作者：我愛小豬 ? ?公眾號：情人節(jié)的一束玫瑰

詩經(jīng).蒹葭

蒹葭蒼蒼，白露為霜胁黑。所謂伊人废封，在水一方。

溯洄從之丧蘸，道阻且長漂洋。溯游從之，宛在水中央力喷。

蒹葭萋萋刽漂，白露未晞。所謂伊人弟孟，在水之湄贝咙。

溯洄從之，道阻且躋拂募。溯游從之庭猩，宛在水中坻窟她。

蒹葭采采，白露未已蔼水。所謂伊人震糖，在水之涘。

溯洄從之趴腋，道阻且右吊说。溯游從之，宛在水中沚优炬。

《蒹葭》是一首愛情詩颁井，生動了描寫了戀愛中一個癡情人對朝思暮想的意中人遍尋不得的曲折和惆悵。對于每一位立志學(xué)好電信專業(yè)的學(xué)子而言蠢护，這傅里葉變換便如那位可望而不可即的伊人雅宾，既讓人無限牽掛，又讓人難以捉摸葵硕。每當(dāng)想起了傅里葉變換秀又，心中便不由的升起一片迷惘與感傷的情調(diào)。

十九世紀(jì)的歐洲大陸可謂群星閃耀贬芥，能人輩出。在法拉第出生前二十三年（1768年）宣决，另一個偉大的人物巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉出生于法國中部歐塞爾一個貧苦的裁縫家中蘸劈。可就是這樣一個貧苦的家庭也沒有維持多久尊沸，這個可憐的男孩子9歲時就成了孤兒威沫，被當(dāng)?shù)氐慕烫檬震B(yǎng)。稍大一點主教便送他地方軍校讀書洼专。1798年棒掠，三十歲的傅里葉跟隨著名的拿破侖皇帝遠(yuǎn)征埃及公浪，3年后回國任伊澤爾省地方長官厕诡。

當(dāng)了官的傅里葉并沒有放棄自己的追求，他開始利用自己的業(yè)余時間蜓耻，研究當(dāng)時的世界性難題——熱傳導(dǎo)問題蜡镶。1807年雾袱，經(jīng)過7年（一段足以讓一個人從小白成為專家的時間）的認(rèn)真研究，傅里葉發(fā)現(xiàn)了熱傳導(dǎo)中的一些規(guī)律官还，并寫成了論文《熱的傳播》芹橡，在論文中傅里葉推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，率先提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)的概念望伦。然而林说，這篇論文投到法國科學(xué)院后煎殷，并沒有被認(rèn)同，拉格朗日腿箩、拉普拉斯和勒讓德作為審稿人豪直，認(rèn)為論文中的一些推導(dǎo)不夠完善，拒絕發(fā)表度秘。傅里葉被拒稿后沒有灰心顶伞，而是進(jìn)行了更細(xì)致深入的研究，4年后剑梳，這篇修改稿再度被遞交給法國科學(xué)院唆貌，并獲得了科學(xué)院大獎。之后垢乙，傅立葉又將歐拉锨咙、伯努利等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，并于1822年出版了專著《熱的解析理論》(Theorieanalytique de la Chaleur 追逮，Didot 酪刀，Paris，1822)钮孵。這部經(jīng)典著作三角級數(shù)后來就以傅立葉的名字命名骂倘，這就是著名的傅里葉變換。

可見巴席，這傅里葉變換原本為了研究熱傳導(dǎo)問題而提出的历涝，是泊松和高斯將傅里葉變換引入了電學(xué)；不像法拉第一開始就奠定了電信的基礎(chǔ)漾唉，這便是把傅里葉放在法拉第之后的原因荧库。然而，當(dāng)傅里葉變換一旦引入了電信學(xué)科赵刑，便成為電信學(xué)子心中永遠(yuǎn)的痛分衫。

第一次知道傅里葉，是在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時候般此，那時候只知道傅里葉級數(shù)的一些基本公式蚪战，可以說除了知道這個名字，并不知道還有什么意義铐懊；

第二次相遇屎勘，是在學(xué)習(xí)電路分析的時候。那時候我們已經(jīng)習(xí)慣了處理線性系統(tǒng)居扒，也知道利用相量法來處理單頻正弦信號概漱。我們開始知道可以利用傅里葉級數(shù)把周期信號進(jìn)行分解從而利用疊加原理當(dāng)作多個單頻信號進(jìn)行處理；當(dāng)然我們也可以用傅里葉變換把隨時間變換的信號變成頻域信號從而更方便信號的處理喜喂。但我們并不知道具體該怎么做瓤摧。

第三次相遇竿裂，是在信號與系統(tǒng)。這時候傅里葉變換從幕后來到臺前照弥，成為課程的主角腻异，我們花了很多的力氣去了解去學(xué)習(xí)，但對傅里葉變換的認(rèn)識这揣，似乎還停留在只知道它能夠?qū)崿F(xiàn)從時域到頻域的變換悔常；只知道利用它復(fù)雜的卷積運(yùn)算可以被頻域相乘替換；如何還有一點那便是知道無論是頻域還是時域给赞，同一個信號的總能量不可能變換机打；我們覺得自己已經(jīng)非常努力，可是知道的也就是這么多片迅。

后來残邀，我們與傅里葉變換接觸的機(jī)會越來越多，在數(shù)字信號處理里見過柑蛇，在通信原理里見過芥挣，其實，如果認(rèn)真的想想耻台，我們也許會發(fā)現(xiàn)空免，在任何一個有頻域的地方，傅里葉變換都曾經(jīng)出現(xiàn)過盆耽，然而每一次出現(xiàn)鼓蜒，卻又帶給我們不一樣的感覺。

傅里葉變換似乎總在我們身邊征字，可是上窮碧落下黃泉，卻總是難以捉摸這傅里葉變換的種種內(nèi)涵娇豫。

無數(shù)的人討論過傅里葉變換匙姜，但總是剪不斷理還亂，才剛剛掀起她的面紗冯痢，倏忽又遍尋不見氮昧。那么為什么會這樣呢？

首先給大家科普一下什么是傅里葉變換浦楣。

你聽過鋼琴曲嗎袖肥？當(dāng)你打開音響的時候，一首優(yōu)美的鋼琴曲就隨著時間的推移慢慢的播放出來振劳，這音樂有時候低緩椎组，有時候激昂，一段時間過去了历恐，這首曲子也播完了寸癌。有些音響功能很強(qiáng)大专筷，在播放音樂的時候，還可以看到一個指示燈隨著聲音的高低舒緩不停的變化起伏蒸苇。想到這些我們就不難理解磷蛹，這些曲子的音調(diào)高低是隨著時間在變換的，用一個專業(yè)的術(shù)語來說溪烤，曲子是時間的函數(shù)味咳，對應(yīng)于每個時間點，有不同的音調(diào)檬嘀。

但是我們還知道槽驶，對于專業(yè)鋼琴家來說，不管在什么時間枪眉，TA都能用鋼琴復(fù)現(xiàn)這個曲子捺檬，復(fù)現(xiàn)的時候，TA是按照琴鍵也就是音階來的贸铜。那也就是說曲子和音階直接是有聯(lián)系的堡纬，所以曲子也是音階的函數(shù)。

既然同一首曲子即是時間的函數(shù)蒿秦，又是音階的函數(shù)烤镐，那么這兩者之間比如產(chǎn)生一種聯(lián)系。如果你還知道音階的不同主要是因為琴鍵抖動頻率的不同產(chǎn)生的棍鳖，那么傅里葉變換幾乎就呼之欲出了炮叶。是的，直觀的說傅里葉變換就是力圖找出這同一個曲子的時間和頻率聯(lián)系的一種變換渡处。

這種轉(zhuǎn)換有個高大上的名字叫做時-頻轉(zhuǎn)換镜悉，傅里葉變換就是把時域信號轉(zhuǎn)換成頻域信號，反傅里葉變換就是把頻域信號轉(zhuǎn)回時間信號医瘫。

那么什么是時域侣肄，什么是頻域？時域就是信號的大小隨著時間變換的關(guān)系醇份，就是把信號表示成一個時間的函數(shù)f(t)稼锅，橫軸是時間，縱軸是幅值;什么是頻域僚纷？頻域是信號由那些頻率的正弦信號疊加而成矩距，橫軸就是頻率，縱軸是對應(yīng)于這個頻率的信號幅度怖竭。

先從一個單頻正弦信號開始理解吧锥债。單頻正弦信號是一個在時間上無限延展的周期信號，也就是說只要知道了這個信號的幅度和頻率特征，也就可以完全的恢復(fù)出這個信號赞弥。當(dāng)時間的無限延長作為默認(rèn)條件時毅整，信號的幅度和頻率是最重要的信息，所以經(jīng)過傅里葉變換后绽左，這個正弦信號在頻域上橫軸就是一個頻點悼嫉，縱軸就是信號在這個頻率上的振蕩幅度，這就是信號的頻域特性拼窥。

當(dāng)這個信號不是單頻正弦信號戏蔑，而是一個有周期重復(fù)的信號，怎么找到信號的頻率特性鲁纠？其實也很簡單总棵。首先周期重復(fù)，說明時間可以無限延展改含。信號既然可以周期(周期為T)重復(fù)情龄，那么在用三角函數(shù)重構(gòu)這個周期信號的時候，那些單頻正弦信號的周期會是這個待復(fù)現(xiàn)周期信號周期的整倍數(shù)（nT）捍壤。所以骤视，周期信號的頻域特性是一些離散的頻率點，可以稱為譜線鹃觉，這些頻點的間隔是周期的倒數(shù)（當(dāng)頻率的單位是赫茲時专酗，這個值是1/T）。這些譜線的高低與什么有關(guān)呢盗扇？與周期信號的形狀有關(guān)祷肯。周期信號單周期波形決定了整體的幅頻特性包絡(luò)，這個包絡(luò)中是一些離散的譜線疗隶，譜線的間隔是周期信號周期的倒數(shù)1/T佑笋。這時仍然默認(rèn)時間是無限延展的。

當(dāng)信號只在有限時間內(nèi)持續(xù)的時候怎么辦呢斑鼻？這時候可以這樣認(rèn)為蒋纬，一個周期重復(fù)的時間函數(shù)與一個時間窗函數(shù)在時域上相乘，時域的相乘對應(yīng)于頻域的卷積卵沉，因此這時候信號的頻譜特性是這個周期重復(fù)信號的頻譜與時間窗函數(shù)頻譜的卷積。單周期波形決定了整體的幅頻特性包絡(luò)法牲，這個包絡(luò)中是一些離散的譜線史汗，譜線的間隔時間窗T的倒數(shù)1/T，在這些離散譜線上拒垃，還需要卷積上窗函數(shù)的頻譜特性停撞。

其實任何一個持續(xù)時間為T的時間窗函數(shù)，對應(yīng)的都是一個單邊帶寬為1/T的低通濾波，且這個濾波器的包絡(luò)是sin(x)/x形的戈毒。

當(dāng)這個時間函數(shù)不是在連續(xù)時間存在的艰猬，而是以時間間隔t0進(jìn)行采樣的結(jié)果，那么這個采樣時間又怎么在頻譜圖中體現(xiàn)呢埋市？仍是按照時間窗的概念去理解冠桃，只是這時候時間窗小到極點，成為一個抽樣函數(shù)道宅。這個原來連續(xù)信號的頻譜在這個抽樣函數(shù)頻譜的卷積作用下食听，被離散化了，譜線的間隔就是抽樣間隔的倒數(shù)污茵。

在講了這么多之后樱报，您一定會問，這個傅里葉變換看起來也挺麻煩的泞当，為什么要變來變?nèi)ツ兀?/p>

任何一個信號從一個點傳送到另一個點迹蛤，都需要一個通路，這個通路可以叫做信道襟士，也可以叫做傳輸系統(tǒng)盗飒，這兩個名字只是在不同環(huán)境下的稱呼罷了。當(dāng)信號通過系統(tǒng)傳輸?shù)臅r候敌蜂，一定會有些變化箩兽，比如打電話的時候，對方聽到的聲音會和你說話的時候略有不同章喉。

我們總是想知道信號通過一個特定系統(tǒng)的時候汗贫，到底會出來一個什么結(jié)果，這種想法在數(shù)學(xué)上表達(dá)的時候秸脱，就叫做卷積落包。但是卷積是一種很麻煩的運(yùn)算。就像我們開車從甲地到乙地摊唇，走國道一樣咐蝇，運(yùn)算很慢。

而如果能夠變換到頻域巷查，就像把車開到了高速公路上有序。在頻域計算的時候，相當(dāng)知道了信號是由哪些頻率分量組成的岛请，系統(tǒng)就相當(dāng)于是濾波器（任何一個系統(tǒng)都可以視為濾波器）旭寿，這時候信號通過系統(tǒng)之后，系統(tǒng)覺得好的崇败，就會留下盅称，系統(tǒng)覺得沒用的就給濾掉了肩祥。所以在接收機(jī)可以很明確的知道還剩下那些成分。這種運(yùn)算缩膝，只需要用乘法就可以實現(xiàn)混狠。當(dāng)然這種優(yōu)勢是有代價的，那就是信號通過系統(tǒng)之前要交費疾层，就是進(jìn)行傅里葉變換将饺，而離開系統(tǒng)之后也要付費，就是進(jìn)行傅里葉反變換云芦。整個這個過程俯逾，只考慮頻率的特性，時間跑到哪里去了舅逸？是不是真的和時間無關(guān)了桌肴？當(dāng)然不是，時間默認(rèn)就是無限延長琉历，如果不是坠七，那么想辦法等效成無限延展就行了。

所以傅里葉變換旗笔，相當(dāng)于拋開了信號的時間觀念（默認(rèn)時間無窮）彪置，只考慮了決定信號最重要的幅度和頻率特性，自然就簡化了很多蝇恶。

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