酗，我們把最上面的數(shù)字代進去：
Sn = 20
Su = 22
Sd = 18
Fu = 1
Fd = 0
r = 0.12
T = 0.25
? = 0.25
得到 F = 0.633寝受，和最開始的例子一樣
F = 0.25(20-22/e^(0.12*0.25)) + 1/e^(0.12*0.25) = 0.633
https://mp.weixin.qq.com/s/ROAs29mWG8-6SSy_0WvzjQ
https://mp.weixin.qq.com/s/nTfdb1loEyP0--nMU3n2Qw
