線性代數(shù)筆記35[系列結(jié)束]

總復習

（1）
Ax=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]無解
Ax=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 0 \end{array}} \right]只有一個解
a. 求 m n r 確定A
答：m=3
第一行無解，說明不是行滿秩r<m
第二行箩做，說明列滿秩，r=n
所以\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 0 \end{array}} \right]
或者\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]

b.判斷det(A^TA)=det(AA^T)
A^TA是nxn骄酗，滿秩方陣稀余，可逆，行列式不為零
AA^T是mxm趋翻，不滿秩睛琳，不可逆，行列式為零踏烙，所以肯定不相等
c.AA^T是否正定
不滿秩师骗，對角化后對角線上又0存在，肯定不正定
d. A^Ty=c至少存在1個解讨惩，對于每一個c
A^Ty=c存在無窮個解辟癌，對于每一個c
對于A^T行滿秩n=r，它的零空間維數(shù)是m-r荐捻，所以又無窮多解

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矩陣具有特征值0和3黍少，對應的特征向量分別為[1;2],[2;1]，求原矩陣A
A=S^{-1} \Lambda S=\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1\\ 1&2 \end{bmatrix} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat C}\\ {\hat D} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4\\ 1 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat C}\\ {\hat D} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {11/3}\\ { - 1} \end{array}} \right]
求投影p处面，(b到A的列空間的投影)
將\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat C}\\ {\hat D} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {11/3}\\ { - 1} \end{array}} \right] 帶入可得 \begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1\\ 1&2 \end{bmatrix} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {11/3}\\ { - 1} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {11/3}\\ {8/3}\\ {5/3} \end{array}} \right]
就是Pb
看成的直線的是y=C+Dx厂置，然后分別在[0,1,2]上對應的點是[3,4,1]

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系列結(jié)束。

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