UWB定位：第二篇．原理

UWB定位系列專題：

UWB定位: 第一篇 . 簡介
UWB定位: 第二篇 . 原理
UWB定位: 第三篇 . 市場分析
UWB定位: 第四篇 . Apple Iphone11 U1芯片 & Apple UWB專利

[目錄]

定位方案
- 接收信號強(qiáng)度指示(RSSI)
- 飛行時(shí)間(TOF) / 到達(dá)時(shí)間(TOA)
  - 雙向測距(TWR)
  - 多邊定位算法
- 到達(dá)時(shí)差(TDOA)
  - TDOA定位算法
- 到達(dá)角度AOA / 到達(dá)相差PDOA
  - AOA定位算法
總結(jié)

定位方案

接收信號強(qiáng)度指示(RSSI)

RSSI(Receive Signal Strength Indicator)通過測量無線信號在接收端的功率大小并根據(jù)無線信號的Friis傳輸模型計(jì)算出收發(fā)端之間的距離，
$\begin{gathered} P_r[dBm] = P_t[dBm] + G_t[dB] + G_r[dB] - L[dB] - 20\log_{10}(4\pi d/\lambda) \\ \Downarrow \\ d = \frac{\lambda}{4\pi} 10^{(P_t - P_r + G_t + G_r - L)/20} \\ \end{gathered}$
其中， $P_r$ / $P_t$ 分別表示接收/發(fā)送信號功率級， $G_r$ / $G_t$ 分別表示接收/發(fā)送天線增益， $L$ 表示PCB辐赞、連接線、連接器等帶來的損耗， $d$ 表示設(shè)備間距離冰肴， $\lambda$ 表示無線信號的中心波長。

從Friis傳輸模型中可以看出奶赠，RSSI的測距結(jié)果受收發(fā)天線設(shè)計(jì)鱼填，多徑傳播，非視距傳播毅戈，直接路徑損耗等環(huán)境因數(shù)影響較大苹丸，實(shí)際應(yīng)用中測距精度~10m量級，遠(yuǎn)低于基于時(shí)間戳測距的方法苇经，因而基于RSSI的方法很少直接用于UWB定位赘理。

飛行時(shí)間(TOF) / 到達(dá)時(shí)間(TOA)

TOF(Time of Flight)/TOA(Time of Arrival)通過記錄測距消息的收發(fā)時(shí)間戳來計(jì)算無線信號從發(fā)送設(shè)備到接收設(shè)備的傳播時(shí)間，乘以光速然后得到設(shè)備間的距離扇单。根據(jù)測距消息的傳輸方式不同可分為單向測距和雙向測距商模，其中單向測距中測距消息僅單向傳播，為獲得設(shè)備間的飛行時(shí)間需要雙方設(shè)備保持精確的時(shí)鐘同步，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度和成本較高施流，而雙向測距對雙方設(shè)備的時(shí)鐘同步?jīng)]有要求响疚，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度和成本很低，因而我們主要關(guān)注雙向測距這種方案瞪醋。

雙向測距(TWR)

TWR示意圖

TWR(Two-Way Ranging)方法需要設(shè)備間支持雙向通信忿晕，通過UWB信號收發(fā)時(shí)間戳計(jì)算UWB信號的往返時(shí)間然后乘光速從而獲得兩個(gè)設(shè)備間的實(shí)際距離信息。

單邊雙向測距(SS-TWR)

SS-TWR(Single-Sided Two-Way Ranging)算法中測距請求設(shè)備發(fā)起測距請求银受，而測距響應(yīng)設(shè)備監(jiān)聽并響應(yīng)測距請求践盼，然后測距請求設(shè)備利用所有時(shí)間戳信息計(jì)算出設(shè)備間的飛行時(shí)間。
- 測距流程
  
  SS-TWR
  
  具體的宾巍，SS-TWR算法中設(shè)備A發(fā)起測距請求信息咕幻，設(shè)備B響應(yīng)測距并返回消息處理時(shí)延 $T_{reply}$ ，設(shè)備 $A$ 收到響應(yīng)消息后計(jì)算出消息的往返時(shí)延 $T_{round}$ 蜀漆，然后即可計(jì)算出設(shè)備A谅河，B間的飛行時(shí)間： $T_{prop} = 0.5 \cdotp (T_{round} - T_{reply})$ 。
- 距離計(jì)算與誤差分析
  
  假定設(shè)備A确丢，B的晶振頻率偏移分別為 $e_A$ 绷耍， $e_B$ ，有
  $\begin{gathered} \breve{T}_{round} = (1 + e_A) \cdotp T_{round} \\ \breve{T}_{reply} = (1 + e_B) \cdotp T_{reply} \\ \end{gathered}$
  帶入 $\breve{T}_{prop} = 0.5 \cdotp (\breve{T}_{round} - \breve{T}_{reply})$ 鲜侥，此外褂始， $T_{prop} = 0.5 \cdotp (T_{round} - T_{reply})$ ，有
  $\begin{aligned} \breve{T}_{prop} &= 0.5 \cdotp (T_{round} - T_{reply}) + 0.5 \cdotp (e_A T_{round} - e_B T_{reply}) \\ &\simeq T_{prop} + 0.5 \cdotp (e_A - e_B) \cdotp T_{reply} \\ \end{aligned}$
  從而SS-TWR的測距誤差為：
  $\tilde{T}_{prop} \triangleq \breve{T}_{prop} - T_{prop} = 0.5 \cdotp (e_A - e_B) \cdotp T_{reply}$
  由此可知描函，SS-TWR的測距誤差既與設(shè)備間的相對晶振頻率差值成正比崎苗，也與測距消息響應(yīng)的時(shí)長成正比。
雙邊雙向測距(DS-TWR)

DS-TWR(Double-Sided Two-Way Ranging)算法中測距雙方設(shè)備都會發(fā)起一次測距請求舀寓，等價(jià)于雙方設(shè)備各自發(fā)起一次SS-TWR胆数，分別具有誤差 $\tilde{T}^{(1)}_{prop} = 0.5 \cdotp (e_A - e_B) \cdotp T^{(1)}_{reply}$ ， $\tilde{T}^{(2)}_{prop} = 0.5 \cdotp (e_B - e_A) \cdotp T^{(2)}_{reply}$ 互墓，當(dāng) $T^{(1)}_{reply} \simeq T^{(2)}_{reply}$ 時(shí)必尼，DS-TWR的整體測距誤差 $\tilde{T}_{prop} = 0.5 \cdotp (\tilde{T}^{(1)}_{prop} + \tilde{T}^{(2)}_{prop}) \simeq 0$ ，相較與SS-TWR可極大的提升測距精度篡撵。
- 測距流程
  
  DS-TWR-4round
  
  從圖中可以看出樸素的DS-TWR算法實(shí)現(xiàn)需要測距雙方交換4條消息判莉，分析測距消息交換流程可以發(fā)現(xiàn)，第二條測距響應(yīng)消息和第三條測距請求消息都是由同一設(shè)備相繼執(zhí)行育谬，因而可合并為一條消息券盅。由于測距流程上消息交換次數(shù)減少，從而一方面減小測距時(shí)間膛檀，另一方面降低測距功耗锰镀，且不影響測距精度娘侍。改進(jìn)后的DS-TWR如下圖所示：
  
  DS-TWR-3round
  
  DS-TWR算法根據(jù) $T^{(1)}_{reply}$ 是否等于（或接近） $T^{(2)}_{reply}$ 又可分為：
  - 非對稱雙邊雙向測距(ADS-TWR)：
    
    ADS-TWR(Asymmetric Double-Sided Two-Way Ranging)不必 $T^{(1)}_{reply} = T^{(2)}_{reply}$ ，使得在測距流程中對時(shí)間控制更具靈活性互站。
  - 對稱雙邊雙向測距(SDS-TWR)：
    
    SDS-TWR(Symmetric Double-Sided Two-Way Ranging)中 $T^{(1)}_{reply} = T^{(2)}_{reply}$ 私蕾，可簡化測距計(jì)算過程，特別適合在低功耗的微控制器上使用胡桃。
- 距離計(jì)算與誤差分析
  
  假定設(shè)備A围苫，B的晶振頻率偏移分別為 $e_A$ 险毁， $e_B$ 梳杏，即
  $\begin{gathered} \breve{T}_{round} = (1 + e_A) \cdotp T_{round} \\ \breve{T}_{reply} = (1 + e_B) \cdotp T_{reply} \\ \end{gathered}$
  此外耀销，
  $\begin{gathered} T_{prop} = 0.5 \cdotp (T_{round} - T_{reply}) \\ \end{gathered}$
  DS-TWR的測距計(jì)算方式有如下兩種：
  - SDS-TWR方式
    
    $\begin{aligned} \breve{T}_{prop} &= 0.25 \cdotp (\breve{T}_{round1} - \breve{T}_{reply1} + \breve{T}_{round2} - \breve{T}_{reply2}) \\ &= 0.5 \cdotp (2 + e_A + e_B) \cdotp T_{prop} + 0.25 \cdotp (e_A - e_B) \cdotp (T_{reply1} - T_{reply2}) \\ \end{aligned}$
    測距誤差為：
    $\begin{aligned} \tilde{T}_{prop} \triangleq \breve{T}_{prop} - T_{prop} = 0.5 \cdotp (e_A + e_B) \cdotp T_{prop} + 0.25 \cdotp (e_A - e_B) \cdotp (T_{reply1} - T_{reply2}) \\ \end{aligned}$
    當(dāng) $T_{reply1} = T_{reply2}$ ，有 $\tilde{T}_{prop} = 0.5 \cdotp (e_A + e_B) \cdotp T_{prop}$ 之景，即測距誤差僅與設(shè)備間的無線信號飛行時(shí)間 $T_{prop}$ 有關(guān)斤富，相對測距誤差 $0.5\cdotp(e_A + e_B) \sim 1e^{-5}$ 。
  - AltDS-TWR方式
    
    $\begin{aligned} \breve{T}_{prop} &=　\frac{(T_{round1} \cdotp T_{round2} - T_{reply1} \cdotp T_{reply2})}{(T_{round1} + T_{round2} + T_{reply1} + T_{reply2})} \\ &= \Big\{\begin{matrix} (1 + e_A) \cdotp T_{prop} \\ (1 + e_B) \cdotp T_{prop} \\ \end{matrix} \end{aligned}$
    測距誤差為：
    $\begin{aligned} \tilde{T}_{prop} &\triangleq \breve{T}_{prop} - T_{prop} \\ &= \Big\{\begin{matrix} e_A \cdotp T_{prop} \\ e_B \cdotp T_{prop} \\ \end{matrix} \end{aligned}$
    可見锻狗，該方式的測距誤差僅與設(shè)備間的無線信號飛行時(shí)間 $T_{prop}$ 有關(guān)满力，相對測距誤差 $\max(e_A, e_B) \sim 1e^{-5}$ 。
  SDS-TWR方式具有較小的計(jì)算量轻纪，但當(dāng)雙方設(shè)備的測距響應(yīng)時(shí)延不相等時(shí)油额，有較大的誤差；AltDS-TWR方式計(jì)算相對復(fù)雜刻帚，但對雙方設(shè)備的測距響應(yīng)時(shí)延沒有要求潦嘶，靈活性較強(qiáng)。

多邊定位算法

標(biāo)簽 $T$ 通過與多(2維>=3, 3維>=4)個(gè)位置坐標(biāo)固定且已知的基站 $A_k$ 輪流進(jìn)行TWR獲得相應(yīng)的測距數(shù)據(jù) $D_k$ 崇众，通過求解以下方程獲得定位結(jié)果：
$\left\{ \begin{gathered} \sqrt{(x - x_{A_1})^2 + (y - y_{A_1})^2 + (z - z_{A_1})^2} = D_k \\ \sqrt{(x - x_{A_2})^2 + (y - y_{A_2})^2 + (z - z_{A_2})^2} = D_k \\ \vdots \\ \sqrt{(x - x_{A_k})^2 + (y - y_{A_k})^2 + (z - z_{A_k})^2} = D_k \\ \end{gathered} \right.$

到達(dá)時(shí)差(TDOA)

TDOA示意圖

TDOA(Time Difference of Arrival)是對TOA算法的改進(jìn)掂僵，不是直接利用信號到達(dá)時(shí)間，而是通過檢測信號到達(dá)多個(gè)嚴(yán)格時(shí)間同步基站的到達(dá)時(shí)間差來計(jì)算標(biāo)簽的位置顷歌，該方法不需要標(biāo)簽和基站保持時(shí)間同步锰蓬。時(shí)間同步分有線時(shí)間同步和無線時(shí)間同步兩種方式，有線時(shí)間同步通過專用的有線時(shí)間同步器進(jìn)行時(shí)鐘分發(fā)眯漩，精度~0.1ns互妓，但時(shí)鐘網(wǎng)絡(luò)的部署和維護(hù)代價(jià)以及成本較高。無線時(shí)間同步不需要特殊同步設(shè)備坤塞，精度~0.3ns低于有線時(shí)間同步，不過其系統(tǒng)部署維護(hù)和成本相對較低澈蚌。由于無線時(shí)間同步從部署維護(hù)難度摹芙，系統(tǒng)擴(kuò)展靈活性，和成本上都優(yōu)于有線時(shí)間同步宛瞄，同時(shí)TDOA定位算法在這這兩種方式中的用法幾乎一致浮禾，我們主要關(guān)注無線時(shí)間同步方式下的TDOA定位交胚。

TDOA定位方案根據(jù)標(biāo)簽端的工作模式可分為：

基于服務(wù)器(Server-based) TDOA:

TDOA-server

這種方案是市場上最常見的UWB定位方案，又稱為主動(dòng)式TDOA盈电，在這種方案中蝴簇，標(biāo)簽端持續(xù)的廣播定位信標(biāo)(beacon)信號，基站記錄標(biāo)簽beacon信號的接收時(shí)間戳并將該標(biāo)簽相關(guān)的信息發(fā)往中心定位服務(wù)器匆帚，由于所有基站的時(shí)間都已同步熬词，定位服務(wù)器即可根據(jù)beacon信號到達(dá)不同位置基站的時(shí)間差值來計(jì)算標(biāo)簽的位置信息。簡單的說吸重，標(biāo)簽端發(fā)送定位信標(biāo)信號互拾，在服務(wù)器處完成標(biāo)簽的位置計(jì)算，根據(jù)具體場景需求服務(wù)器可以將標(biāo)簽的位置信息通過網(wǎng)絡(luò)(Wifi/Bluetooth/Zigbee/UWB/...)再發(fā)送回標(biāo)簽端嚎幸。
- 優(yōu)勢：
  - 標(biāo)簽端每次定位只需要發(fā)送一條定位消息颜矿，從而降低能量消耗；
  - 視距范圍內(nèi)所有的基站都可用來定位嫉晶，從而可獲得更魯棒和更精確的定位結(jié)果骑疆；
  - 定位網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)時(shí)監(jiān)測所有發(fā)送測距消息的標(biāo)簽及其位置；
- 劣勢：
  - 所有的基站都必須時(shí)間同步替废，使得系統(tǒng)的復(fù)雜度和成本較高箍铭；
  - 服務(wù)器端輸出標(biāo)簽的定位結(jié)果，標(biāo)簽端獲取定位結(jié)果必須借助其他通信網(wǎng)絡(luò)舶担；
  - 由于標(biāo)簽端僅發(fā)送定位消息而不接收坡疼，數(shù)據(jù)聚合和協(xié)作定位很難實(shí)現(xiàn)；
該方案相較于基于客戶端TDOA方案適合：
- 醫(yī)院衣陶、養(yǎng)老院柄瑰、護(hù)理院、隧道剪况、礦井等需要進(jìn)行人員監(jiān)控和追蹤的場所教沾；
- 工廠、企業(yè)等需要對資產(chǎn)译断、員工授翻、訪客、設(shè)備等進(jìn)行追蹤的場合孙咪；
- 大型公共場所如商場堪唐、會展廳、博物館等需要對人流密度進(jìn)行監(jiān)控和分析的情形翎蹈；
- ...
基于客戶端(Client-based) TDOA

TDOA-client

這種方案又稱為反向TDOA或被動(dòng)式TDOA淮菠，在這種方案中，基站端按照一定的次序在相應(yīng)的時(shí)間槽上廣播定位信標(biāo)(beacon)信號荤堪，標(biāo)簽記錄基站beacon信號的接收時(shí)間戳合陵，由于所有基站的時(shí)間都已同步枢赔，標(biāo)簽本身即可利用不同基站的位置信息和相應(yīng)基站beacon信號到達(dá)的時(shí)間戳計(jì)算出標(biāo)簽的位置信息。簡單的說拥知，標(biāo)簽僅接受基站發(fā)送的定位信標(biāo)信號踏拜，在本地處完成標(biāo)簽的位置計(jì)算，根據(jù)具體場景需求標(biāo)簽可以將自己位置信息再發(fā)送(UWB/Wifi/Bluetooth/Zigbee/...)到服務(wù)器端低剔。
- 優(yōu)勢：
  - 標(biāo)簽端直接輸出定位結(jié)果速梗，定位的實(shí)時(shí)性更高；
  - 理論上網(wǎng)絡(luò)可支持無限容量的標(biāo)簽同時(shí)進(jìn)行定位户侥；
  - 視距范圍內(nèi)所有的基站都可用來定位镀琉，從而可獲得更魯棒和更精確的定位結(jié)果；
- 劣勢：
  - 為防止基站廣播定位消息發(fā)生沖突蕊唐，必須采用較復(fù)雜的時(shí)間分片機(jī)制屋摔，使得系統(tǒng)復(fù)雜度很高；
  - 標(biāo)簽端持續(xù)監(jiān)聽基站定位消息替梨，使得能量消耗較高钓试；
  - 所有的基站都必須時(shí)間同步，使得系統(tǒng)的復(fù)雜度和成本較高副瀑；
  - 如果標(biāo)簽僅接收基站定位消息而不發(fā)送消息弓熏，定位網(wǎng)絡(luò)無法監(jiān)測網(wǎng)絡(luò)內(nèi)存在的標(biāo)簽；
該方案相較于基于服務(wù)器TDOA方案適合：
- 工廠糠睡、園區(qū)等地方的AMR(自主移動(dòng)機(jī)器人)導(dǎo)航挽鞠；
- 大型公共場所如商場、會展廳狈孔、博物館信认、醫(yī)院、停車場等地的導(dǎo)引均抽；
- 大規(guī)模機(jī)器群體（如無人機(jī)隊(duì)嫁赏，倉儲物流搬運(yùn)機(jī)器群等）協(xié)作調(diào)度指引；
- 大規(guī)模多人在線的VR應(yīng)用與游戲等油挥；
- ...

TDOA定位算法

2維TDOA定位需要至少3個(gè)位置坐標(biāo)固定且已知的基站潦蝇，而3維TDOA定位需要至少4個(gè)位置坐標(biāo)固定且已知的基站，假定標(biāo)簽 $T$ 某次測距共有 $N$ 個(gè)基站 $\{A_k\}_{1:N}$ 參與深寥，則可獲得 $C_N^2$ 組時(shí)間差值攘乒，然而其中相互獨(dú)立的約束僅有 $N-1$ 個(gè)。記標(biāo)簽 $T$ 與基站 $A_i$ 惋鹅， $A_j$ 測得的時(shí)間差為 $\Delta_{i,j}$ 则酝，可取如下相互獨(dú)立的約束方程用于求解標(biāo)簽位置：
$\left\{ \begin{gathered} \sqrt{(x - x_{A_2})^2 + (y - y_{A_2})^2 + (z - z_{A_2})^2} - \sqrt{(x - x_{A_1})^2 + (y - y_{A_1})^2 + (z - z_{A_1})^2} = c \cdotp \Delta_{1,2} \\ \sqrt{(x - x_{A_3})^2 + (y - y_{A_3})^2 + (z - z_{A_3})^2} - \sqrt{(x - x_{A_2})^2 + (y - y_{A_2})^2 + (z - z_{A_2})^2} = c \cdotp \Delta_{2,3} \\ \sqrt{(x - x_{A_4})^2 + (y - y_{A_4})^2 + (z - z_{A_4})^2} - \sqrt{(x - x_{A_3})^2 + (y - y_{A_3})^2 + (z - z_{A_3})^2} = c \cdotp \Delta_{3,4} \\ \vdots \\ \sqrt{(x - x_{A_N})^2 + (y - y_{A_N})^2 + (z - z_{A_N})^2} - \sqrt{(x - x_{A_{N-1}})^2 + (y - y_{A_{N-1}})^2 + (z - z_{A_{N-1}})^2} = c \cdotp \Delta_{N,N-1} \\ \end{gathered} \right.$