離散貝葉斯過濾器

Kalman 濾波器屬于貝葉斯濾波器家族一個成員茎活。大多數(shù)教科書上昙沦，都將 Kalman 濾波器看作 Bayesian 公式的一種表現(xiàn)，但是解釋如何將貝葉斯公式應用到 Kalman 濾波等式的方式因為過于抽象载荔，所以晦澀難懂盾饮。

這種方式讀者對數(shù)學的幾個領域有相當深刻的理解，而且還把許多理解和形成對情況的直觀把握交給了讀者懒熙。

今天我們這將用另一種方式來解釋這個問題丘损，這歸功于迪特·福克斯和塞巴斯蒂安·特倫的工作工扎。使用貝葉斯統(tǒng)計來追蹤通過走廊的目標徘钥，這種方式比較直覺，可以用機器人肢娘，不過這里用狗來代替機器人呈础。小狗要比機器人更難預測，這給濾波器預測帶來一定難度橱健。能找到的第一個公開的例子似乎在 fox1999[1]而钞，在 fox2003[2]中有一個更完整的例子。

現(xiàn)在讓我們用一個簡單的思考實驗拘荡，就像我們對g-h濾波器所做的那樣臼节，來看看我們如何推理使用概率來過濾和跟蹤。

跟蹤小狗

讓我們從一個簡單的問題開始。假設在空間中有一條小狗网缝，所以有人會將自己小狗帶去工作巨税。偶爾，狗會走出辦公室粉臊，在大廳里走來走去草添。我們想追蹤他們。所以在一次黑客競賽中扼仲，有人發(fā)明了一個聲納傳感器來連接狗的項圈果元。項圈發(fā)出信號，通過監(jiān)聽回聲犀盟，然后計算回聲的速度，我們可以判斷狗是否停留某一個門前蝇狼。還可以感知狗何時離開阅畴，傳輸告狗向哪個方向移動。通過wifi 連接到網絡迅耘，每秒發(fā)送一次更新贱枣。

將跟蹤設備給小狗配套上，接下里使用 Python 來準備編寫代碼來跟蹤小狗如何穿過颤专。乍一看纽哥，臉紅可能看起來不可能。如果我開始監(jiān)聽小狗佩戴的傳感器栖秕，我可能會讀門春塌，大廳，大廳等等簇捍。接下來看一看如何使用這些信息來確定小狗在哪里只壳？

可以將問題簡化，以便于繪圖暑塑，假設走廊中只有 10 個位置吼句，用數(shù)字從 0 到 9 表示，其中 1 在 0 的右側事格，出于稍后將明確的原因惕艳，還將假定走廊是圓形或矩形的。如果你從位置9向右移動驹愚，你將處于位置0远搪。

開始監(jiān)聽傳感器，僅憑監(jiān)聽器還無法沒有理由確定小狗在走廊的位置么鹤。小狗出現(xiàn)走廊在任何的位置上可能性都是一樣的终娃。有10個位置，所以小狗出現(xiàn)任何位置的概率都是 1/10。

import numpy as np
belief = np.array([1/10]*10)
print(belief)

[0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1]

在貝葉斯統(tǒng)計學中棠耕。將測量或其他信息和先驗整合的概率余佛。準確地說，這叫做先驗概率分布窍荧。概率分布是一個事件所有可能概率的集合辉巡，概率分布總是和為 1，概率分布列出了所有可能的事件和每一個事件發(fā)生的概率蕊退。

大家可能都接觸過概率郊楣，比如“今天下雨的概率是30%”。貝葉斯統(tǒng)計學是概率論的重要改進瓤荔，因為貝葉斯統(tǒng)計學把概率看作是對某個事件的一種信念净蚤。讓我們舉個例子，如果不斷反復地擲一個硬幣输硝，就會得到 50% 的正面和 50% 的反面今瀑。這是大家熟悉頻率統(tǒng)計量，與貝葉斯統(tǒng)計不同点把，計算是基于事件發(fā)生的頻率橘荠。

再做一次擲硬幣實驗。相信這件事是從哪個方向降落的郎逃？經常光顧的概率對此沒什么可說的哥童，它只會說 50% 的硬幣會以人頭的形式拋擲土地。在某些方面褒翰，給硬幣的當前狀態(tài)分配一個概率是沒有意義的贮懈。要么是正面的，要么是反面的优训，我們只是不知道是哪面會朝上错邦。Bayes 把這看作是一個關于某個事件的信念—信念或知識的力量，認為這個硬幣擲硬幣是正面朝上的 50%型宙。

天氣預報就是貝葉斯經驗撬呢， 貝葉斯統(tǒng)計考慮了過去的信息（先驗）。我們觀察到每 100 天下 4 次雨妆兑。由此看來魂拦，明天下雨的可能性是 1/25。天氣預報不是這樣做的搁嗓。如果我知道今天下雨芯勘，明天很可能會下雨。天氣預報是貝葉斯的腺逛。

在實踐中荷愕，統(tǒng)計學家頻率專家和貝葉斯技術。有時很難得到先驗信息是困難，利用統(tǒng)計也是無法獲取到安疗，抛杨。在這本書中我可以得到一些經驗(先驗)。談論某件事發(fā)生的概率時荐类，通常會根據(jù)我們經驗怖现，以及之前你對這件事了解程度而得出先驗概率，這就是采用貝葉斯方法玉罐。

現(xiàn)在讓我們創(chuàng)建走廊的地圖屈嗤。我們將把前兩個門放在一起，然后再把另一個門距離稍遠的位置吊输。用 1 表示門饶号，用 0 表示墻：采用貝葉斯方法。

開始監(jiān)聽季蚂，西蒙在網絡上的傳輸讨韭，我從傳感器得到的第一個數(shù)據(jù)是門。暫時假設傳感器總是返回正確的答案癣蟋。但是僅憑數(shù)據(jù)還無法確定具體是哪一個扇門，無法確定他就在第一狰闪、第二或第三扇門前面疯搅。每個門都有我能做的事。所有的門都有相同的可能性埋泵，其中有三個幔欧，所以我給每個門指定1/3的概率。

import kf_book.book_plots as book_plots
from kf_book.book_plots import figsize, set_figsize
import matplotlib.pyplot as plt

belief = np.array([1/3, 1/3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3, 0])
book_plots.bar_plot(belief)