概率問題

1 從一副52張撲克牌中隨機抽兩種列吼，顏色相等的概率

C(4,1)*C(13,2)/C(52,2)

2 54張牌，分成6份，每份9張牌优俘，大小王在一起的概率

C(6,1)C(52,7)*(52-7)!/(9!)^5/
(54!/(9!)^6)

3 52張牌去掉大小王诲祸，分成26*2兩堆浊吏，從其中一堆取4張牌為4個a的概率

C(2,1)*C(48,22)/(52!/(26!)^2)

4 一枚硬幣而昨，扔了一億次都是正面朝上，再扔一次反面朝上的概率是多少找田？

有理由相信硬幣兩面都是正面歌憨，，墩衙，务嫡，（貝葉斯）
50%（頻率學(xué)派）

5 有8個箱子，現(xiàn)在有一封信，這封信放在這8個箱子中（任意一個）的概率為4/5,不放的概率為1/5（比如忘記了）,現(xiàn)在我打開1號箱子發(fā)現(xiàn)是空的，求下面7個箱子中含有這封信的概率為垃僚？

6 已知N枚真硬幣慈参，M枚假硬幣（兩面都是國徽），R次重復(fù)采樣都是國徽，問真硬幣的概率？

7 一對夫妻有2個孩子羽氮，求一個孩子是女孩的情況下，另一個孩子也是女孩的概率

image.png

8 有種癌癥惫恼，早期的治愈率為0.8档押，中期的治愈率為0.5，晚期的治愈率為0.2.若早期沒治好就會轉(zhuǎn)為中期祈纯，中期沒治好就會變成晚期×钏蓿現(xiàn)在有一個人被診斷為癌癥早期，然后被治愈了腕窥，問他被誤診為癌癥的概率是多少粒没？

9 某城市發(fā)生了一起汽車撞人逃跑事件，該城市只有兩種顏色的車簇爆，藍20%綠80%癞松，事發(fā)時現(xiàn)場有一個目擊者，他指證是藍車入蛆，但是根據(jù)專家在現(xiàn)場分析响蓉，當(dāng)時那種條件能看正確的可能性是80%，那么哨毁，肇事的車是藍車的概率是多少枫甲？

已經(jīng)知道的條件就是這個人看到了，就是藍車。這個時候需要把看到藍色車當(dāng)做總體事件言秸∪砟埽看到藍色車的概率是：(85％×20％＋15%80%) 【倩可見這個時候的總體事件不是1啦。
再分析下凳枝，其中真正是藍色車的情況：藍看成藍：15%80%
所以是藍色車的概率是：P=15%80%/(85％×20％＋15%80%)

10 100人坐飛機抄沮，第一個乘客在座位中隨便選一個坐下，第100人正確坐到自己坐位的概率是岖瑰？

等價于這個描述：2-99號乘客登機后如果發(fā)現(xiàn)1號(瘋子)坐在本屬于自己的位子上叛买，就會請瘋子離開，然后瘋子再隨機找個空座蹋订。(就是平時大家在一票一座的交通工具上對號入座時的方式)這樣到100號登機時率挣，2-99號都在自己座位上，1號瘋子在自己座位上和100號乘客座位上概率相同露戒，所以是1/2椒功。另外這個結(jié)果和總乘客數(shù)無關(guān)，可以由100推廣至任意k智什。

11 一個國家重男輕女动漾，只要生了女孩就繼續(xù)生，直到生出男孩為止荠锭，問這個國家的男女比例旱眯？

如果一年一生
第一年：男：1/2 女:1/2
第二年：男：1/2+(1/2)^2 女：1/2＋(1/2)^2
第三年：男：1/2+(1/2)^2+(1/2)3 女：1/2+(1/2)^2+(1/2)3
.......
所以一群人生出來的男女比例為1

12 有50個紅球，50個藍球证九，如何放入兩個盒子中使得拿到紅球的概率最大

兩個箱子概率是1/2删豺，選中某個箱子后又有選擇的是不是紅球的概率，所以最大概率就是一個紅球放在一個箱子里愧怜，其余的99個球全放到另一個箱子呀页。這樣概率=0.5+0.5*（49/99）約等于0.75，這樣為最大概率叫搁。

13 某個一直函數(shù)返回0/1赔桌，0的概率為p，寫一函數(shù)返回兩數(shù)概率相等渴逻。

public int g(){ 
        while (true){
            int a = f();
            int b = f();
            if(a!=b){
                return a;
            }  
        } 
    }

14 給你一個函數(shù)疾党，這個函數(shù)是能得出1-5之間的隨機數(shù)的，概率相同〔肄龋現(xiàn)在求1-7之間隨機函數(shù)

要生成一個1-7的隨機數(shù)雪位，等可能概率。
首先梨撞，考慮第一個問題：等可能概率雹洗。隨機數(shù)是等概率的事件香罐，就是1，2时肿，3庇茫，4，5螃成，出現(xiàn)的概率應(yīng)該是相同的旦签，而不是其中某一種概率大一點。
看這個公式 5（x-1）+x寸宏；（x是1-5的隨機數(shù)）
那么 5（x-1）會是等可能的0宁炫，5，10氮凝，15羔巢，20
x會是等可能的1，2罩阵，3竿秆，4，5永脓；
那么這個值就是等可能的0-25袍辞。
然后，考慮第二個問題：如何產(chǎn)生1-7常摧？
產(chǎn)生1-7最直觀的方法就是：對7取模加一搅吁；
但是0-25對7取模最后結(jié)果0-6產(chǎn)生的概率不一樣；
很簡單落午，如果大于21谎懦，再隨機一次就好了。

int random7() {
    int x = 5 * (random5() - 1) + random5() - 1;
    if (x > 20) return random7();  //曬選的過程  
    return x % 7 + 1;
}

15 X是一個以p的概率產(chǎn)生1,1-p的概率產(chǎn)生0的隨機變量溃斋，利用X等概率生成1-n的數(shù)

調(diào)用n次界拦，每次出一個位，這樣每個的概率都是p*(1-p)^n

有個輸出0和1的BIASED RANDOM梗劫，它以概率p輸出1享甸，以概率1-p輸出0，以此RANDOM函數(shù)為基礎(chǔ)梳侨，生成另一個RANDOM函數(shù)蛉威，該函數(shù)以1/2的概率輸出1，以1/2的概率輸出0

兩次調(diào)用該RANDOM函數(shù)走哺，如果其概率為P(x)蚯嫌，調(diào)用2次
P(1) = p P(0) = 1-p
P'(1) =p P'(0) = 1-p
概率如下：
11 pp 10 p(1-p)
01 (1-p)p 00 (1-p)(1-p)

int random_0_1()  
{  
    int i = RANDOM();  
    int j = RANDOM();  
    int result;  
  
    while (true)  
    {  
        if (i == 0 && j == 1)  
        {  
            result = 0;  
            break;  
        }  
        else if (i == 1 && j == 0)  
        {  
            result = 1;  
            break;  
        }  
        else  
            continue;  
    }  
  
    return result;  
}

16 一個硬幣，你如何獲得2/3的概率。

17 怎么計算圓周率π的值(蒙特卡洛采樣)

在一個邊長為a的正方形內(nèi)一均勻概率隨機投點择示，該點落在此正方形的內(nèi)切圓中的概率即為內(nèi)切圓與正方形的面積比值束凑，即：Pi * (a / 2)^2 */a^2 = Pi / 4

%總的實驗次數(shù)
n = input('請輸入n:');
%落在圓中點的次數(shù)
m = 0;
%使用的圓的半徑
a = 2;
%循環(huán)實驗
for i = 1:n
    x = rand * a / 2;
    y = rand * a / 2;
    if (x^2 + y^2 <= (a/2)^2)
        m = m + 1;
    end
end
%顯示結(jié)果
fprintf('當(dāng)總實驗次數(shù)n = %d時計算出來的圓周率:Pi = %d\n',n, 4 * m / n);

18 網(wǎng)游中有個抽獎活動，抽中各星座的概率為10/200栅盲，20/200汪诉，。剪菱。摩瞎。120/200.如何實現(xiàn)？

19 給一個概率分布均勻的隨機數(shù)發(fā)生器孝常，給一串float型的數(shù)，希望通過這個隨機數(shù)發(fā)生器實現(xiàn)對這串?dāng)?shù)進行隨機采樣蚓哩，要求是如果其中的某個數(shù)值越大构灸，那么它被采樣到的概率也越大

sigmoid函數(shù)

20 隨機數(shù)生成算法，一個float數(shù)組相同元素的和除以整個數(shù)組的和做為抽取該元素的概率岸梨，實現(xiàn)按這種概率隨機抽取數(shù)組中的元素的算法喜颁。

21一本無數(shù)個字的書從前往后讀，某個時間點突然暫停并返回之前讀過的某個字曹阔，要求每個字返回的概率是一樣的半开。

22 一個有n*n個方格的棋盤，在里面放m個地雷赃份，如何放保證在每個方格上放雷的概率相等寂拆。

23 一根棍子折三段能組成三角形的概率

設(shè)長L的棍子任意折成3段的長度分別是x,y和z=L-(x+y)
三段能構(gòu)成三角形,則
x+y＞z, 即 x +y>(L-x-y), x +y>L/2
y+z＞x, 即 y +(L-x-y)>x, x＜L/2
z+x＞y, 即 (L-x-y)+x>y, y＜L/2
所求概率等于x+y=L/2、x=L/2抓韩、y=L/2三條直線所包圍圖形的面積除以直線(x+y)=L與x軸纠永、y軸所包圍圖形的面積（圖略）。
故長L的棍子任意折成3段谒拴，此3段能構(gòu)成一個三角形的概率是是
（L/2L/21/2）÷（LL1/2）=L^2/8÷(L2/2)=1/4

24 一個圓上三個點形成鈍角的概率是多少尝江？假如兩個點和圓心形成的圓心角已經(jīng)是直角，那么第三個和這兩個點形成鈍角的概率是多少英上？

只要三個點在半圓弧范圍以內(nèi),就構(gòu)成鈍角三角形,而不在半圓弧范圍以內(nèi),就構(gòu)不成鈍角三角形,
所以構(gòu)成鈍角三角形的概率是1/2
已經(jīng)是直角時1/4

25 X炭序，Y獨立均服從（0,1）上的均勻分布，P{X^2+Y2≤1}等于

畫出圖苍日，是1/4圓面積惭聂，所以等于1/4*pi

26 一個圓，在圓上隨機取3個點易遣，這3個點組成銳角三角形的概率彼妻。

對于這三個點,容易知道,當(dāng)A、B、C三點都在同一個半圓內(nèi)時,三角形ABC必然是直角或鈍角三角形,只有當(dāng)三點不在同一個半圓內(nèi),才可以組成銳角三角形侨歉，則題目轉(zhuǎn)化為“在圓周上任取三個不同的點,求它們不處在同一半圓內(nèi)的概率”其概率值為 1/2*1/2=1/4

27 一個袋子里有100個黑球和100個白球屋摇，每次隨機拿出兩個球丟掉，如果丟掉的是不同顏色的球幽邓，則從其他地方補充一個黑球到袋子里炮温，如果顏色相同，則補充一個白球到袋子里牵舵。問：最后一個球是黑球和白球的概率分別為多大柒啤？

使用(黑球個數(shù), 白球個數(shù))來表示桶中黑球和白球的個數(shù)變動，正數(shù)表示增加畸颅，負數(shù)表示減少担巩，根據(jù)規(guī)則找規(guī)律：
1、如果每次從桶里面拿出兩個白球没炒，則應(yīng)放入一個黑球：(0, -2) + (1, 0) = (1, -2)涛癌；
2、如果每次從桶里面拿出兩個黑球送火，則應(yīng)放入一個黑球：(-2, 0) + (1, 0) = (-1, 0)拳话；
3、如果每次從桶里面拿出一個白球和一個黑球种吸，則應(yīng)放入一個白球：(-1, -1) + (0, 1) = (-1, 0)弃衍；
從以上各種情況可以看出以下規(guī)律：
1）每次都會減少一個球，那么最后的結(jié)果肯定是桶內(nèi)只剩一個球坚俗，要么是白球镜盯，要么是黑球；
2）每次拿球后坦冠，白球的數(shù)目要么不變形耗，要么兩個兩個地減少；
所以從上面的分析可以得知辙浑，最后不可能只剩下一個白球激涤，那么必然就只能是黑球了。

28 扔骰子判呕，最多扔兩次倦踢，第一次扔完可以自行決定要不要扔第二次，去最后一次扔色子的結(jié)果為準侠草，求：盡可能得到最大點數(shù)的數(shù)學(xué)期望

兩人輪流扔硬幣辱挥，扔出正面獲勝，求：先扔者獲勝的概率

設(shè)甲先拋边涕。設(shè)甲勝率為x晤碘。則第一次甲拋了反面后褂微，乙勝率為x，從而甲勝率+乙勝率=x+0.5x=1园爷，從而x=2/3宠蚂。

a b c 分別循環(huán)投擲硬幣，直到正面出現(xiàn)勝利童社，求a b c獲勝的概率

P(B) = 1/2*P(A); P(C) = 1/4 * P(A); P(A) + P(B) + P(C) = 1;
得P(A) = 4/7, P(B) = 2/7, P(C) = 1/7

硬幣正反概率是1/2,一直拋硬幣,直到連續(xù)兩次正面停止求厕，問期望次數(shù)

假設(shè)期望次數(shù)是E，我們開始扔扰楼，有如下幾種情況：
? 扔到的是反面呀癣，那么就要重新仍，所以是0.5(1 + E)
? 扔到的是正面弦赖，再扔一次又反面了项栏，則是0.25(2 + E)
? 扔到兩次，都是正面蹬竖，結(jié)束忘嫉，則是0.252
所以遞歸來看E = 0.5(1 + E) + 0.25(2 + E) + 0.252，解得E = 6

29 某大公司有這么一個規(guī)定：只要有一個員工過生日案腺，當(dāng)天所有員工全部放假一天。但在其余時候康吵，所有員工都沒有假期劈榨，必須正常上班。這個公司需要雇用多少員工晦嵌，才能讓公司一年內(nèi)所有員工的總工作時間期望值最大同辣？

E=n*(1-1/365)^n，求導(dǎo)惭载，得n=365

30 不存儲數(shù)據(jù)流的前提下,從輸入流中獲得這 n 個等概率的隨機數(shù)據(jù) 旱函。

31 某段公路上1小時有車通過的概率是0.96，半小時有車通過的概率是多少

1個小時內(nèi)有車通過的概率是0.96描滔，那么個一個小時內(nèi)沒有車通過的概率是0.04棒妨。
題目故意給出1個小時的單位來迷惑我們。我們可以把單位分解為30分鐘：
就相當(dāng)于在連續(xù)的兩個30分鐘里面都沒有出現(xiàn)任何車輛
即x2 ＝ 0.04 解得 x＝0.2
那么半小時內(nèi)出現(xiàn)車輛的概率就是0.8.

32 一個公交站在1分鐘內(nèi)有車經(jīng)過概率是p含长，問3分鐘內(nèi)有車經(jīng)過概率

1-(1-p)^3

33 8支球隊循環(huán)賽券腔，前四名晉級。求晉級可能性

34 一個活動拘泞，女生們手里都拿著長短不一的玫瑰花纷纫，無序地排成一排，一個男生從隊頭走到隊尾陪腌，試圖拿到盡可能長的玫瑰花辱魁，規(guī)則是:一旦他拿了一朵烟瞧，后面就不能再拿了，如果錯過了某朵花染簇，就不能再回頭参滴，問最好的策略是什么?

牛客原題剖笙，1/e

35 三個范圍在0-1的數(shù)卵洗，和也在0-1的概率。

設(shè)所取的三個數(shù)分別為 x弥咪、y过蹂、z ,
則 0<x<1,0<y<1,0<z<1 ,
滿足上述條件的點 P（x,y,z）構(gòu)成一個棱長為 1 的正方體,體積為 V=111=1 ,
滿足 x+y+z=1 的點是分別過（1,0,0）、（0,1,0）聚至、（0,0,1）的平面,
而滿足 x+y+z<1 的點位于正方體內(nèi)酷勺、平面的下方,體積為 V1=1/31/2111=1/6 ,

概率1: 11個球，1個特殊球扳躬，兩個人無放回拿球脆诉，問第一個人取到特殊球的概率

10!*6/11!

概率2: 11個球，1個特殊球贷币，兩個人有放回拿球击胜，問先拿到這個特殊球的概率

拋硬幣，正面繼續(xù)拋役纹，反面不拋偶摔。問拋的次數(shù)的期望。

幾何分布,P=(1-p)^(x-1)p
E=求和xP(x)促脉，幾何分布辰斋，期望為1/p=2

拋的硬幣直到連續(xù)出現(xiàn)兩次正面為止，平均要扔多少次

馬爾可夫鏈瘸味，可做圖求解遞歸方程