四個月前的某一天，無意中看到Brilliant上有一套介紹群論的課程——Group Theory反番。從問題引出概念，插圖精美叉钥，講解詳細(xì)罢缸，實(shí)在是不可多得。我一個沖動就辦了一年的會員投队，買下了這個課程枫疆。然而課程越往后越難，概念的交錯運(yùn)用讓我顧此失彼敷鸦。經(jīng)過了整整四個月息楔，才勉強(qiáng)把整個課程學(xué)完。為了不忘得太快扒披，我打算用通俗的語言記錄一下值依，不求精確，只求易于理解碟案。

1.群的定義

群由集合中的元素和特定的二元運(yùn)算符構(gòu)成愿险，集合中的元素滿足三個條件：存在單位元素，任意元素都存在唯一的逆价说，元素之間的運(yùn)算滿足結(jié)合律辆亏。

2.常見的幾種群

1. 二面體群（Dihedral Group）D_n。由n邊形的對稱操作構(gòu)成的群鳖目，對稱操作包括旋轉(zhuǎn)（Rotation）和翻轉(zhuǎn)（Reflection）扮叨。|D_n|=2n。
2. 對稱群（Symmetric Group）S_n领迈。數(shù)字{1, 2, ..., n}所有可能的排列之間的映射作為元素彻磁，操作符是映射的疊加，比如從{1,2,3}映射到{2,3,1}狸捅，記作φ衷蜓。該元素滿足φ³=e，即連續(xù)三次同樣的映射得到單位映射薪贫，單位映射即為{1,2,3}->{1,2,3}恍箭。
3. 循環(huán)群（Cyclic Group）Z_n。Z_n是{0, 1, ..., n-1}的集合瞧省，運(yùn)算符為加法取模扯夭。
4. Z_n*鳍贾。Z_n*由小于n且與n互質(zhì)的元素構(gòu)成，運(yùn)算符為乘法取模交洗。Z_n*是阿貝爾群骑科，元素個數(shù)為φ(n)，φ為歐拉函數(shù)（Euler's totient function）构拳，表示正整數(shù)中小于n且與n互質(zhì)的元素的個數(shù)咆爽。
5. 四元數(shù)群（Quaternion Group）Q₈。
6. 自同構(gòu)群Aut(G)置森。G的所有自同構(gòu)構(gòu)成的群斗埂，運(yùn)算符為同構(gòu)映射的疊加。
7. 魔方群（Rubik's Group）凫海。由魔方的所有可能的旋轉(zhuǎn)操作構(gòu)成呛凶，是S₄₈的子群。
8. 可逆矩陣群GL₂(R)行贪。2×2可逆矩陣群漾稀。行列式為1的2×2可逆矩陣群記作SL₂(R)。

3.群的相關(guān)概念

1. 元素的階：自身相乘多少次可以得到單位元素建瘫。
2. 子群：群的一部分元素構(gòu)成的群崭捍。
3. 陪集：gH即為子群H的左陪集，其中啰脚，g為群G的任意元素殷蛇。同理，Hg為子群H的右陪集拣播。
4. 拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）：子群的大小一定可以整除父群的大小晾咪。
5. 阿貝爾群（Abelian Group）是滿足交換律的群收擦。所有的循環(huán)群都是阿貝爾群贮配。
6. 同態(tài)（Homomorphism）是對群的變換，把一個群映射到另一個群塞赂，變換前后群的運(yùn)算性質(zhì)不變泪勒。
7. 同構(gòu)（Isomorphism）是同態(tài)的特例，滿足1對1映射的同態(tài)就是同構(gòu)宴猾。一個群同構(gòu)到自身時(shí)圆存，稱為自同構(gòu)（Automorphism）。
8. 商群（Quotient Group）：子群H的所有陪集構(gòu)成的群稱為商群G/H仇哆。商群中的元素為陪集沦辙，而不是G中的元素，因此相當(dāng)于G對H求商讹剔，結(jié)果概括了G中陪集的分布規(guī)律油讯。G/H成群的條件是详民，H為正規(guī)子群。
9. 原根（Primitive root）：可生成整個群的元素陌兑。存在原根的群為循環(huán)的（cyclic）沈跨。
10. 換位子（Commutator）：g^-1h^-1gh，其中兔综，g和h都是G的元素饿凛。交換子刻畫了g和h的相關(guān)性，當(dāng)g和h不相關(guān)時(shí)软驰，交換子為1涧窒，表現(xiàn)為g和h滿足交換律，即gh=hg锭亏。
11. 共軛（Conjugate）：若存在G中的元素x杀狡，使得h=x^-1gx，其中贰镣，g和h都為G中的元素呜象，則稱g和h共軛。共軛的兩個元素可以當(dāng)做是在不同位置做同樣的事情碑隆，而x起到了變換位置的作用恭陡。
12. 正規(guī)子群（Normal Subgroup）：一個子群是正規(guī)子群的充要條件有三種等價(jià)表述形式，對于群G中的元素g和正規(guī)子群N上煤，滿足(1)gNg^-1=N; (2)gN=Ng; (3)gng^-1是N的元素休玩。
13. 中心化子（Centralizer）：H是G的子群，H的中心化子C_G(H)是對于任意h都滿足gh=hg的g的集合劫狠。
14. 正規(guī)化子（Normalizer）：H是G的子群拴疤，H的正規(guī)化子N_G(H)是滿足gH=Hg的g的集合。C_G(H)是N_G(H)的正規(guī)子群独泞。
15. 集合的基數(shù)或勢：集合中不同元素的個數(shù)呐矾。
16. 核（Kernel）：G同態(tài)映射到K，所有映射到K中單位元素的g的集合稱為該同態(tài)映射的核懦砂，記作ker(f)蜒犯。
17. 像（Image）：G同態(tài)映射到K，所有g(shù)映射到K中的元素k構(gòu)成的集合稱為該同態(tài)映射的像荞膘，記作Im(f)罚随。
18. 第一同構(gòu)定理：G同態(tài)映射到K，記該同態(tài)映射為f羽资，則G/ker(f)同構(gòu)于Im(f)淘菩。
19. 第二同構(gòu)定理：H和N是有限群G的子群，N是正規(guī)子群屠升。那么HN/N同構(gòu)于H/(H∩N)潮改。當(dāng)H∩N={1}時(shí)费奸，HN/N與H同構(gòu)。
20. 第三同構(gòu)定理：N是G的正規(guī)子群进陡。則(1)G中包含N的子群與G/N的子群具有一一對應(yīng)關(guān)系愿阐，對應(yīng)關(guān)系為，G中包含N的子群K與G/N的子群K/N對應(yīng)趾疚；(2)該對應(yīng)關(guān)系保留正規(guī)性質(zhì)缨历，K是G中的正規(guī)子群，當(dāng)且僅當(dāng)K/N是G/N的正規(guī)子群糙麦；(3)該對應(yīng)保留商性質(zhì)辛孵，如果K是正規(guī)子群，那么(G/N)/(K/N)同構(gòu)于G/K赡磅。
21. 凱萊定理（Cayley's Theorem）：任意大小為n的有限群都同構(gòu)于一個對稱群S_n的某個子群魄缚。
22. Group Action：群的元素可以看做作用在某個集合上的動作，或是對某個集合中元素的變換焚廊，記作G×X冶匹，g對x變換后得到的元素仍屬于X。例如咆瘟，Z_n是作用在小于n的正整數(shù)集合上的動作的集合嚼隘，S_n是作用在Rⁿ中的n維向量上的動作的集合。
23. 固定點(diǎn)（Fixed point）：G作用在X上袒餐，g的固定點(diǎn)x滿足gx=x飞蛹，也就是在g的變換下不變的點(diǎn)x。
24. 穩(wěn)定化子（Stabilizer）：G作用在X上灸眼，x的穩(wěn)定化子是滿足gx=x的所有g(shù)的集合卧檐。
25. 軌道（Orbit）：G作用在X上，x的軌道是對于任意gx=y中y的集合焰宣。
26. 軌道-穩(wěn)定化子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）：若G_x是x的穩(wěn)定化子霉囚，O_x是x的軌道，那么|G_x|*|O_x|=|G|宛徊。

4.群論的應(yīng)用

1. 證明費(fèi)馬小定理（Fermat's little theorem）：對Z_p*應(yīng)用拉格朗日定理可得佛嬉。
2. 證明威爾遜定理（Wilson's theorem）：Z_p*中除了p-1的階為2，其它非平凡元素的階都大于2闸天，因此這些元素都可以找到配對的逆元素，每一對配對的元素的乘積都為1斜做，因此所有元素的乘積等于p-1苞氮。

參考資料

Group Theory Brilliant
《代數(shù)學(xué)引論（第一卷）基礎(chǔ)代數(shù)》 柯斯特利金
《代數(shù)學(xué)引論（第三卷）基本結(jié)構(gòu)》 柯斯特利金