，從而得到最長(zhǎng)公共子序列迎献。代碼如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[500],b[500];
char num[501][501]; ///記錄中間結(jié)果的數(shù)組
char flag[501][501];    ///標(biāo)記數(shù)組瞎访，用于標(biāo)識(shí)下標(biāo)的走向，構(gòu)造出公共子序列
void LCS(); ///動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解
void getLCS();    ///采用倒推方式求最長(zhǎng)公共子序列
int main()
{
    int i;
    strcpy(a,"ABCBDAB");
    strcpy(b,"BDCABA");
    memset(num,0,sizeof(num));
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    LCS();
    printf("%d\n",num[strlen(a)][strlen(b)]);
    getLCS();
    return 0;
}
void LCS()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=strlen(a);i++)
    {
        for(j=1;j<=strlen(b);j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1])   ///注意這里的下標(biāo)是i-1與j-1
            {
                num[i][j]=num[i-1][j-1]+1;
                flag[i][j]=1;  ///斜向下標(biāo)記
            }
            else if(num[i][j-1]>num[i-1][j])
            {
                num[i][j]=num[i][j-1];
                flag[i][j]=2;  ///向右標(biāo)記
            }
            else
            {
                num[i][j]=num[i-1][j];
                flag[i][j]=3;  ///向下標(biāo)記
            }
        }
    }
}
void getLCS()
{
    char res[500];
    int i=strlen(a);
    int j=strlen(b);
    int k=0;    ///用于保存結(jié)果的數(shù)組標(biāo)志位
    while(i>0 && j>0)
    {
        if(flag[i][j]==1)   ///如果是斜向下標(biāo)記
        {
            res[k]=a[i-1];
            k++;
            i--;
            j--;
        }
        else if(flag[i][j]==2)  ///如果是斜向右標(biāo)記
            j--;
        else if(flag[i][j]==3)  ///如果是斜向下標(biāo)記
            i--;
    }
    for(i=k-1;i>=0;i--)
        printf("%c",res[i]);
}

五吁恍、字符串編輯距離

給定一個(gè)源字符串和目標(biāo)字符串扒秸，能夠?qū)υ创M(jìn)行如下操作：

   1.在給定位置上插入一個(gè)字符

   2.替換任意字符

   3.刪除任意字符

求通過以上操作使得源字符串和目標(biāo)字符串一致的最小操作步數(shù)。

簡(jiǎn)單描述一下解該題的思想冀瓦，源字符串和目標(biāo)字符串分別為str_a伴奥、str_b，二者的長(zhǎng)度分別為la翼闽、lb仅讽，定義f[i,j]為子串str_a[0...i]和str_b[0...j]的最小編輯距離中捆，簡(jiǎn)單分析可知求得的str_a[0...i]和str_b[0...j]的最小編輯距離有一下三種可能：

因?yàn)轭}目要求的是最小的編輯距離寺惫，所以去上面上中情況中的最小值即可疹吃，因此可以得到遞推公式：

維基百科中的描述如下：

1）遞歸方法(用到動(dòng)態(tài)規(guī)劃)
由上述的遞歸公式可以有以下代碼：

//求兩個(gè)字符串的編輯距離問題
//遞歸版本，備忘錄C[i,j]表示strA[i]...strA[size_A-1]與strB[j]...strB[size_B-1]的編輯距離
int editDistance_mem(char *strA,int size_A,char *strB,int size_B){
 int **C=new int*[size_A+1];
 for(int i=0;i<=size_A;i++){
  C[i]=new int[size_B+1]();
 }
 //初始化
 for(int i=0;i<=size_A;i++){
  for(int j=0;j<=size_B;j++)
   C[i][j]=INT_MAX;
 }
 int res=EDM(C,strA,0,size_A-1,strB,0,size_B-1);
 //free mem
 for(int i=0;i<=size_A;i++){
  delete [] C[i];
 }
 delete [] C;
 return res;
}
int EDM(int **C,char *strA,int i,int A_end,char *strB,int j,int B_end){
 if(C[i][j]<INT_MAX)//做備忘
  return C[i][j];
 if(i>A_end){
  if(j>B_end)
   C[i][j]=0;
  else
   C[i][j]=B_end-j+1;
 }else if(j>B_end){
  if(i>A_end)
   C[i][j]=0;
  else
   C[i][j]=A_end-i+1;
 }
 else if(strA[i]==strB[j])
  C[i][j]=EDM(C,strA,i+1,A_end,strB,j+1,B_end);
 else{
  int a=EDM(C,strA,i+1,A_end,strB,j+1,B_end);
  int b=EDM(C,strA,i,A_end,strB,j+1,B_end);
  int c=EDM(C,strA,i+1,A_end,strB,j,B_end);
  C[i][j]=min(a,b,c)+1;
 }
 return C[i][j];
}

2）矩陣標(biāo)記法
遞推方法（也可稱為矩陣標(biāo)記法）西雀，通過分析可知萨驶，上面的遞推式實(shí)際上可以看做是矩陣單元的計(jì)算遞推式，只要把矩陣填滿了艇肴，f[la-1, lb-1]的值就是要求得最小編輯距離腔呜。代碼如下：

//求兩個(gè)字符串的編輯距離問題
//遞推版本 C[i,j]表示strA[i]...strA[size_A-1]與strB[j]...strB[size_B-1]的編輯距離
int editDistance_iter(char *strA,int size_A,char *strB,int size_B){
 int **C=new int*[size_A+1];
 for(int i=0;i<=size_A;i++){
  C[i]=new int[size_B+1]();
 }
 for(int i=size_A;i>=0;i--){
  for(int j=size_B;j>=0;j--){
   if(i>size_A-1){
    if(j>size_B-1)
     C[i][j]=0;
    else
     C[i][j]=size_B-j;
   }else if(j>size_B-1){
    if(i>size_A-1)
     C[i][j]=0;
    else
     C[i][j]=size_A-i;
   }else if(strA[i]==strB[j])
    C[i][j]=C[i+1][j+1];
   else
    C[i][j]=min(C[i+1][j+1],C[i+1][j],C[i][j+1])+1;
  }
 }
 int res=C[0][0];
 //free mem
 for(int i=0;i<=size_A;i++){
  delete [] C[i];
 }
 delete [] C;
 return res;
}

六、最長(zhǎng)不重復(fù)子串

很好理解再悼，即求一個(gè)串內(nèi)最長(zhǎng)的不重復(fù)子串核畴。

1）使用Hash
要求子串中的字符不能重復(fù)，判重問題首先想到的就是hash冲九，尋找滿足要求的子串谤草，最直接的方法就是遍歷每個(gè)字符起始的子串，輔助hash莺奸，尋求最長(zhǎng)的不重復(fù)子串丑孩，由于要遍歷每個(gè)子串故復(fù)雜度為O(n^2)，n為字符串的長(zhǎng)度憾筏，輔助的空間為常數(shù)hash[256]嚎杨。代碼如下：

/* 最長(zhǎng)不重復(fù)子串 我們記為 LNRS */
int maxlen;
int maxindex;
void output(char * arr);
/* LNRS 基本算法 hash */
char visit[256];
void LNRS_hash(char * arr, int size)
{
    for(int i = 0; i < size; ++i)
    {
        memset(visit,0,sizeof(visit));
        visit[arr[i]] = 1;
        for(int j = i+1; j < size; ++j)
        {
            if(visit[arr[j]] == 0)
            {
                visit[arr[j]] = 1;
            }
else
            {
                if(j-i > maxlen)
                {
                    maxlen = j - i;
                    maxindex = i;
                }
                break;
            }
        }
    }
    output(arr);
}

2）動(dòng)態(tài)規(guī)劃法
字符串的問題，很多都可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃處理氧腰，比如這里求解最長(zhǎng)不重復(fù)子串，和前面討論過的最長(zhǎng)遞增子序列問題就有些類似刨肃，在LIS(最長(zhǎng)遞增子序列)問題中古拴，對(duì)于當(dāng)前的元素，要么是與前面的LIS構(gòu)成新的最長(zhǎng)遞增子序列真友，要么就是與前面稍短的子序列構(gòu)成新的子序列或單獨(dú)構(gòu)成新子序列黄痪。

這里我們采用類似的思路：某個(gè)當(dāng)前的字符，桅打；。

我們來看看下面兩個(gè)例子：

1）字符串“abcdeab”挺尾，第二個(gè)a之前的最長(zhǎng)不重復(fù)子串是“abcde”鹅搪，a與最長(zhǎng)子串中的字符有重復(fù)，
但是它與稍短的“bcde”串沒有重復(fù)遭铺，于是它可以與其構(gòu)成一個(gè)新的子串丽柿，之前的最長(zhǎng)不重復(fù)子串“abcde”結(jié)束；

2）字符串“abcb”魂挂，跟前面類似甫题，最長(zhǎng)串“abc”結(jié)束，第二個(gè)字符b與稍短的串“c”構(gòu)成新的串涂召；

我們貌似可以總結(jié)出一些東西：。

于是類似LIS果正，

可以看出這里的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法時(shí)間復(fù)雜度為O(N^2)，我們可以與最長(zhǎng)遞增子序列的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方案進(jìn)行對(duì)比舍杜，是一個(gè)道理的新娜。代碼如下：

/* LNRS 動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解 */
int dp[100];
void LNRS_dp(char * arr, int size)
{
    int i, j;
    maxlen = maxindex = 0;
    dp[0] = 1;
    for(i = 1; i < size; ++i)
    {
        for(j = i-1; j >= 0; --j)
        {
            if(arr[j] == arr[i])
            {
                dp[i] = i - j;
                break;
            }
        }
        if(j == -1)
        {
            dp[i] = dp[i-1] + 1;
        }
        if(dp[i] > maxlen)
        {
            maxlen = dp[i];
            maxindex = i + 1 - maxlen;
        }
    }
    output(arr);
}

3）動(dòng)態(tài)規(guī)劃和hash結(jié)合
我們發(fā)現(xiàn)在動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法中，每次都要“回頭”去尋找重復(fù)元素的位置既绩，所以時(shí)間復(fù)雜度徒增到O(n^2)概龄，結(jié)合方法1）中的Hash思路，我們可以用hash記錄元素是否出現(xiàn)過饲握，我們當(dāng)然救欧，而時(shí)間復(fù)雜度必然降為O(N)衰粹，只不過需要一個(gè)輔助的常數(shù)空間visit[256]，這也是之前我另外一篇文章找工作筆試面試那些事兒(15)---互聯(lián)網(wǎng)公司面試的零零種種和多家經(jīng)驗(yàn)提到的的空間換時(shí)間思路笆怠，不過一般我們的面試?yán)锩鎯?yōu)先考慮時(shí)間復(fù)雜度铝耻，所以這是可取的方法。

/* LNRS 動(dòng)態(tài)規(guī)劃 + hash 記錄下標(biāo) */
void LNRS_dp_hash(char * arr, int size)
{
    memset(visit, -1, sizeof visit); //visit數(shù)組是-1的時(shí)候代表這個(gè)字符沒有在集合中
    memset(dp, 0, sizeof dp);
    maxlen = maxindex = 0;
    dp[0] = 1;
    visit[arr[0]] = 0;
    for(int i = 1; i < size; ++i)
    {
        if(visit[arr[i]] == -1) //表示arr[i]這個(gè)字符以前不存在
        {
            dp[i] = dp[i-1] + 1;
            visit[arr[i]] = i; /* 記錄字符下標(biāo) */
        }else
        {
            dp[i] = i - visit[arr[i]];
            visit[arr[i]] = i; /* 更新字符下標(biāo) */
        }
        if(dp[i] > maxlen)
        {
            maxlen = dp[i];
            maxindex = i + 1 - maxlen;
        }
    }
    output(arr);
}

4）空間再優(yōu)化
上面的方法3）已經(jīng)將時(shí)間復(fù)雜度降到了O(n)蹬刷，可是這時(shí)面試官又發(fā)言了瓢捉，說你用的輔助空間多了频丘，還有優(yōu)化方法嗎，我們仔細(xì)觀察動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)子問題解的更新方程：

dp[i] = dp[i-1] + 1;

dp[i-1]不就是更新dp[i]當(dāng)前的最優(yōu)解么泡态？這又與之前提到的最大子數(shù)組和問題的優(yōu)化幾乎同出一轍搂漠，我們不需要O(n)的輔助空間去存儲(chǔ)子問題的最優(yōu)解，而只需O(1)的空間就可以了兽赁，至此状答，我們找到了時(shí)間復(fù)雜度O(N)，輔助空間為O(1)（一個(gè)額外變量與256大小的散列表）的算法刀崖，代碼如下：

/* LNRS 動(dòng)態(tài)規(guī)劃+hash惊科，時(shí)間復(fù)雜度O(n) 空間復(fù)雜度O(1)算法*/
void LNRS_dp_hash_ultimate(char * arr, int size)
{
    memset(visit, -1, sizeof visit);
    maxlen = maxindex = 0;
    visit[arr[0]] = 0;
int curlen = 1;
    for(int i = 1; i < size; ++i)
    {
        if(visit[arr[i]] == -1)
        {
            ++curlen;
            visit[arr[i]] = i; /* 記錄字符下標(biāo) */
        }
else
        {
            curlen = i - visit[arr[i]];
            visit[arr[i]] = i; /* 更新字符下標(biāo) */
        }
        if(curlen > maxlen)
        {
            maxlen = curlen;
            maxindex = i + 1 - maxlen;
        }
    }
    output(arr);
}

七、最長(zhǎng)回文子串

給出一個(gè)字符串S亮钦，找到一個(gè)最長(zhǎng)的連續(xù)回文串馆截。例如串 babcbabcbaccba 最長(zhǎng)回文是:abcbabcba

1）自中心向兩端尋找
回文是一種特殊的字符串， 。
核心代碼如下：

string find_lps_method1(const string &str)
{
    int center = 0, max_len = 0;
    for(int i = 1; i < str.length()-1; ++i)
    {
        int j = 1;
        //以str[i]為中心映穗，依次向兩邊擴(kuò)展窖张，尋找最長(zhǎng)回文Pi
        while(i+j < str.length() && i-j >= 0 && str[i+j] == str[i-j])
            ++j;
        --j;
        if(j > 1 && j > max_len)
        {
            center = i;
            max_len = j;
        }
    }
    return str.substr(center-max_len, (max_len << 1) + 1);
}

2）利用最長(zhǎng)公共字串的方法
這里用到了一個(gè)我們觀察出來的結(jié)論：, 那么。

例如 S = babcbabcbaccba, S' = abccabcbabcbab蚁滋，S和S'的最長(zhǎng)公共字串是 abcbabcba也是S的最長(zhǎng)回文字串宿接。

代碼這個(gè)地方就不寫了，用首指針++辕录，尾指針--很容易實(shí)現(xiàn)串的翻轉(zhuǎn)睦霎，再結(jié)合前面寫過的最長(zhǎng)公共子串代碼可得到最后結(jié)果。

3）利用棧的性質(zhì)
這是一個(gè)不成熟的想法走诞，博主只是覺得比較好的想法需要拿出來分享一下副女，對(duì)于長(zhǎng)度為偶數(shù)的最長(zhǎng)回文，可以采用這樣一種思路求得：

將字符串中的字符從左至右逐個(gè)入棧蚣旱，
出現(xiàn)情況：

因?yàn)閷?duì)于奇數(shù)長(zhǎng)度的字符串开皿，博主沒有想到時(shí)間復(fù)雜度低的類似處理方法涧黄，所以這里就不寫代碼了篮昧，大家有好的解法或者思路歡迎留言。

4）著名的Manacher’s Algorithm算法
算法首先將輸入字符串S笋妥， 轉(zhuǎn)換成一個(gè)特殊字符串T懊昨，轉(zhuǎn)換的原則就是將S的開頭結(jié)尾以及每?jī)蓚€(gè)相鄰的字符之間加入一個(gè)特殊的字符，例如#

例如: S = “abaaba”, T = “#a#b#a#a#b#a#”.

為了找到最長(zhǎng)的回文字串春宣，例如我們當(dāng)前考慮以Ti為回文串中間的元素酵颁，如果要找到最長(zhǎng)回文字串，我們要從當(dāng)前的Ti擴(kuò)展使得 Ti-d … Ti+d 組成最長(zhǎng)回文字串. 這里d其實(shí)和 以Ti為中心的回文串長(zhǎng)度是一樣的. 進(jìn)一步解釋就是說月帝，

例如 #a#b#a#, P = 0103010, 對(duì)于b而言P的值是3寺擂，是最左邊的#暇务，也是延伸的最左邊。這個(gè)值和當(dāng)前的回文串是一致的沽讹。

如果我們求出所有的P值般卑，那么顯然我們要的回文串，就是以最大P值為中心的回文串爽雄。

T = # a # b # a # a # b # a #

P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0

例如上面的例子蝠检，最長(zhǎng)回文是 “abaaba”, P6 = 6.

根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)，如果我們?cè)谝粋€(gè)位置例如 abaaba的中間位置挚瘟，用一個(gè)豎線分開叹谁，兩側(cè)的P值是對(duì)稱的。當(dāng)然這個(gè)性質(zhì)不是在任何時(shí)候都會(huì)成立乘盖，接下來就是分析如何利用這個(gè)性質(zhì)焰檩，使得我們可以少算很多P的值。

下面的例子 S = “babcbabcbaccba” 存在更多的折疊回文字串订框。

C表示當(dāng)前的回文中心析苫，L和R處的線表示以C為中心可以到達(dá)的最左和最右位置，如果知道這些，我們?nèi)绾慰梢愿玫挠?jì)算C后面的P[i].

假設(shè)我們當(dāng)前計(jì)算的是 i = 13, 根據(jù)對(duì)稱性衩侥，我們知道對(duì)稱的那個(gè)下標(biāo) i' = 9.

根據(jù)C對(duì)稱的原則国旷，我們很容易得到如下數(shù)據(jù) P[ 12 ] = P[ 10 ] = 0, P[ 13 ] = P[ 9 ] = 1, P[ 14 ] = P[ 8 ] = 0).

當(dāng)時(shí)當(dāng)i = 15的時(shí)候，卻只能得到回文 “a#b#c#b#a”, 長(zhǎng)度是5茫死， 而對(duì)稱 i ' = 7 的長(zhǎng)度是7.

上圖所示跪但，如果以 i, i' 為中心，畫出對(duì)稱的區(qū)域如圖峦萎，其中以i‘ = 7 對(duì)稱的區(qū)域是 實(shí)心綠色 + 虛綠色 和 左側(cè)屡久，虛綠色表示當(dāng)前的對(duì)稱長(zhǎng)度已經(jīng)超過之前的對(duì)稱中心C。而之前的P對(duì)稱性質(zhì)成立的原因是 i 右側(cè)剩余的長(zhǎng)度 R - i 正好比 以 i‘ 為中心的回文小爱榔。

這個(gè)性質(zhì)可以這樣歸納被环，蛤售。悴能。 雳灾； 谎亩。例如我們的例子中 i = 15, 因?yàn)镽 = 20炒嘲，所以i右側(cè) 在對(duì)稱區(qū)間剩余的是 R - 15 = 5, 而 i’ = 7 的長(zhǎng)度是7. 說明 i' 的回文長(zhǎng)度已經(jīng)超出對(duì)稱區(qū)間。我們只能使得P[i] 賦值為5匈庭， 然后嘗試擴(kuò)充P[i].

if P[ i' ] ≤ R – i,
then P[ i ] ← P[ i' ]
else P[ i ] ≥R – i. (這里下一步操作是擴(kuò)充 P[ i ].

擴(kuò)充P[i] 之后夫凸，我們還要做一件事情是更新 R 和 C， 如果當(dāng)前對(duì)稱中心的最右延伸大于R阱持，我們就更新C和R夭拌。在迭代的過程中，我們?cè)囂絠的時(shí)候衷咽，如果P[i'] <= R - i, 那么只要做一件事情鸽扁。 如果不成立我們對(duì)當(dāng)前P[i] 做擴(kuò)展，因?yàn)樽畲箝L(zhǎng)度是n镶骗，擴(kuò)展最多就做n次桶现，所以最多做2*n。 所以最后算法復(fù)雜度是 O(n)

具體實(shí)現(xiàn)的代碼如下：

// 轉(zhuǎn)換S 到 T.
// 例如, S = "abba", T = "^#a#b#b#a#$".
// ^ 和 $ 作為哨兵標(biāo)記加到兩端以避免邊界檢查
string preProcess(string s) {
  int n = s.length();
  if (n == 0) return "^$";
  string ret = "^";
  for (int i = 0; i < n; i++)
    ret += "#" + s.substr(i, 1);
 
  ret += "#$";
  return ret;
}
 
string longestPalindrome(string s) {
  string T = preProcess(s);
  int n = T.length();
  int *P = new int[n];
  int C = 0, R = 0;
  for (int i = 1; i < n-1; i++) {
    int i_mirror = 2*C-i; // equals to i' = C - (i-C)
 
    P[i] = (R > i) ? min(R-i, P[i_mirror]) : 0;
 
    // Attempt to expand palindrome centered at i
    while (T[i + 1 + P[i]] == T[i - 1 - P[i]])
      P[i]++;
 
    // If palindrome centered at i expand past R,
    // adjust center based on expanded palindrome.
    if (i + P[i] > R) {
      C = i;
      R = i + P[i];
    }
  }
 
  // Find the maximum element in P.
  int maxLen = 0;
  int centerIndex = 0;
  for (int i = 1; i < n-1; i++) {
    if (P[i] > maxLen) {
      maxLen = P[i];
      centerIndex = i;
    }
  }
  delete[] P;
 
  return s.substr((centerIndex - 1 - maxLen)/2, maxLen);
}

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