原文地址：快速排序優(yōu)化詳解
正如它的名字所體現(xiàn)盯拱，快速排序是在實(shí)踐中最快的已知排序算法祥得，平均運(yùn)行時(shí)間為O(NlogN)允青，最壞的運(yùn)行時(shí)間為O(N^2)橄碾。算法的基本思想很簡單，然而想要寫出一個(gè)高效的快速排序算法并不是那么簡單颠锉》ㄉ基準(zhǔn)的選擇，元素的分割等都至關(guān)重要琼掠，如果你不清楚如何優(yōu)化快速排序算法拒垃，本文你不該錯(cuò)過。
公眾號(hào)：編程珠璣
算法思想
快速排序利用了分治的策略瓷蛙。而分治的基本基本思想是：將原問題劃分為若干與原問題類似子問題悼瓮，解決這些子問題戈毒，將子問題的解組成原問題的解。
那么如何利用分治的思想對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序呢横堡？假如有一個(gè)元素集合A：
- 選擇A中的任意一個(gè)元素pivot埋市，該元素作為基準(zhǔn)
- 將小于基準(zhǔn)的元素移到左邊，大于基準(zhǔn)的元素移到右邊（分區(qū)操作）
- A被pivot分為兩部分命贴，繼續(xù)對(duì)剩下的兩部分做同樣的處理
- 直到所有子集元素不再需要進(jìn)行上述步驟
可以看到算法思想比較簡單道宅，然而上述步驟實(shí)際又該如何處理呢？
如何選擇基準(zhǔn)
實(shí)際上無論怎么選擇基準(zhǔn)胸蛛，都不會(huì)影響排序結(jié)果污茵，但是不同的選擇卻可能影響整體排序時(shí)間，因?yàn)榛鶞?zhǔn)選擇不同葬项，會(huì)導(dǎo)致分割的兩個(gè)集合大小不同泞当，如果分割之后，兩個(gè)集合大小是幾乎相等的民珍，那么我們整體分割的次數(shù)顯然也會(huì)減少襟士，這樣整體耗費(fèi)的時(shí)間也相應(yīng)降低。我們來看一下有哪些可選擇策略穷缤。
選擇第一個(gè)或者最后一個(gè)
如果待排序數(shù)是隨機(jī)的敌蜂，那么選擇第一個(gè)或者最后一個(gè)作基準(zhǔn)是沒有什么問題的，這也是我們最常見到的選擇方案津肛。但如果待排序數(shù)據(jù)已經(jīng)排好序的章喉，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)很糟糕的分割。幾乎所有的數(shù)據(jù)都被分割到一個(gè)集合中身坐，而另一個(gè)集合沒有數(shù)據(jù)秸脱。這樣的情況下，時(shí)間花費(fèi)了部蛇，卻沒有做太多實(shí)事摊唇。而它的時(shí)間復(fù)雜度就是最差的情況O(N^2)。因此這種策略是絕對(duì)不推薦的涯鲁。
隨機(jī)選擇
隨機(jī)選擇基準(zhǔn)是一種比較安全的做法巷查。因?yàn)樗粫?huì)總是產(chǎn)生劣質(zhì)的分割。
C語言實(shí)現(xiàn)參考：
ElementType randomPivot(ElementType A[],int start,int end)
{
srand(time(NULL))
int randIndex = rand()%(end -start)+start;
return A[randIndex];
}
選擇三數(shù)中值
從前面的描述我們知道抹腿，如果能夠選擇到數(shù)據(jù)的中值岛请，那是最好的，因?yàn)樗軌驅(qū)⒓辖醯确譃槎ā５呛芏鄷r(shí)候很難算出中值崇败，并且會(huì)耗費(fèi)計(jì)算時(shí)間。因此我們隨機(jī)選取三個(gè)元素，并用它們的中值作為整個(gè)數(shù)據(jù)中值的估計(jì)值后室。在這里缩膝，我們選擇最左端，最右端和中間位置的三個(gè)元素的中值作為基準(zhǔn)岸霹。
假如有以下數(shù)組：
1 9 10 3 8 7 6 2 4
左端元素為1疾层，位置為0，右端元素為4松申，位置為8云芦，則中間位置為[0+8]/2=4俯逾，中間元素為8贸桶。那么三數(shù)中值就為4（1，4桌肴，8的中值）皇筛。
如何將元素移動(dòng)到基準(zhǔn)兩側(cè)
選好基準(zhǔn)之后，如何將元素移動(dòng)到基準(zhǔn)兩側(cè)呢坠七？通常的做法如下：
- 將基準(zhǔn)元素與最后的元素交換水醋，使得基準(zhǔn)元素不在被分割的數(shù)據(jù)范圍
- i和j分別從第一個(gè)元素和倒數(shù)第二個(gè)元素開始。i在j的左邊時(shí)彪置，將i右移拄踪，直到發(fā)現(xiàn)大于等于基準(zhǔn)的元素，然后將j左移拳魁，直到發(fā)現(xiàn)小于等于基準(zhǔn)的元素惶桐。i和j停止時(shí)，元素互換潘懊。這樣就把大于等于基準(zhǔn)的移到了右邊姚糊，小于等于基準(zhǔn)的移到了左邊
- 重復(fù)上面的步驟，直到i和j交錯(cuò)
- 將基準(zhǔn)元素與i所指向的元素交換授舟，使得基準(zhǔn)元素將整個(gè)元素集合分割為小于基準(zhǔn)和大于基準(zhǔn)的元素集合
在們采用三數(shù)中值得方法選擇基準(zhǔn)的情況下救恨，既然基準(zhǔn)是中值，實(shí)際上只要保證左端释树，右端肠槽，中間值是從小到大即可。還是以前面提到的數(shù)組為例奢啥，我們找到三者后秸仙，對(duì)三者進(jìn)行排序如下：
排序前
| ↓ | ↓ | ↓ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 10 | 3 | 8 | 7 | 6 | 2 | 4 |
排序后
| ↓ | ↓ | ↓ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 10 | 3 | 4 | 7 | 6 | 2 | 8 |
如果是這樣的情況，那么實(shí)際上不需要把基準(zhǔn)元素和最后一個(gè)元素交換扫尺，而只需要和倒數(shù)第二個(gè)元素交換即可筋栋，因?yàn)樽詈笠粋€(gè)元素肯定大于基準(zhǔn)，這樣可以減少交換次數(shù)正驻。
如果前面的描述還不清楚弊攘，我們看一看實(shí)際中一趟完整的流程是什么樣的抢腐。
第一步，將左端襟交，右端和中間值排序迈倍，中值作為基準(zhǔn)：
| ↓ | ↓ | ↓ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 10 | 3 | 4 | 7 | 6 | 2 | 8 |
| 基準(zhǔn) |
第二步，將中值與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)交換位置：
| 交 | 換 | 位 | 置 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ↓ | ↓ | |||||||
| 1 | 9 | 10 | 3 | 2 | 7 | 6 | 4 | 8 |
| 基準(zhǔn) |
第三步捣域，i向右移動(dòng)啼染，直到發(fā)現(xiàn)大于等于基準(zhǔn)的元素9：
| 1 | 9 | 10 | 3 | 2 | 7 | 6 | 4 | 8 |
| ↑ | ↑ | ↑ | ||||||
| i | j | 基準(zhǔn) |
第四步，j向左移動(dòng)焕梅，直到發(fā)現(xiàn)小于等于基準(zhǔn)的元素2：
| 1 | 9 | 10 | 3 | 2 | 7 | 6 | 4 | 8 |
| ↑ | ↑ | ↑ | ||||||
| i | j | 基準(zhǔn) |
第五步迹鹅，交換i和j：
| 1 | 2 | 10 | 3 | 9 | 7 | 6 | 4 | 8 |
| ↑ | ↑ | ↑ | ||||||
| i | 交 | 換 | j | 基準(zhǔn) |
第六步，重復(fù)上述步驟贞言，i右移斜棚，j左移：
| 1 | 2 | 10 | 3 | 9 | 7 | 6 | 4 | 8 |
| ↑ | ↑ | ↑ | ||||||
| i | j | 基準(zhǔn) |
第七步，交換i和j指向的值：
| 1 | 2 | 3 | 10 | 9 | 7 | 6 | 4 | 8 |
| ↑ | ↑ | ↑ | ||||||
| i | j | 基準(zhǔn) |
第八步该窗，重復(fù)上述步驟弟蚀，i右移，j左移酗失，此時(shí)i和j已經(jīng)交錯(cuò)：
| 1 | 2 | 3 | 10 | 9 | 7 | 6 | 4 | 8 |
| ↑ | ↑ | ↑ | ||||||
| j | i | 基準(zhǔn) |
第九步义钉，i和j已經(jīng)交錯(cuò)，因此最后將基準(zhǔn)元素與i所指元素交換：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 9 | 7 | 6 | 10 | 8 |
| ↑ | ||||||||
| i |
到這一步的時(shí)候规肴，我們發(fā)現(xiàn)i的左邊都是小于i指向的元素捶闸，而右邊都是大于i的元素。最后在對(duì)子集進(jìn)行同樣的操作即可奏纪。
如何對(duì)子集進(jìn)行排序
遞歸法
最常見的便是遞歸法了鉴嗤。遞歸的好處是代碼簡潔易懂，但是不可忽略的是序调，當(dāng)遞歸嵌套過深時(shí)醉锅，它的效率問題以及棧溢出的風(fēng)險(xiǎn)可能會(huì)迫使你選擇非遞歸法。在前面對(duì)整個(gè)集合一分為二之后发绢，對(duì)剩下的兩個(gè)集合遞歸調(diào)用硬耍，直到完成排序。簡單描述如下(非可運(yùn)行代碼)：
void Qsort(int A[],int left,int right)
{
/*分區(qū)操作*/
int i = partition(A,left,right);
/*對(duì)子集遞歸調(diào)用*/
Qsort(A,left,i-1);
Qsort(A,i+1,right);
}
遞歸最需要注意的便是遞歸結(jié)束調(diào)用边酒，否則會(huì)產(chǎn)生無限遞歸经柴，從而發(fā)生棧溢出。
后面我們會(huì)看到墩朦，遞歸法的代碼非常簡潔坯认。（相關(guān)閱讀《重新看遞歸》）
尾遞歸
在遞歸版本中，Qsort分別遞歸調(diào)用計(jì)算左右兩個(gè)子集合，而第二個(gè)遞歸其實(shí)并非必須牛哺，完全可以用循環(huán)來替代陋气，以下代碼模擬實(shí)現(xiàn)了尾遞歸，（并非是真的尾遞歸）：
void Qsort(ElementType A[],int left,int right)
{
int i = 0;
while(left < right)
{
/*分割操作*/
i = partition(A,left,right);
/*遞歸調(diào)用*/
Qsort(A,left,i-1);
/*右半部分通過循環(huán)實(shí)現(xiàn)*/
left = i + 1;
}
}
非遞歸法
那么有沒有方法可以不用遞歸呢引润？既然遞歸每次都進(jìn)行壓棧操作巩趁，那么我們能不能分區(qū)后僅僅將區(qū)間信息存儲(chǔ)到棧里，然后從棧中取出區(qū)間再繼續(xù)分區(qū)呢淳附？顯然是可以的议慰。實(shí)際上我們每次分區(qū)時(shí)，只需要知道區(qū)間即可奴曙，那么將這些區(qū)間信息存儲(chǔ)起來别凹，就可以不用遞歸了，按照分好的區(qū)間不斷分區(qū)即可缆毁。
例如對(duì)于前面提到的數(shù)組番川，首先對(duì)區(qū)間[0,8]進(jìn)行分區(qū)操作到涂，之后得到兩個(gè)新的分區(qū)脊框，1,2,3和9，7践啄，6浇雹，10，8屿讽，假設(shè)兩個(gè)區(qū)間仍然可以使用快速排序昭灵，那么需要將區(qū)間[0,2]和[5,8]的其中一個(gè)壓棧，另一個(gè)繼續(xù)分區(qū)操作伐谈。
按照這種思路烂完，代碼簡單描述如下（非可運(yùn)行代碼）：
void Qsort(A,left,right)
{
while(STACK_IS_NOT_EMPTY)
{
/*分區(qū)操作*/
POP(lo,hi);
int mid = partition(A,lo,hi);
/*存儲(chǔ)新的邊界*/
PUSH(lo,mid-1);
PUSH(mid+1,hi);
}
}
當(dāng)然這里面沒有體現(xiàn)分區(qū)終止條件。我們需要在數(shù)據(jù)量小于一定值的時(shí)候诵棵，就不再繼續(xù)進(jìn)行分區(qū)操作了抠蚣，而是選擇插入排序（為什么？）履澳。
那么問題來了嘶窄，如何選擇棧的大小呢？查看qsort.c的源碼發(fā)現(xiàn)距贷，它選擇了如下的值：
#define STACK_SIZE (8* sizeof(unsigned long int));
為什么會(huì)是這個(gè)值呢柄冲？設(shè)想一下，假設(shè)待排序數(shù)組長度使用unsigned long int來表示忠蝗，并且假設(shè)每次都將集合分為二等分现横。那么即便數(shù)組長度達(dá)到最大值，實(shí)際上最多只需要分割8 *(sizeof(unsigned long int))次，也就將它分割完了戒祠。然而由于以下幾個(gè)原因晦攒，需要存儲(chǔ)在棧中的區(qū)間信息很難超出棧空間得哆，因?yàn)椋?/p>
- 數(shù)組長度不會(huì)接近unsigned long int脯颜，否則內(nèi)存也撐不住了
- 區(qū)間足夠小時(shí)，不采用快速排序
- 每做一個(gè)分區(qū)贩据，只會(huì)增加一個(gè)區(qū)間PUSH到棧中栋操，增長速度慢
注意事項(xiàng)
至此，快速排序所有的主要步驟已經(jīng)介紹完畢饱亮。但是有以下注意事項(xiàng)：
- 有大量重復(fù)元素時(shí)避免產(chǎn)生糟糕分區(qū)矾芙，因此在發(fā)現(xiàn)大于等于基準(zhǔn)或者小于等于基準(zhǔn)時(shí)，便停止掃描近上。
- 通常會(huì)將基準(zhǔn)一開始移動(dòng)到最后位置或倒數(shù)第二個(gè)位置剔宪，避免基準(zhǔn)在待分區(qū)區(qū)間。
- 對(duì)于很小的數(shù)組（N<=20）壹无，插入排序要比快速排序更好葱绒。因?yàn)榭焖倥判蛴羞f歸開銷，并且插入排序是穩(wěn)定排序斗锭。
- 如果函數(shù)本身的局部變量很少地淀，那么遞歸帶來的開銷也就越小岖是；如果遞歸發(fā)生棧溢出了帮毁，首先需要排除代碼設(shè)計(jì)問題。因此如果你設(shè)計(jì)的非遞歸版本效率低于遞歸版本豺撑，也不要驚訝烈疚。
注：假定在待排序的記錄序列中，存在多個(gè)具有相同的關(guān)鍵字的記錄聪轿，若經(jīng)過排序爷肝，這些記錄的相對(duì)次序保持不變，即在原序列中屹电，r[i]=r[j]阶剑，且r[i]在r[j]之前固蛾，而在排序后的序列中灿椅，r[i]仍在r[j]之前铲掐，則稱這種排序算法是穩(wěn)定的亚铁；否則稱為不穩(wěn)定的糯彬。--來自百科
遞歸版代碼實(shí)現(xiàn)
C語言代碼實(shí)現(xiàn)如下：
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
/*使用快速排序的區(qū)間大小臨界值酸员，可根據(jù)實(shí)際情況選擇*/
#define MAX_THRESH 4
typedef int ElementType;
/*元素交換*/
void swap(ElementType *a,ElementType *b)
{
ElementType temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
/*插入排序*/
void insertSort(ElementType A[],int N)
{
/*優(yōu)化后的插入排序*/
int j = 0;
int p = 0;
int temp = 0;
for(p = 1;p<N;p++)
{
temp = A[p];
for(j = p;j>0 && A[j-1] > temp;j--)
{
A[j] = A[j-1];
}
A[j] = temp;
}
}
/*三數(shù)中值法選擇基準(zhǔn)*/
ElementType medianPivot(ElementType A[],int left,int right)
{
int center = (left + right)/2 ;
/*對(duì)三數(shù)進(jìn)行排序*/
if(A[left] > A[center])
swap(&A[left],&A[center]);
if(A[left] > A[right])
swap(&A[left],&A[right]);
if(A[center] > A[right])
swap(&A[center],&A[right]);
/*交換中值和倒數(shù)第二個(gè)元素*/
swap(&A[center],&A[right-1]);
return A[right-1];
}
/*分區(qū)操作*/
int partition(ElementType A[],int left,int right)
{
int i = left;
int j = right-1;
/*獲取基準(zhǔn)值*/
ElementType pivot = medianPivot(A,left,right);
for(;;)
{
/*i j分別向右和向左移動(dòng)色冀，為什么不直接先i++在旱？*/
while(A[++i] < pivot)
{}
while(A[--j] > pivot)
{}
if(i < j)
{
swap(&A[i],&A[j]);
}
/*交錯(cuò)時(shí)停止*/
else
{
break;
}
}
/*交換基準(zhǔn)元素和i指向的元素*/
swap(&A[i],&A[right-1]);
return i;
}
void Qsort(ElementType A[],int left,int right)
{
int i = 0;
register ElementType *arr = A;
if(right-left >= MAX_THRESH)
{
/*分割操作*/
i = partition(arr,left,right);
/*遞歸*/
Qsort(arr,left,i-1);
Qsort(arr,i+1,right);
}
else
{
/*數(shù)據(jù)量較小時(shí)，使用插入排序*/
insertSort(arr+left,right-left+1);
}
}
/*打印數(shù)組內(nèi)容*/
void printArray(ElementType A[],int n)
{
if(n > 100)
{
printf("too much磨确，will not print\n");
return;
}
int i = 0;
while(i < n)
{
printf("%d ",A[i]);
i++;
}
printf("\n");
}
int main(int argc,char *argv[])
{
if(argc < 2)
{
printf("usage:qsort num\n");
return -1;
}
int len = atoi(argv[1]);
printf("sort for %d numbers\n",len);
/*隨機(jī)產(chǎn)生輸入數(shù)量的數(shù)據(jù)*/
int *A = malloc(sizeof(int)*len);
int i = 0;
srand(time(NULL));
while(i < len)
{
A[i] = rand();
i++;
}
printf("before sort:");
printArray(A,len);
/*對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序*/
Qsort(A,0,len-1);
printf("after sort:");
printArray(A,len);
return 0;
}
尾遞歸版代碼實(shí)現(xiàn)
略沽甥。
非遞歸版代碼實(shí)現(xiàn)
非遞歸版與遞歸版大部分代碼相同，Qsort函數(shù)有所不同乏奥，并且增加棧相關(guān)內(nèi)容定義：
/*存儲(chǔ)區(qū)間信息*/
typedef struct stack_node_t
{
int lo;
int hi;
}struct_node;
/*最大棧長度*/
#define STACK_SIZE 8 * sizeof(unsigned int)
/*入棧摆舟，出棧*/
#define STACK_PUSH( low, hig ) ( (top->lo = low), (top->hi = hig), top++)
#define STACK_POP( low, hig ) (top--, (low = top->lo), (hig = top->hi) )
/*快速排序*/
void Qsort( ElementType A[], int left, int right )
{
if(NULL == A)
return;
/*使用寄存器指針*/
register ElementType *arr = A;
if ( right - left >= MAX_THRESH )
{
struct_node stack[STACK_SIZE] = { { 0 } };
register struct_node *top = stack;
/*最大區(qū)間壓棧*/
int lo = left;
int hi = right;
STACK_PUSH( 0, 0);
int mid = 0;
while ( stack < top )
{
/*出棧，取出一個(gè)區(qū)間進(jìn)行分區(qū)操作*/
mid = partition( arr, lo, hi );
/*分情況處理邓了，左邊小于閾值*/
if ( (mid - 1 - lo) <= MAX_THRESH)
{
/* 左右兩個(gè)數(shù)據(jù)段的元素都小于閾值恨诱，取出棧中數(shù)據(jù)段進(jìn)行劃分*/
if ( (hi - (mid+1)) <= MAX_THRESH)
/* 都小于閾值，從棧中取出數(shù)據(jù)段 */
STACK_POP (lo, hi);
else
/* 只有右邊大于閾值骗炉，右邊繼續(xù)分區(qū)*/
lo = mid -1 ;
}
/*右邊小于閾值照宝，繼續(xù)計(jì)算左邊*/
else if ((hi - (mid+1)) <= MAX_THRESH)
hi = mid - 1;
/*左右兩邊都大于閾值，且左邊大于右邊句葵，左邊入棧厕鹃，右邊繼續(xù)分區(qū)*/
else if ((mid -1 - lo) > (hi - (mid + 1)))
{
STACK_PUSH (lo, mid - 1);
lo = mid + 1;
}
/*左右兩邊都大于閾值，且右邊大于左邊乍丈，右邊入棧剂碴，左邊繼續(xù)分區(qū)*/
else
{
STACK_PUSH (mid + 1, hi);
hi = mid -1;
}
}
}
/*最后再使用插入排序，對(duì)于接近有序狀態(tài)的數(shù)據(jù)诗赌，插入排序速度很快*/
insertSort(arr,right-left+1);
}
運(yùn)行結(jié)果
我們隨機(jī)產(chǎn)生1億個(gè)整數(shù)汗茄，并對(duì)其進(jìn)行排序：
$ gcc -o qsort qsort.c
$ time ./qsort 100000000
遞歸版運(yùn)行結(jié)果：
sort for 100000000 numbers
before sort:too much，will not print
after sort:too much铭若，will not print
real 0m16.753s
user 0m16.623s
sys 0m0.132s
非遞歸版結(jié)果：
sort for 100000000 numbers
before sort:too much，will not print
after sort:too much递览，will not print
real 0m16.556s
user 0m16.421s
sys 0m0.137s
可以看到叼屠，實(shí)際上兩種方法的效率差距并不是很大。至于原因绞铃，前面我們已經(jīng)說過了镜雨。
總結(jié)
本文所寫的示例實(shí)現(xiàn)與glibc的實(shí)現(xiàn)相比，還有很多可優(yōu)化的地方儿捧，例如荚坞，本文實(shí)現(xiàn)僅對(duì)int類型實(shí)現(xiàn)了排序或交換值，如果待排序內(nèi)容是其他類型菲盾，就顯得力不從心颓影，讀者可參考《高級(jí)指針話題函數(shù)指針》思考如何實(shí)現(xiàn)對(duì)任意數(shù)據(jù)類型進(jìn)行排序，懒鉴。但快速排序的優(yōu)化主要從以下幾個(gè)方面考慮：
- 優(yōu)化基準(zhǔn)選擇
- 優(yōu)化小數(shù)組排序效率
- 優(yōu)化交換次數(shù)
- 優(yōu)化遞歸
- 優(yōu)化最差情況诡挂，避免糟糕分區(qū)
- 元素聚合
有興趣地也可以進(jìn)一步閱讀qsort源碼碎浇，進(jìn)一步了解其中喪心病狂的優(yōu)化。
思考
- 為什么要在遇到相同元素時(shí)就進(jìn)行掃描璃俗？
- 插入排序最好的情況時(shí)間復(fù)雜度是多少奴璃，在什么情況下出現(xiàn)？
- 文中實(shí)現(xiàn)的代碼還有哪些可以優(yōu)化的地方城豁？
練習(xí)
- 采用第一種基準(zhǔn)選擇策略實(shí)現(xiàn)快速排序苟穆，并測試對(duì)有序數(shù)組的排序性能
- 實(shí)現(xiàn)通用快速排序算法，參考《C語言函數(shù)指針》
參考
- 《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法分析》
- 《算法導(dǎo)論》
- glibc qsort.c源碼
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