一、是什么类早？
??? 1.大家的認(rèn)為：
美國現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家西蒙說:“表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)媚媒，它說明問題在頭腦中是如何表現(xiàn)出來的∩В”
心理學(xué)研究表明缭召，學(xué)生在學(xué)習(xí)與練習(xí)的基礎(chǔ)上，將知識編碼后以表象代碼及命題代碼形式儲存在大腦中令哟。數(shù)學(xué)表征反映著學(xué)生掌握知識的認(rèn)知程度恼琼，它是用一種形式(物理的或心理的)將數(shù)學(xué)對象的想法、知識重新表現(xiàn)出來屏富，是學(xué)生對信息的加工晴竞、建構(gòu)以及儲存的方式。
美國著名教育心理學(xué)家萊許用外在多元表征結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（見圖1）來說明數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程狠半。
布魯姆根據(jù)學(xué)生思維活動水平高低噩死，區(qū)分出三類表征：借助實(shí)物操作活動完成思維的動作表征，根據(jù)實(shí)物影像在頭腦中制作心像進(jìn)而展開內(nèi)在思維活動的圖像表征神年，主體思維直接對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行思維操作的符號表征已维。
從數(shù)學(xué)表征的本質(zhì)出發(fā)，多元外在表征分為“數(shù)（數(shù)學(xué)對象的言語化表征）”和“形（數(shù)學(xué)對象的視覺化表征）”兩類已日，可以借助直角坐標(biāo)系對外在表征類型進(jìn)行定位垛耳。從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度，數(shù)學(xué)表征分為形式化飘千、圖像化堂鲜、動作化和語言化等四類表征，或者分為符號护奈、言語缔莲、圖像和體驗等四類表征。從變式教學(xué)的角度霉旗，概念教學(xué)和問題解決存在表征與變式系統(tǒng)痴奏。
2.我的理解：
“表征”蛀骇，“表”就是表達(dá)，“征”就是表露出來的跡象读拆；現(xiàn)象擅憔，如：特征。
“數(shù)學(xué)表征”就是把一些概念或關(guān)系抽象成不同的現(xiàn)象來表達(dá)建椰。是數(shù)學(xué)抽象雕欺、數(shù)學(xué)邏輯與數(shù)學(xué)表達(dá)的有機(jī)結(jié)合岛马，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的替代棉姐。
判斷學(xué)生的“數(shù)學(xué)表征能力”，就是看學(xué)生是平路能夠有自己與眾不同的清晰表達(dá)啦逆，來證明自己的理解伞矩。
表征的不同表現(xiàn)形式：口頭語言、文字符號夏志、圖形圖表乃坤、模型、情境表征沟蔑、操作性表征湿诊。
江蘇有位名師叫盧清榮的，曾經(jīng)研究過數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換瘦材，把數(shù)學(xué)語言分為：文字語言厅须、圖形語言、符號語言食棕。
二朗和、與其他數(shù)學(xué)其他關(guān)鍵能力的關(guān)系
（1）與變換能力???
數(shù)學(xué)表征是不同的表現(xiàn)方式，變換能力是每一種表現(xiàn)方式中的變換簿晓，比如：畫圖眶拉，可以添加輔助線來溝通已知與未知的關(guān)系，讓題目變得簡單憔儿。
（2）與其他能力
問題提出之后忆植，學(xué)生談自己的理解，然后用不同的表現(xiàn)形式表達(dá)出來谒臼，貫穿于整個問題解決的過程朝刊，與問題提出能力、數(shù)學(xué)交流能力緊密相關(guān)屋休。
三坞古、怎么樣？
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樣態(tài)多種多樣劫樟，學(xué)習(xí)媒介與路徑也不盡相同痪枫，不同的數(shù)學(xué)思維方式獲得不同的數(shù)學(xué)理解织堂，得到不同的數(shù)學(xué)發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維的過程和結(jié)果奶陈，既有內(nèi)隱心理層面的反應(yīng)易阳，也有外顯可視可聽可感的數(shù)學(xué)化表達(dá)，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)吃粒。
目前潦俺，數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)越來越進(jìn)入日常教育教學(xué)與研究之中，以順應(yīng)當(dāng)下多元學(xué)習(xí)方式的需求徐勃，豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式與形式事示，有效地將學(xué)生的心理與思維外顯，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解與專業(yè)表達(dá)僻肖，力求在數(shù)學(xué)教學(xué)中讓知識內(nèi)核“看得見”肖爵、思維過程“看得清”、理性思維“看得深”臀脏，提升師生分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象劝堪、闡釋數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思維水平。
眾多研究表明揉稚，多元表征通過相互協(xié)調(diào)秒啦、滲透與互補(bǔ)，能有效降低認(rèn)知負(fù)荷搀玖，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解余境、解決數(shù)學(xué)問題。小學(xué)生以具體形象思維為主巷怜，呈現(xiàn)明顯的線性路徑葛超，動作、影像和符號三者的表征系統(tǒng)相輔相成延塑、互相促進(jìn)绣张，是學(xué)生認(rèn)知生長或智慧生長的核心。在多元表征過程中关带，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是將一種表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為另一種表達(dá)形式侥涵，其本質(zhì)保持不變。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要基于知識發(fā)生發(fā)展的邏輯起點(diǎn)宋雏，也要基于學(xué)生的經(jīng)驗起點(diǎn)芜飘。單一表征往往停留在問題表面或某一面，導(dǎo)致“對問題內(nèi)涵及本質(zhì)準(zhǔn)確刻畫的缺位”磨总。相比單一表征嗦明，多元表征具有角色互補(bǔ)、限制解釋蚪燕、建構(gòu)深度理解三大認(rèn)知功能娶牌，平行或串行的多元表征利于知識系統(tǒng)全面深入的理解奔浅，達(dá)成數(shù)學(xué)概念的意義建構(gòu)。就“數(shù)學(xué)知識引入”“數(shù)學(xué)知識理解”“數(shù)學(xué)知識應(yīng)用”而言诗良，不同的學(xué)習(xí)進(jìn)程得以不同的表征方式體現(xiàn)與表達(dá)汹桦，通過適時轉(zhuǎn)換或轉(zhuǎn)譯發(fā)揮多元表征各自的功效，合力加速數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展[34]鉴裹。多元表征對數(shù)學(xué)教學(xué)具備必要性舞骆，既是認(rèn)知負(fù)荷理論的必然結(jié)果，又是數(shù)學(xué)智慧課堂的必然選擇径荔，并為解決問題提供新平臺督禽，有效減輕學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷、發(fā)展數(shù)學(xué)智慧猖凛。為此赂蠢，需要重視應(yīng)用多元表征促進(jìn)數(shù)學(xué)理解绪穆，并且從表征之間或從非標(biāo)準(zhǔn)變式找聯(lián)系辨泳。
于是，教師既要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用表象代碼對概念進(jìn)行描繪性表征玖院，便于傳遞具體信息菠红，又要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用語義代碼對概念進(jìn)行敘述性表征，便于傳遞抽象信息难菌，從而既形成言語記憶痕跡又形成視覺記憶痕跡试溯，發(fā)展數(shù)學(xué)語言。
一般來說郊酒，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動需要經(jīng)歷“具體直觀到一般抽象遇绞、再回歸思維具體”的思維路徑，提增數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的參與效度與學(xué)習(xí)深度燎窘∧∶觯“實(shí)物操作—圖像操作—符號操作”的三次轉(zhuǎn)化與提升，符合學(xué)生認(rèn)識事物的“直觀水平褐健、表象水平付鹿、抽象水平”認(rèn)知階段。信息打包蚜迅、空間鄰近舵匾、時間臨近、一致性谁不、雙通道和增強(qiáng)深度學(xué)習(xí)坐梯，是基于數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)理論的創(chuàng)課設(shè)計的六項基本原則。
認(rèn)知模型能更好地指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐刹帕，具體課例實(shí)踐能形成多元教學(xué)范例吵血，產(chǎn)生較好指導(dǎo)意義馏段。比如聚焦于圖像表征的以“讀圖”為入口初步感知數(shù)學(xué)、以“體驗”為保證展現(xiàn)表征過程践瓷、以“畫圖”為突破促進(jìn)知識內(nèi)化院喜、以“互譯”為深化引導(dǎo)靈活運(yùn)用，并建立圖像表征過程與數(shù)學(xué)理解過程的關(guān)系圖譜（見圖晕翠。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時喷舀，在動作表征中引入概念、肖像表征中抽象概念淋肾、符號表征中形成概念硫麻，綜合表征中內(nèi)化概念，使認(rèn)知既有具體化又有形式化樊卓，經(jīng)歷“把握起點(diǎn)拿愧，多元并重，初步感知”“加強(qiáng)轉(zhuǎn)換碌尔，個性表征浇辜，概念生成”“科學(xué)組合，合理表征唾戚，理解概念”“溝通聯(lián)系柳洋，完整表征，深化理解”的教學(xué)流程叹坦。
事實(shí)上熊镣，以上的數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)是從教學(xué)環(huán)節(jié)把認(rèn)知過程提煉為線性關(guān)系，然而現(xiàn)實(shí)是多元表征學(xué)習(xí)許多時候呈現(xiàn)非線性組合推進(jìn)募书，建構(gòu)為數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的認(rèn)知模型：人腦對數(shù)學(xué)多元表征信息進(jìn)行加工绪囱、提取與存儲，并且整個認(rèn)知過程由工作記憶和長時記憶兩個系統(tǒng)協(xié)調(diào)完成莹捡，通過工作記憶加工鬼吵，言語系統(tǒng)與心像系統(tǒng)的交匯處或交集則貯存整合碼。教學(xué)設(shè)計還須從“突出數(shù)學(xué)本質(zhì)思考”“把握課程標(biāo)準(zhǔn)定位”“分析教材內(nèi)容特征”“了解學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)”“開展課堂活動教學(xué)”等五方面注意多元表征的實(shí)踐應(yīng)用[54]道盏。然而而柑，現(xiàn)實(shí)教學(xué)的諸多設(shè)計與實(shí)施存在過于偏向符號表征、忽視表征的發(fā)展層次荷逞、忽略表征間的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯等不良傾向[55]媒咳，教師要根據(jù)知識本質(zhì)適切關(guān)照表征形式的多樣化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息本質(zhì)的外顯化及豐富化种远，引領(lǐng)知識學(xué)習(xí)的意義建構(gòu)涩澡。
目前問題：
從表征形式來看，存在“重外輕內(nèi)”現(xiàn)象坠敷，多元內(nèi)在表征被弱化妙同。實(shí)踐或?qū)嵶C研究都需要理論支撐,從而雙向展開理論的實(shí)踐性解讀與實(shí)踐的理論性反思射富，然而文獻(xiàn)內(nèi)容表明，多元外在表征研究豐富粥帚，而多元內(nèi)在表征研究偏弱胰耗。一方面，多元內(nèi)在表征更多需要內(nèi)隱的心智理論技術(shù)支撐芒涡，本源性認(rèn)知層面的心理機(jī)制的解釋與解讀涉及不多柴灯、深入不足。另一方面费尽，國內(nèi)對心理機(jī)制的研究相較國外顯得單薄赠群，并且理論研究要求較高，研究者相對集中于高校學(xué)者或碩博學(xué)生旱幼。
從教學(xué)實(shí)施來看查描，存在“實(shí)例虛類”現(xiàn)象，“類”教學(xué)范式被虛化柏卤。數(shù)學(xué)多元表征的研究雖有較多具體翔實(shí)的課例經(jīng)驗冬三，但這是集中于某個“節(jié)點(diǎn)”課時的碎片化，缺失面上的“類”結(jié)構(gòu)的普適意義闷旧，“類”結(jié)構(gòu)教學(xué)范式被虛化长豁。一是少有如何具體實(shí)現(xiàn)表征內(nèi)的自我轉(zhuǎn)換以及表征間的相互轉(zhuǎn)譯的研究。二是少有某個具體的單一表征的深度研究忙灼。三是鮮有小學(xué)數(shù)學(xué)教材表征樣態(tài)的研究。比如就動作表征而言钝侠，有著怎樣的教學(xué)價值该园？小學(xué)數(shù)學(xué)教材中哪里適合應(yīng)用？如何有效實(shí)施帅韧？背后的心理機(jī)制是什么里初？缺失了面上的統(tǒng)領(lǐng)，一線教師難以獲得清晰而全面的理解忽舟，也難以科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貞?yīng)用到日常教學(xué)之中双妨，更難從整體上實(shí)現(xiàn)從抽象“一類課”范式到具體“一節(jié)課”課例的交流互鑒。
四叮阅、怎么用刁品？
如何應(yīng)用多元表征助力數(shù)學(xué)教學(xué)有著不同的教學(xué)策略。從數(shù)學(xué)多元表征中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)浩姥、向數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)挑随、用數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的有效理念和策略勒叠《蛋ぃ“精深挖掘資源膏孟，探索數(shù)學(xué)表征的多元化”“運(yùn)用教育機(jī)智，達(dá)到多元表征的最優(yōu)化”能讓數(shù)學(xué)課程智慧起來拌汇∑馍＃基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“過程受限”，把直觀表征引入數(shù)學(xué)概念噪舀、多元表征變式加深數(shù)學(xué)理解幕垦、引導(dǎo)學(xué)生自己創(chuàng)建多元表征就很有必要。為了更好地賦能學(xué)生數(shù)學(xué)思維自然生長的力量傅联，不妨多元化呈現(xiàn)助推數(shù)學(xué)理解先改、多元化勾連構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)、多元化外顯引發(fā)思維可視蒸走，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中多元并重仇奶、加強(qiáng)轉(zhuǎn)換、尊重個性比驻，從縱向该溯、橫向、縱橫結(jié)合三個視角多層次别惦、多視角狈茉、多維度經(jīng)歷數(shù)學(xué)形成過程，注重數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象多樣化呈現(xiàn)以促進(jìn)數(shù)學(xué)知識多元建構(gòu)掸掸，注重數(shù)學(xué)內(nèi)在表征的多元聯(lián)系以促進(jìn)多元表征轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)譯氯庆，注重數(shù)學(xué)內(nèi)在表征的多元外化以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維可視可感，以及數(shù)學(xué)多元表征形成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)扰付、互換互譯和內(nèi)外循環(huán)促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生堤撵。但是多元表征并不是每堂課都適用，也不是每個學(xué)生都能在課上得到最大的收獲羽莺。
說思維
“說" 依賴于有用的語言表征实昨，語言是實(shí)現(xiàn)說數(shù)學(xué)的工具，而語言包含了理解與反思盐固，因此“說"的本質(zhì)就是在認(rèn)同對方語言表征基礎(chǔ)上人與人之間的交流與互惠荒给。“說數(shù)學(xué)”是以師生刁卜、生生交互對話為表征與載體的教學(xué)活動志电，它是相對于傳統(tǒng)的“獨(dú)白式”教學(xué)而言的“溝通式”教學(xué)。教學(xué)是師生雙方共同的活動长酗，它存在于教師與學(xué)生在教學(xué)中的交互性溪北，若“說”與教學(xué)過程共謀，師生的主體間性就會被建構(gòu)出來，從而就能實(shí)現(xiàn)師生的精神相遇之拨，獲得“認(rèn)知共振茉继、思維同步與情感共鳴”的效果。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上是數(shù)學(xué)思維模式的構(gòu)建蚀乔，需要學(xué)生在自己的學(xué)習(xí)空間中獨(dú)立地構(gòu)建烁竭，因為數(shù)學(xué)知識是個體在解決所感知到的數(shù)學(xué)問題過程中獲得的，在這個過程中吉挣，個體依序建構(gòu)了活動(Actions)派撕、程序(Processes) 和對象(Objects)，最終組織成用以解決問題情境的圖式結(jié)構(gòu)( Schemas)睬魂，任何外來的“強(qiáng)加”或“灌輸”都不能讓學(xué)生獲
得數(shù)學(xué)真實(shí)的體驗终吼。
數(shù)學(xué)多元表征是將同一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象用本質(zhì)不同的多種形式表征，通過表征內(nèi)部的自身轉(zhuǎn)換和表征之間的相互轉(zhuǎn)譯氯哮，以及聯(lián)系或變式[6]對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響际跪，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)理解與問題解決。
五喉钢、未來展望
在國內(nèi)姆打，數(shù)學(xué)多元表征歷經(jīng)12年的短暫發(fā)展，整體上仍屬于起步階段肠虽，但是數(shù)學(xué)多元表征研究已逐步成為鮮活主題與熱門話題幔戏，取得了較為豐富的研究成果，還可以從以下幾方面開展進(jìn)一步探索税课。
（一）進(jìn)一步豐富多元表征的研究主體
從最近幾年的文獻(xiàn)來看闲延，小學(xué)數(shù)學(xué)教師研究成果呈現(xiàn)發(fā)展趨勢，小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域數(shù)學(xué)多元表征有著廣泛的研究空間伯复。后續(xù)研究中慨代，需要進(jìn)一步豐富研究主體，加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的研究共同體建設(shè)啸如，加強(qiáng)小學(xué)與高校的聯(lián)合教研體建設(shè)，實(shí)現(xiàn)高校學(xué)者的理論優(yōu)勢與小學(xué)數(shù)學(xué)教師的一線實(shí)踐經(jīng)驗的雙向配合氮惯，共同協(xié)作開展多元表征的理論建構(gòu)與實(shí)踐探索叮雳，增強(qiáng)理論研究與實(shí)踐研究的指導(dǎo)意義，增強(qiáng)教師自身生長感與獲得感妇汗。
（二）進(jìn)一步關(guān)注多元表征的心理內(nèi)涵
數(shù)學(xué)多元表征的研究要從關(guān)注實(shí)踐思辨帘不，轉(zhuǎn)向更深層次的理論研究與心智探索。一方面高校教師加強(qiáng)心理學(xué)杨箭、腦科學(xué)寞焙、神經(jīng)學(xué)等內(nèi)部心理機(jī)制研究艘绍，從“外”而“內(nèi)”胚泌，走向深度理解，解構(gòu)認(rèn)知原理。另一方面始衅，心理機(jī)制的研究于小學(xué)一線教師而言具有較高的挑戰(zhàn)，他們更需多加關(guān)注與學(xué)習(xí)备绽，為實(shí)踐經(jīng)驗找到更深入的學(xué)理支撐嚼贡，進(jìn)一步跳出經(jīng)驗總結(jié)思辨。第三方面娘扩，回歸與審慎心理認(rèn)知發(fā)展規(guī)律着茸，尤其是心理學(xué)層面的解釋與解讀,雙向展開理論的實(shí)踐性解讀與實(shí)踐的理論性反思，通過實(shí)踐樣態(tài)“看到”其背后的內(nèi)隱心智元素琐旁，從而助力于更好地分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象涮阔、概念或問題，有效設(shè)計并應(yīng)用多元表征灰殴，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解與認(rèn)知建構(gòu)敬特。在一定量的實(shí)踐研究之后，勢必會逐步轉(zhuǎn)入更深層次的理論研究與心理學(xué)基礎(chǔ)研究验懊，提供更為豐富的多元表征學(xué)習(xí)的源動力擅羞。
（三）進(jìn)一步拓展多元表征的研究內(nèi)容
多元表征的研究內(nèi)容還需進(jìn)一步橫向拓寬多元表征的研究領(lǐng)域，縱向加深單一表征的專項研究义图，從而扎根數(shù)學(xué)課堂减俏、生根數(shù)學(xué)思維、養(yǎng)根學(xué)習(xí)歷程碱工。一是范式研究娃承。具體就動作表征、圖像表征怕篷、符號表征等單一表征開展專題深度研究历筝，不斷聚焦并縱深建構(gòu)，形成不同側(cè)重的教學(xué)范式廊谓。二是盲點(diǎn)突破梳猪。相對而言，多元表征的研究比較關(guān)注概念教學(xué)蒸痹，聚力于數(shù)與代數(shù)春弥、圖形與幾何領(lǐng)域，數(shù)學(xué)運(yùn)算叠荠、直觀想象匿沛、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理榛鼎、數(shù)學(xué)建模多有涉及逃呼，而承載數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計與概率領(lǐng)域?qū)儆诿c(diǎn)鳖孤，有待突破。三是教材研究抡笼。梳理出教材例題的表征形式與教學(xué)建議苏揣，探索并形成教材例題表征手冊，提供借鑒啟迪蔫缸。四是表征評價腿准。重視表征內(nèi)的自我轉(zhuǎn)換以及表征間的相互轉(zhuǎn)譯的效果評價，尤其是學(xué)生自主應(yīng)用表征解讀數(shù)學(xué)概念拾碌、解決數(shù)學(xué)問題的意識與路徑能力吐葱，研究多元表征評價維度，審慎并促進(jìn)多元表征的應(yīng)用過程與設(shè)計優(yōu)化校翔。
